算法合集之《浅谈基于分层思想的网络流算法》
基于路网分层策略的高效路径规划算法
heac y A ¥ ag r h i h rce zdb emut lv l o dn t r e o oio r-r c sig. irrh loi m sc aa tr e yt l — e a ewokd c mp st np ep o e s t i h ie r i n
( col f cn mc n o me e SuhC iaU i r t o eh o g ,G agh u50 0 C i ) S ho o o o i adC m r , ot hn nv sy f c nl y unzo 106, hn E s c e i T o a
Abs r c : I r e o o e c me t e s o to n fr ut a lo ih ’i e ce c a s d b n t a t n o d r t v r o h h rc mi g o o e pln ag rt ms n f in y c u e y a i
方 向诱 导搜索策略 、 向搜索策 略和数 据结构改进策略 , 双 提出了一种新的路径规划算 法—— 分层 A 算法 , 并在 广东省大 规模 路网上进行 了实验. 实验结 果表明 : A 算 法和 Hgw yHi a hcl 法相 比, 算 法 的计 算 与 i a e r i 算 h rc a A
智 能 交 通 系 统 ( ne i n t np r t n it l e t r so a o lg a ti
t e g a— i ce tae y t e b d r ci n l s ae n h mp o e aa sr c u e sr tg . T e h o ld r t d sr tg , h i i t a t tg a d t e i r v d d t t t r t e e e o r y u a y h
离散优化在网络流问题中的应用
离散优化在网络流问题中的应用网络流问题是离散优化领域中的一个重要问题,它涉及到在网络中寻找最优的流量分配方案。
在实际应用中,网络流问题广泛存在于交通运输、通信网络、供应链管理等领域。
离散优化方法在解决网络流问题中发挥着重要的作用,并取得了显著的成果。
一、最大流问题最大流问题是网络流问题中的一类经典问题,其目标是在网络中找到从源点到汇点的最大流量。
离散优化方法中常用的解决最大流问题的算法有Edmonds-Karp 算法、Ford-Fulkerson算法等。
Edmonds-Karp算法基于广度优先搜索的思想,通过不断寻找增广路径来增加流量,直到无法找到增广路径为止。
这一算法的时间复杂度为O(VE^2),其中V 和E分别表示网络中的节点数和边数。
Ford-Fulkerson算法则是通过不断寻找增广路径,并对路径上的边进行反向操作来增加流量。
这一算法的时间复杂度与Edmonds-Karp算法相同,但其实际运行效率更高。
二、最小割问题最小割问题是网络流问题中的另一类重要问题,其目标是在网络中找到一个割集,使得割集上的边的容量之和最小。
离散优化方法中常用的解决最小割问题的算法有Ford-Fulkerson算法、Dinic算法等。
Ford-Fulkerson算法在解决最大流问题的同时,也可以得到最小割问题的解。
该算法通过不断寻找增广路径,并对路径上的边进行反向操作来增加流量,直到无法找到增广路径为止。
最终,割集中的边即为最小割问题的解。
Dinic算法则是一种基于分层图的改进算法,通过预处理网络,构建分层图,并在分层图上进行增广操作,从而提高了算法的效率。
三、多源汇最小费用流问题多源汇最小费用流问题是网络流问题中的一种扩展问题,其目标是在网络中找到从多个源点到多个汇点的最小费用流量分配方案。
离散优化方法中常用的解决多源汇最小费用流问题的算法有费用流算法、最短路算法等。
费用流算法通过引入费用函数,将流量和费用的关系进行建模,从而求解最小费用流问题。
算法合集之《浅谈部分搜索+高效算法在搜索问题中的应用 》
输入文件 zplhz.in 第一行包含三个整数:M、n 和 k(1 ≤ M, n≤ 100,1≤ k≤ 1000),分别表示 B 国连环阵由 M 个武器组成,A 国有 n 个炸弹可以使用,炸弹 攻击范围为 k。以下 M 行,每行由一对整数 xi,yi(0≤ xi,yi ≤ 10000)组成, 表示第 i(1≤ i≤ M)号武器的平面坐标。再接下来 n 行,每行由一对整数 ui, vi(0 ≤ ui,vi≤ 10000)组成,表示第 i(1≤ i≤ n)号炸弹的平面坐标。输入数 据保证无误和有解。
