福建省福州市高三上学期第四次质量检查数学(理)试题 Word版含答案

福州八中2016—2017学年高三毕业班第四次质量检查
数学(理)试题
考试时间：120分钟 试卷满分：150分 2016.12.19
第Ⅰ卷(60分)
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．若集合}3121|{≤+≤-=x x A ，}02
|{≤-=x
x x B ，则=B A A ．}01|{<≤-x x B ．}10|{≤<x x
C ．}20|{≤≤x x
D ．}10|{≤≤x x
2．复数31
2i i i
z +-=
（i 为虚数单位）的共轭复数为 A ．i 21+
B ．1-i
C ．i -1
D ．i 21-
3.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A.2
B.
32
C.4
D.
4.已知命题p ：R x ∈∀，0312>+x ，命题q ：20<<x 是1log 2<x 的
充分不必要条件，则下列命题为真命题的是 A ．p ⌝
B ．q p ∧
C ．)(q p ⌝∧
D ．q p ∨⌝
5.已知直线l 1：(3＋a )x ＋4y ＝5－3a 和直线l 2：2x ＋(5＋a )y ＝8平行，则a ＝
A ． －7
B ．－7或－1
C ．－1
D ．7或1
6.若实数y x ,满足20,0,0,x y x y y +-≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
若y x z 2-=的最小值是
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．2
7. 直线l 过抛物线C:x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.
43
B.2
C.
83
8.若两个正实数y x ,满足141=+
y x ，且不等式m m y
x 34
2-<+有解，则实数m 的取值范围是 A ．),4()1,(+∞⋃--∞ B ．),3()0,(+∞⋃-∞ C ．)1,4(-
D ．)4,1(-
9.已知函数)cos()(ϕω+=x A x f 的图象如图所示,3
2
)2
(-
=π
f ,则)0(f 等于
A.23-
B. 12
- C. 23
D.
12
10.已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若双曲
线上存在点P 满足a sin ∠PF 1F 2＝c
sin ∠PF 2F 1，则该双曲线的离心率的取值范围为
A ．(2＋1，＋∞)
B ．(3，＋∞)
C ．(1，3)
D ．(1，2＋1)
11.已知函数⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-<<=93),3cos(30|,log |)(3x x x x x f π
，若存在实数1x ，2x ，3x ，4x ，当4321x x x x <<<时，满足)()()()(4321x f x f x f x f ===，则4321x x x x ⋅⋅⋅的取值范围是
A ．)429,
7( B ．)4135,21( C ．)30,27[ D ．)4
135
,27(
12.已知函数)0(2
1
)(2<-+=x e x x f x 与)ln()(2a x x x g -+=的图象上存在
关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是
A ．),(+∞-e
B ．),1(e e -
C ．)1,(e e -
D ．),1
(+∞-e
第Ⅱ卷（主观题90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
已知向量1(,(1,0)2a b ==r r
，则b r 在a r 上的投影等于______________.
14.已知圆x 2+y 2=m 与圆x 2+y 2
+6x-8y-11=0相交,则实数m 的取值范围是
15.已知数列{}n a 满足2
2
1221,2,(1cos )sin 22
n n n n a a a a ππ
+===++，则该数列的前12项和为
16.已知边长为32
的菱形ABCD 中，060=∠BAD ，沿对角线BD 折成二面角
为0
120的四面体，则四面体的外接球的表面积为________.
三、解答题：解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.
17.(本小题满分12分）
等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1， 且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.
(1)求a n 与b n ； (2)求证：12
11
13
()4
n n N S S S *+++
<∈
18.(本小题满分12
分）
已知函数(),f x m n =⋅且()
sin cos ,m x x x ωωω=+
()cos sin ,2sin n x x x ωωω=-，其中0ω>，若函数()f x 相邻两条对称轴的距离大于等
于
2
π. （1）求ω的取值范围；
（2）在锐角ABC 中，,,a
b c 分别是角A,B,C 的对边，当ω最大时，()1f A =，且
a =
b
c +的取值范围.
