激光原理教程四-电磁场与物质的共振相互作用

三能级系统 速率方程
§4-3 典型激光器速率方程
四能级系统速率方程 对于典型的四能级系统Nd:YAG激光器， S30<<S32、A30<<S32、S21<<A21。 速率方程中忽略S30，其它的机制与三 能级系统类似； E1-E0>>KT，根据玻尔兹曼分布可知在
W03 A30 S30 E3 S32 E2 S21 A21 W21 W12 E1 S10 E0
W13 A31 S31 A21 S21 W12 W21 E2 E3 S32
§4-3 典型激光器速率方程
典型三能级系统的红宝石中有： 5 1 3 1 7 1 A 3 10 S A 0.3 10 S S32 0.5 10 S 31 21 可以写出各能级粒子数变化速率的方程：
B 21 c3 A21 8 h 3
同理B12 B12 g , 0
c3 B21 A21 g , 0 B21 g , 0 3 8 h
§4-3 典型激光器速率方程
dn21 (1) dt A21n2 sp dn21 W21n2 B21 n2 (2) dt st dn 12 W12 n1 B12 n1 (3) dt st
P dn21 h n2 A21h dt
P Pg , 0
n2 A21h g , 0 n2 h A21
其中 A21 A21 g , 0 ，表示在总自发跃迁概率A21中，分配 在频率ν处单位频带内的自发跃迁概率。 从第一章得到的爱因斯坦三系数的关系：
dn21 由1式得： n2 A21 d n2 A21 g , 0 d n2 A21 dt sp
谱线展宽对自发辐射无影响。 由2、3式得： dn21 n W d n B 2 21 g , 0 d 2 21

n2 B21 0 g , 0 d


ρν= ρν0
n2 B21 0
dn12 n1 B12 0 同理： dt st
对应于黑体辐射场与原子相互作用， 结果与第一章的结论相对应
§4-3 典型激光器速率方程
讨论两种极限情况下原子与辐射场的相互作用 2. 原子与准单色光辐射场相互作用 ' 原子发射谱线的线型函数为 g , 0 ，线宽为Δν；
若第l个模的光子寿命为τRl，则第l模的光子数密度变化速率为：
dN l N n2W21 n1W12 l dt Rl
光子寿命的缩短是 由光腔的损耗引起的
§4-3 典型激光器速率方程
dn2 n1W12 n2W21 n2 A21 S 21 n3 S32 dt g n1 2 W21 n2W21 n2 A21 S 21 n3 S32 g1 g2 n2 n1 21 , 0 vN l n2 A21 S 21 n3 S32 g1


dn 同理 12 n1 g , 0 B12 dt st
§4-3 典型激光器速率方程
结论：由于谱线加宽，和原子相互作用
的单色光的频率不一定要精确等于原子 发光的中心频率0，也能够产生受激辐 射的作用。
当单色光的频率等于原子发光谱线的中 心频率=0时，有最大的受激辐射跃迁 几率，随着频率逐渐远离中心频率，跃 迁几率逐渐减小。
71320510ss???5131310as???31210310as???21310ss????311333231dnnwnsadt???同s32和a31相比s31的影响很小因此忽略不计??211222122121332dnnwnwnasnsdt?????123nnnn???粒子数守恒公式n为系统内总粒子数221112llrldnnnwnwdt????光子寿命的缩短是由光腔的损耗引起的43典型激光器速率方程??211222122121332dnnwnwnasnsdt???????2121221221213321gnwnwnasnsg?????????221210221213321lgnnnnssvang???????????????????????31133323122212102212133211232212101llllrldnnwnsadtdngnnnnasnsdtgnnnndnngnnndtgvv?????????????????????????????????????????????三能级系统速率方程43典型激光器速率方程四能级系统速率方程对于典型的四能级系统nd
§4-3 典型激光器速率方程
激光器中光场的能量密度ρ同第l模内的光子数密度Nl的关系为： A12 v3 B21 A21 8 h 3 n h
黑体单位 体积中频 率ν附近 单位频率 间隔中的 模式数
8 2 n 3 v
v
c

工作物质 内的光速
W21 B21
A21 g , 0 N l 21 , 0 N l n g g A W12 2 W21 2 21 g , 0 N l 12 , 0 vN l g1 g1 n
dn3 同S32和A31相比，S31的 n1W13 n3 S32 A31 dt 影响很小，因此忽略不计 dn2 n1W12 n2W21 n2 A21 S 21 n3 S32 dt 粒子数守恒公式 n1 n2 n3 n
n为系统内总粒子数
S 21 S31 0
光辐射场能量密度为ρν，线宽为Δν’； 由于单色辐射场，即 ' ，在Δν'范围内可以认为g , 0 为 定值，且 ' ； 只有在 Δν和 Δν’共同覆盖的频率范围才有响应，因此：


d ' ' d '
n2 / n1 exp E1 E0 / KT
则E1能级上的粒子数可以忽略； 当粒子从E2能级跃迁到E1能级后，必须 使其迅速的回到基态，即要求S10较大， S10称为下能级抽空速率。
热平衡状态下：
§4-3 典型激光器速率方程
dn3 dt n0W03 n3 S32 A30 g2 dn2 dt n2 g n1 21 , 0 vN l n2 A21 S 21 n3 S12 1 dn0 n1S10 n0W03 n3 A30 dt n0 n1 n2 n3 n dN l n g 2 , vN N l dt 2 g 21 0 l 1 Rl