这时我们可以发现一个新的搜索模式:部分搜索。 部分搜索:搜索一部分变量,使得余下的变量之间的关系简化,然后通过 一些高效算法(一般有匹配、解方程、贪心、动态规划等)完成余下问题。 就本题而言:先搜索一定数量(而不是全部)的物品的位置,使问题内物品 的关系简化为二分图关系,用二分图匹配来解决余下的物品。 本质: 其实,例如上面的例子,如果我们先知道了 3 和 5 的位置后,不用匹配,其 实我们是在用搜索来求匹配,效率当然不会高。 通过部分搜索为其它高效算法提供条件(例如上面的例子创造二分图关 系),而其它高效算法代替搜索,高效地完成余下的任务。 部分搜索的方法充分发挥了搜索和其它高效算法的优势。搜索的优势在于 应用性广,可以克服复杂的情况,其他高效算法的优势在于效率高。两者相互 促进,同时也弥补对方的不足。这也是这个方法的成功的关键。 部分搜索+其它高效算法已经在很多题目中得到了应用。我们通过几个例子 来探讨这种搜索方法的应用和优化技巧。
9.王欣上《浅谈基于分层思想的网络流算法》
必然会经过第二类边 经过的第一类边的数 量>=k
.. .
{level=k-1的顶点} 汇点
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一、最短路径增值(MPLA) 层次图中增广路径长度序列严格递增 1<=路径长度<=n-1
最多建n次层次图
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一、最短路径增值(MPLA) 复杂度分析 最多有n层 建层次图: 每层做一次bfs标号O(m)
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加入这个简单的判断后,MPLA算法仍 然只能过60% 但是Dinic通过了100%的数据
其实这题的标准方法是贪心
使用高效的网络流算法节省了大部分的思考时间
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四、MPM 顶点u的通过量g(u): 剩余图中,入边权和与出边权和的较小值
N个点 M个点
N<=5000 M<=50000
大
源点
汇点
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Ac它
贪心初始流
使用高效的网络流算法
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NOI2006: Profit 最大获利
算法的选择
Test1~8 最短路径增值 Dinic 预流推进 <0.1s <0.03s <0.03s test9 >30s 0.40s 0.53s test10 >30s 0.37s 0.51s
浅谈基于分层思想的 网络流算法
上海市延安中学 王欣上
Email: wxsxg@
最短路径增值(MPLA) Dinic MPM
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什么是剩余图? 剩余图G’=(V,E’) 流量网络G=(V,E)中,对于任意一条边(a,b),若 flow(a,b)<capacity(a,b) 则(a,b)∈ E’
网络流算法(NetworkFlow)
网络流算法(NetworkFlow)网络流算法,是指寻找网络流问题的解的算法,它是一类重要的组合优化问题,被广泛应用于计算机科学及工程领域。
网络流是个有向图,它模拟了许多实际问题,如输电方案、货物运输、油管输送和信息传输等。
网络流算法的目的是在给定的网络流中,尽可能地将流量从源点流向汇点,同时满足各个节点的容量约束和流量平衡约束。
本文将介绍网络流模型的构建和基本算法。
一、网络流模型的构建网络流模型是一个有向图G=(V,E),其中V表示节点集合,E表示边集合。
每条边都有一个容量c(e)表示其流量的最大值。
设源点为s,汇点为t,则网络流模型可以表示为一个三元组(N,s,t),即:N=(V,E) s∈V t∈V s≠t在网络流模型中,源点始终是起点,汇点始终是终点。
我们在模型中引入一个源汇节点s'和汇源节点t',并连接源点和汇点,得到源汇图G'=(V,E'),其中:E'=E∪{(s',s,c(s,t))}∪{(t,t',c(s,t))}即,在原图的基础上,加入两个新的虚拟节点s'和t',并连接到源点和汇点。
这样构造的网络流模型中,所有的节点都满足容量和流量平衡约束。