19.(本小题满分12分）
如图, 已知四边形ABCD 和BCEG 均为直角梯形，
//AD BC ，//CE BG ，且2
BCD BCE π
∠=∠=
，
平面ABCD ⊥平面BCEG ,
222=
====BG AD CE CD BC .
（Ⅰ）证明：AG //平面BDE;
（Ⅱ）求平面BDE 和平面BAG 所成锐二面角的余弦值.
20.(本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)y x C a b a b
+=>>，以原点为圆
心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．A B 、是椭圆C 的右顶点与上顶点，直线(0)y kx k =>与椭圆相交于E F 、两点． （1）求椭圆C 的方程；
（2）当四边形AEBF 面积取最大值时，求k 的值．
21.(本小题满分12分） 设函数
)1(ln )1()(--+=x a x x x f .
（1）若函数)(x f 在e x =处的切线与y 轴相交于点)2,0(e -，求a 的值； （2）当21<<x 时，求证：)
2ln(1
ln 112x x x -+
>-.
请考生在第22,23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清楚题号。

22.(本小题满分10分）
已知椭圆C ：x 24＋y 2
3＝1，直线l ：⎩⎨⎧
x ＝－3＋3t ，y ＝23＋t
(t 为参数)．
(1)写出椭圆C 的参数方程及直线l 的普通方程；
(2)设A (1,0)，若椭圆C 上的点P 满足到点A 的距离与其直线l 的距离相等，求点P 的坐标．
23.(本小题满分10分）设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋4|. (1)解不等式：f (x )>0；
(2)若f (x )＋3|x ＋4|≥|a －1|对一切实数x 均成立，求a 的取值范围．
福州八中2016—2017学年高三毕业班第四次质量检查
数学(理)试卷参考答案及评分标准
1-6 BADCAB 7-12 CACDDB 13.
2
1
14.(1,121) 15.147 16.π28 17.解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，
a n ＝3＋(n －1)d ，
b n ＝q n －
1.………1分
依题意有222
33(6)64,
(93)960,
S b d q S b d q =+=⎧⎪⎨=+=⎪⎩.………3分 解得6,
25()840.3
d d q q ⎧=-⎪=⎧⎪⎨⎨
=⎩⎪=⎪⎩或舍去.………5分 故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －
1. ………6分
(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)，………8分 所以1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1
n (n ＋2)
＝12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2
) ………10分
＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)………11分
＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2)34<.……12分 18.
19.
证明：由平面ABCD BCEG ⊥平面，平面ABCD BCEG BC =平面,
,CE BC CE ⊥⊂平面BCEG , ∴EC ABCD ⊥平面 .………1分
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，可得
(0,2,0(20,0(002(2,1,0)(0,2,1)B D E A G ），，），，，），…………2分
（Ⅰ）设平面BDE 的法向量为(,,)m x y z =，则(0,2,2),(2,0,2)EB ED =-=-
EB m ED m ∴⋅=⋅=即0
0y z x z -=⎧⎨
-=⎩
， x y z ∴==，
∴平面BDE 的一个法向量为(1,1,1)m =，…………………………………4分
(2,1,1)AG =- 2110AG m ∴⋅=-++=，AG m ∴⊥，
AG BDE ⊄平面，∴AG ∥平面BDE . …………………………………………6分
（Ⅱ）设平面BAG 的法向量为()z y x n ,,=，平面BDE 和平面BAG 所成锐二面角为θ
高三数学（理）第四次质检答案 第1页 共4页
因为()0,1,2-=BA ,()1,0,0=BG ,由0,0=⋅=⋅BG n BA n 得⎩⎨
⎧==-0
2z y x ，…8分
∴平面BAG 的一个法向量为()0,2,1=，
∴515
5
321cos =⋅+=
=
θ. 故平面BDE 和平面BAG 所成锐二面角的余弦值为
5
15
……….12分 20.解析：（1）由题意知：c e a =
2222
2
c e a ==224a b =.