ρ为准单色光辐射能量密度 由此得到改变后的速率方程：
dn21 n W d n B 2 21 2 21 g , 0 d dt st
n2 B21 g , 0
n2 B21 g ', 0 ' d '
激光原理与技术
——龐
电磁场和物质的共振相互作用
§4-2 谱线加宽和线型函数 §4-3
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典型激光器速率方程
§4-2 谱线加宽和线型函数
激光器速率方程组：表征激光器腔内光子数和工作物质各
有关能级上的原子数随时间变化的微分方程组。 速率方程组和参与产生激光过程的能级结构和工作粒子(原 子、分子等)在这些能级间的跃迁特性有关。不同激光工作 物质的能级结构和跃迁特性可能不相同，可以列出三能级 系统和四能级系统速率方程组。
§4-2 谱线加宽和线型函数
P P ( )d 原子自发辐射的总功率为： 引入谱线的线型函数g(ν,ν0)：

g ( , 0 )
P ( ) P
其量纲为sec，其中的ν0是线型函数的中心频率。 根据线型函数的定义：



g ( , 0
)d


P ( )d P
A21v 2 其中的 21 , 0 g , 0 被称为发射截面； 8 0 2
g 2 A21v 2 12 , 0 g , 0 被称为吸收截面。 g1 8 0 2
它们具有面积的量纲，并且在ν=ν0处有最大值。
§4-3 典型激光器速率方程
自发辐射、受激辐射 和受激吸收几率的基 本关系式：
dn12 W12n1 ,W12 B12 v dt st A21 8 hv 2 , B12 f 1 B 21 f 2 3 B 21 c
§4-2 谱线加宽和线型函数
光谱线的频率分布
前面讨论原子自发辐射时，认为原子的能级是无限窄的， 此时的自发辐射光是单色光，即全部的光强都集中在频率 ν=(E2-E1)/h上； 实际上原子的自发辐射并不是单色光， 而是分布在中心频率ν附近的一个很小 频率范围内-这就是谱线加宽。
四能级系 统速率方程 其中忽略了 n3W30，因 为n3太小
dn21 dn21 dn , dn21 dn dn 21 n2 W n , W B21 A21n2 A , W n , W B A , 21 21 2 21 21 21 21 21 v 21 2 2 v W21n2 ,W21 B21v dt dt dt dt sp st dt dt sp st 已知爱因斯坦采用唯 sp st dn dn 象方法得出的原子的 A21n2 21 , 21 W21n2 ,W21 B21v dt sp dt st
单模振荡速率方程组
三能级系统速率方程 W13为抽运几率 A31为自发辐射几率 S32、S31为热驰豫(无辐射跃迁)几率 S31<<S32、A31<<S32 S32远大于S31和A31，基态E1上的粒子被抽运到 E3态后，会迅速通过S32到达E2能级； E2能级粒子寿命较长，被称为亚稳态，当没有 E1 形成受激辐射时，会主要以较小的A21回到基 态，因此可以在E2和E1间形成粒子数反转； 一旦形成受激辐射，则W12和W21将占绝对优势。
1. 原子与连续谱光辐射场相互作用 ρν为连续光谱辐射场，其宽度Δν'远大于原子发射谱线的半宽度 Δν，则受激辐射引起的高能级粒子数变化速率： dn21 n2 B21 g , 0 d 在Δν范围内 dt st 都可以认为 n2 B21 g , 0 0 d
dn3 dt n1W13 n3 S32 A31 g2 dn2 n n1 21 , 0 vN l n2 A21 S 21 n3 S32 2 dt g1 n1 n2 n3 n dN l Nl g2 n n , v N 2 1 21 0 l dt g Rl 1
dt st dn12 n W d n B g , d 1 12 0 1 12 dt st
以上是爱因斯坦总结的跃迁速率方程的修正。
§4-3 典型激光器速率方程
讨论两种极限情况下原子与辐射场的相互作用
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得出结论：线型函数是归一化的。 当ν=ν0时线型函数有最大值g(ν0,ν0)，如果在 0 / 2 处 其值下降到最大值的一半，则把此时的 称为谱线宽度。
§4-3 典型激光器速率方程
爱因斯坦三种辐射系数的修正
从自发辐射的定义可以得出，单位体积物质内原子发出的 自发功率为：