在网络流问题中,我们需要求解最大流或最小割,以满足约束条件,并且尽可能地提高网络的利用率。
二、网络流的基本概念和算法1. 流量和容量网络流图中,首先需要确定每条边的容量和流量。
流量指的是通过该边的流量大小,容量指的是该边能够承受的最大流量。
在网络流模型中,每条边的容量是一个正实数,而流量可以是任意实数。
流量和容量通常表示为f(e)和c(e)。
2. 割在网络流模型中,割是一种对源汇图做出的划分,其中源点s和汇点t被分为两个集合S和T。
网络流通过割的概念来定义障碍物,即对流量的限制。
在网络流图中,割C(S,T)是指将源点s和汇点t割成两部分的划分,C(S,T)满足:s∈S t∈T S∩T=∅根据割的定义,可将所有割分为最小割和最大割。
网络流(最大流-Dinic算法)
⽹络流(最⼤流-Dinic算法)⽹络流定义 在图论中,⽹络流(Network flow)是指在⼀个每条边都有容量(Capacity)的有向图分配流,使⼀条边的流量不会超过它的容量。
通常在运筹学中,有向图称为⽹络。
顶点称为节点(Node)⽽边称为弧(Arc)。
⼀道流必须匹配⼀个结点的进出的流量相同的限制,除⾮这是⼀个源点(Source)──有较多向外的流,或是⼀个汇点(Sink)──有较多向内的流。
⼀个⽹络可以⽤来模拟道路系统的交通量、管中的液体、电路中的电流或类似⼀些东西在⼀个结点的⽹络中游动的任何事物。
————维基百科 最⼤流 正如可以通过将道路交通图模型化为有向图来找到从⼀个城市到另⼀个城市之间的最短路径,我们也可以将⼀个有向图看做是⼀个“流⽹络”并使⽤它来回答关于物料流动⽅⾯的问题。
设想⼀种物料从产⽣它的源结点经过⼀个系统,流向消耗该物料的汇点这样⼀个过程。
源结点以某种稳定的速率⽣成物料,汇点则以同样的速率消耗物料。
从直观上看,物料在系统中任何⼀个点上的“流量”就是物料移动的速率。
这种流⽹络可以⽤来建模很多实际问题,包括液体在管道中的流动、装配线上部件的流动、电⽹中电流的流动和通信⽹络中信息的流动。
我们可以把流⽹络中每条有向边看做是物料的⼀个流通通道。
每条通道有限定的容量,是物料流经该通道时的最⼤速率,如⼀条管道每⼩时可以流过200加仑的液体。
流⽹络中的结点则是通道的连接点。
除了源结点和终结点外,物料在其他结点上只是流过,并不积累或聚集。
换句话说,物料进⼊⼀个结点速率必须与其离开该结点的速率相等。
这个性质称为“流量守恒”,这⾥的流量守恒与Kirchhoff电流定律等价。
在最⼤流问题中,我们希望在不违反任何容量限制的情况下,计算出从源结点运送物料到汇点的最⼤速率。
这是与流⽹络有关的所有问题中最简单的问题之⼀().,这个问题可以由⾼效的算法解决。
⽽且,最⼤流算法中的⼀些基本技巧可以⽤来解决其他⽹络流问题。
9王欣上《浅谈基于分层思想的网络流算法》精品PPT课件
end while
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二、Dinic 复杂度分析
建层次图:
O(n*m)
+
dfs找增广路: O(n*n*m)
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层次图中最多找m次增广路 每次在dfs中最多前进n次,花费O(n) 每次修改流量花费O(n) 一次Dfs复杂度为O(m*n)
栈
e
d
cf
f
b
a
5
5
源
汇
a 105
b
50
c
50
d
105
e
后退到原路径中从源点能够到达的最远点
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ps; While 源点没有被删除
up.top;
if u<>t if outdegree(u)>0 设(u,v)为层次图中的一条边; pp,v;
else 从p和层次图中删除点u, 以及和u连接的所有边;
一、最短路径增值(MPLA) 复杂度O(n*m2) 程序简短
对于中小规模数据速度快
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二、Dinic 算法步骤 1、初始化流量,计算出剩余图
2、一次bfs对顶点标号,计算出层次图,如 果汇点不在层次图内,那么算法结束
3、一次dfs过程找增广
4、转步骤 2
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二、Dinic
第二类:从第i(1<=i<=k+1)
..... {level=3的顶点}