又圆222x y b +=与直线0x y -+=相切， 1b =故所求椭圆C 的方程为2
2
14
y x +=.（4分） （2）设1122()()E x kx F x kx ，，，，其中12x x <，
将y kx =代入椭圆的方程22
14
y x +=整理得：
22(4)4k x +=，………5分
故21x x =-=
．① ………6分
又点E F ，到直线AB 的距离分别为1h =
=
，………7分
2h =
=．
AB = ………8分 所以四边形AEBF 的面积为 121
()2S AB h h =
+12== ………10分 ===… 当24(0)k k =>，即当2k =时，上式取等号．
所以当四边形AEBF 面积的最大值时，2k =. （12分）
21.解析：（1）∵a x
x a x x x x f -++=-++=11
ln 1ln )('， ………1分 ∴a e
e f -+=
21
)('， ∴函数)(x f 在e x =处的切线方程为l ：))((')(e x e f e f y -=-， ………2分
由题知切线l 过点)2,0(e -，故))(21()]1(1[2e a e
e a e e --+=--+--，……3分 解得2=a .……4分
（2）令)0(,11ln )(')(>-++
==x a x x x f x g ，∴21
)('x
x x g -=，……5分 当1>x 时，0)('>x g ，函数)(x g 在),1(+∞上单调递增；
当10<<x 时，0)('<x g ，函数)(x g 在)1,0(上单调递减；所以
a g x g x g -===2)1()()(min 极小，当2≤a 时，即02≥-a 时，0)1()(≥≥g x g ，即
0)('≥x f .故2=a 时，)(x f 在)2,1(上单调递增，……7分
∴0)1()(=>f x f ，即)1(2ln )1(->+x x x ，∴
)
1(21
ln 1-+<x x x ……①……8分 ∵21<<x ，∴120<-<x ，∴
121
>-x
， ∴)1(23)121(21
21
21ln 1--=
--+-<-x x x
x x ，即)1(23)2ln(1--<-x x x …………②……10分 ①+②得：
1
2
)1(23)1(21)2ln(1ln 1-=--+-+<-+x x x x x x x .……11分 故当
1<<x 22.解：(1)椭圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧
x ＝2cos θ，
y ＝3sin θ
(θ为参数)，……2分
直线l 的普通方程为x －3y ＋9＝0.……4分 (2)设P (2cos θ，3sin θ)，……5分 则|AP |＝
θ－
2
＋3sin θ
2
＝2－cos θ，……6分 P 到直线l 的距离
d ＝|2cos θ－3sin θ＋9|2＝2cos θ－3sin θ＋92.7分 由|AP |＝d ，得3sin θ－4cos θ＝5，…8分
又sin 2θ＋cos 2θ＝1，得sin θ＝35，cos θ＝－45.……9分 故P ⎝⎛⎭
⎫
－85，335.……10分
23.解：(1)原不等式即为|2x －1|－|x ＋4|>0，
当x ≤－4时，不等式化为1－2x ＋x ＋4>0，解得x <5，
即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ≤－4，|2x －1|－|x ＋4|>0的解集是{}x |x ≤－4.……2分 当－4<x <12
时，不等式化为1－2x －x －4>0，解得x <－1， 即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ －4<x <12，|2x －1|－|x ＋4|>0
的解集是{}x |－4<x <－1.……4分 当x ≥12
时，不等式化为2x －1－x －4>0，解得x >5， 即不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
x ≥12，|2x －1|－|x ＋4|>0
的解集是{}x |x >5.……6分 综上，原不等式的解集为{}x |x <－1或x >5.……7分
(2)∵f (x )＋3|x ＋4|＝|2x －1|＋2|x ＋4|＝|1－2x |＋|2x ＋8|≥|(1－2x )＋(2x ＋8)|＝9.……9分
∴由题意可知|a －1|≤9，解得－8≤a ≤10，
故所求a 的取值范围是[]－8，10.……10分。