个集合中的顶点连到第 j(1<=j<=i)个集合中的顶点
在层不次存图在中从,le只ve存l=在i的第顶一类 {level=k-1的顶点}
基于分层路网的路径规划算法
基于分层路网的路径规划算法作者:罗亚男付永庆来源:《计算机应用》2013年第06期摘要:为了提高路径规划的效率,提出了一种基于分层路网的二叉堆管理开启列表启发搜索算法。
首先根据路网分级特点的存在,建立分层地图数据库,然后以启发式A*算法为主搜索方式,结合优先队列二叉堆来管理开启列表,完成路径规划。
通过实验对比不同路径规划算法的平均耗时显示:启发式A*算法的效率是盲目式Dijkstra算法的4倍左右,同时在算法中引入二叉堆至少节省5%的规划时间。
分层策略使快速路段所占比例达到90%以上,且将路径规划耗时控制在3s以内。
实现结果表明,所提算法具有很高的运行效率,同时能满足驾驶者多走快速路段的行车心理。
关键词:分层路网;拓扑结构提取;路径规划;A算法;二叉堆0引言路径规划是车载导航系统最重要的功能之一[1]。
根据图论中最短路径理论,不管是最短路径规划、最短时间规划还是最低消费规划,都可以通过赋予图中的边以相应的权值来满足用户的不同需求。
通常情况下,路径搜索可以分为平面搜索和分层搜索两大类。
平面搜索算法中最经典的是20世纪60年代初期由Dijkstra提出的Dijkstra算法,非常适合在带权有向图中解决最短路径问题。
但是该算法的时间复杂度为O(n2),效率比较低,因此在实际应用时受到了很大的限制。
后来许多学者在存储结构和排序算法上对Dijkstra算法进行了改进[2-3],通常改进算法的时间复杂度与节点数成正比,如O(mlbn)或O(m+nlbn)[4]。
也有学者通过引入启发函数的方式进行改进,启发式搜索以1968年Hart等提出的A*算法为代表,现在仍被广泛应用,但这些改进算法的效率会随节点数的增加而急剧下降。
此外,平面搜索算法计算出的“最短”路径并不一定是“最优”路径,最短路径中可能存在大量的窄小拥挤的小巷,而最优路径要尽可能多地包括主干道等快速路段[5],这就有了分层思想。
文献[6]首先提出了层次空间的推理过程,文献[7]又将层次空间推理法则引入到行车最优路径搜索中,但这两篇文献均没有给出具体的路网层次拓扑结构的表达方法[8]。
算法合集之《浅谈最短路径问题中的分层思想》
浅谈最短径路问题中的分层思想福建省泉州市第七中学吕子鉷摘要分层思想与最短路径算法都在许多领域有着广泛的应用。
本文通过对一些信息学竞赛试题的分析,从建立模型和优化算法两个方面阐述了分层思想在最短路径问题中的应用,并分别对这两个方面作了总结。
关键字最短路径分层图论正文1.引言最短路径问题是图论中的一个经典问题。
由于问题中边的权值往往可以从距离引申为其他沿路径线性积累的度量,如:时间、花费等,所以最短路径问题在实际生活中有着广泛的应用,如:城市规划、交通导航、网络寻优等。
分层思想作为一个重要的思想,也有着许多应用,特别在是某些高效的方法中,如:动态规划中的阶段划分、图论中基于求阻塞流的最大流算法等。
将分层思想应用到最短路径问题中,正是分层思想和最短路径问题的强强联合。
2.利用分层思想建立模型这一部分中,作者将简要介绍利用分层思想建立模型的三个问题:拯救大兵瑞恩、fence和cow relay,希望能对利用分层思想解题起到抛砖引玉的作用。
2.1 例题一 拯救大兵瑞恩1题目:有一个长方形的迷宫,被分成了N 行M列,共N ×M 个单元。
南北或东西方向相邻的两个单元之间可以互通,或者存在一扇锁着的门,又或者存在一堵不可逾越的墙。
迷宫中有一些单元存放着钥匙,并且所有的门被分为P 类,打开同一类的门的钥匙相同,打开不同类的门的钥匙不同。
从一个单元移动到另一个相邻单元的时间为1,拿取所在单元的钥匙的时间以及用钥匙开门的时间忽略不计。
求从(1,1)到(N,M)的最短时间。
N,M 不大于15,P 不大于10。
分析:如果忽略了门和钥匙,我们可以把每个单元看成顶点,相互连通的单元之间连一条边权为1的边,那么本题就是一个标准的最短路问题,可以直接使用最短路算法求解。
由于有了门和钥匙的因素,所以必须考虑钥匙状态对门的影响。
我们把图分成2P 层,分别对应持有钥匙的2P 种状态,并根据钥匙的状态改造每层节点使相邻的连通节点间有长度为1的边。
网络流:理论、算法与应用
精彩摘录
网络流理论还在许多其他领域有广泛的应用。例如,在社交网络分析中,网 络流理论可以用于分析用户行为和社交关系;在生物信息学中,网络流理论可以 用于基因表达数据的分析和蛋白质相互作用网络的构建;在交通运输领域,网络 流理论可以用于优化物流和运输路线。
精彩摘录
《网络流:理论、算法与应用》这本书涵盖了网络流理论的各个方面,包括 最大流最小割、各种求解最大流的算法、最小割问题、网络设计和容量最大化问 题等。这些内容对于理解网络流理论的基本概念和算法,以及解决实际应用问题 具有重要的意义。
精彩摘录
精彩摘录
当我们谈到网络流时,我们可能会想到互联网、通信网络、运输网络等各种 网络。在网络流理论中,最著名的概念是“最大流最小割”,即网络中的最大流 等于最小割容量。这意味着在任何给定的网络中,找到最大的流,就是找到能够 从源节点到汇节点传输的最大的信息量。
精彩摘录
除了最大流最小割,网络流理论还涉及到许多其他概念和算法。例如,FordFulkerson算法和Edmonds-Karp算法是最常用的求解最大流的算法。这些算法的 核心思想是通过不断地寻找增广路径来增加流的容量。还有许多优化算法,如 Dinic算法和Push-Relabel算法,用于求解最大流问题。
阅读感受
这本书的作者是拉文德拉·阿胡亚、托马斯·马尼安提和詹姆斯·奥林,他 们都是计算科学领域的专家,对于网络流这一主题有着深入的研究和丰富的实践 经验。从他们的笔下,我们得以一窥网络流的奥秘,理解其背后的理论、算法以 及应用场景。
阅读感受
在网络流的理论方面,书中详细介绍了其数学基础和基本概念。这不仅帮助 读者理解网络流的基本原理,还为后续的算法和应用打下了坚实的基础。通过阅 读这部分内容,我深感网络流并非一个孤立的理论,而是与图论、线性代数等多 个数学领域紧密相连。
可重构分层感知网络流量预测算法
可重构分层感知网络流量预测算法李莉;吴润泽;包正睿;庞思睿【摘要】Traffic prediction is helpful to optimize the allocation of network resources.With the development of computer technology,the characteristic of network traffic is very complex,so it is an inevitable trend to forecast by using intelligent algorithms based on artificial neural network.However,the research of artificial neural network mainly focuses on thealgorithm,traditional hardware implementation is not easy to expand and maintain.In order to change the situation that the artificial neural network can't meet the requirement of real-time processing and customized neural network prediction hardware isn't flexible enough,we design a method of traffic prediction based on hi-erarchical reconfigurable perceptron network,which is used for the traffic prediction by constructing parallel perceptron based on the on-chip network technology of the multi-core processors,modifying the hierarchical perceptual network structure and configuring different activation functions.Finally the simulation verification is carried out on the FPGA platform.Tests show that the method is flexible and has high prediction accuracy and good real-time performance.%流量预测有利于实现网络资源的优化配置,而计算机技术的发展使得网络流量的变化特性十分复杂,通过以人工神经网络为主的智能算法进行预测已成为必然趋势.但人工神经网络的研究主要集中在算法层面,传统的硬件实现不易扩展和维护.为了改变人工神经网络串行预测特点不能满足实时处理要求,定制神经网络预测硬件不够灵活的现状,设计了一种采用分层可重构感知网络进行流量预测的方法.基于多核处理器中的片上网络技术构建并行感知器,通过修改分层感知网络结构,配置不同的激活函数实现可重构感知网络来进行流量预测,并在FPGA平台进行了仿真验证.测试结果表明,该方法灵活,且基于该方法的流量预测精度较高,实时性好.【期刊名称】《计算机技术与发展》【年(卷),期】2018(028)005【总页数】4页(P197-200)【关键词】流量预测;分层可重构感知;神经网络;片上网络;并行处理【作者】李莉;吴润泽;包正睿;庞思睿【作者单位】国网冀北电力有限公司经济技术研究院,北京100055;华北电力大学电气与电子工程学院,北京102206;华北电力大学电气与电子工程学院,北京102206;国网冀北电力有限公司信息通信分公司,北京100053【正文语种】中文【中图分类】TP3910 引言随着互联网规模不断扩大,网络流量数据与业务种类越来越多,网络资源与网络需求供需矛盾日趋尖锐,网络流量预测不但有助于分析网络安全状况,而且可以科学管理和防范网络异常,因此,网络流量预测研究和实现具有重要意义[1]。
网络流构图总结
网络流构图总结网络流专题研究福州一中肖汉骏预备知识(参见Amber论文)网络和流残留网络和增广路径最大流和最小割主要算法最大流增广路方法Ford-Fulkerson method一般增广路算法Labeling algorithm连续增广路算法由陈启峰提出,竞赛中相当实用,近于O(m)容量缩放增广路算法Capacity scaling algorithm最短增广路算法Edmonds-Karp algorithm连续最短增广路算法Successive shortest augmenting path algorithm (Dinic augorithm)预流推进方法Preflow-push method一般预流推进算法Generic preflow-push algorithm先进先出预流推进算法FIFO preflow-push algorithm最高标号预流推进算法Highest-label preflow-push algorithm (Relabel-to-Front algorithm)最小费用流最小费用路方法一般最小费用路算法(SPFA找增广路,复杂度近于O(mf),竞赛中实用)注意:初始流的费用必须保证是在所有同流量流中最小的。
原始-对偶算法消圈方法一般消圈算法网络单纯形法常见变形多源多汇问题可通过增添超级源和超级汇解决。
点有容量或费用可以尝试拆一个点为一入点一出点,将点的限制转移到入点到出点的边上。
重边、无向边和自环的处理对于使用边链表存储的图,重边一般不需要特殊处理。
但当重边的数量太多以至于显著影响算法效率时,可以考虑将相同起点终点的边的容量相加。
而无向边则可以看做是在两个方向上都只要求Flow小于Capa即可。
而最小费用流问题中的重边却反而成为一种处理复杂权函数的手段。
根据题目要求或者问题性质,可以为重边列出一个费用随流量变化的函数。
如果将这个函数的离散点顺次相连,得到的是若干斜率不断增大的折线段,则可为每段折线段建立一条边,根据最小费用流的性质,重边选择的必然是连续的一段。
[分层网络技术及应用分析]网络技术及应用
[分层网络技术及应用分析]网络技术及应用分层网络技术及应用分析在社会的不断发展过程中,分层网络技术顺应社会的生产要求,这项先进的网络技术主要应用于制造大中型设备的大中型企业。
现在的重型机械厂、飞机制造厂等大型企业都在运用先进的分层网络技术,以此来提高自身的生产效率,提高企业的综合竞争力。
现在的大中型企业都会为了生产研究出一种有效并且科学的进度控制方法,进行进度计划编制,然而它们都是基于先进的分层网络技术所得到的。
1层次分解方法的分析研究通常根据网络模型的目标可以将网络模型分为三大类,分别为单目标网络模型、多目标网络模型以及群体网络模型。
1.2层次分解方法的研究研究网络计划的分层,是用来解决大型网络中多人和多单位分别完成不同规模的部分网络计划最后放在一起实现综合平衡出现的差异和便宜的主要手段。
进过人们的分析探讨层次分解方法包括一般的层次分解方法、组件分解方法以及网络简化方法。
这些分解方法取长补短,各有优点,具有很高的实用性。
1.3层次的分解模型大型网络都是要有分解层次的,每一个比较大的网络计划中,它都有成千上万的节点,划分层次的多少决定着这个网络计划是否复杂,例如,如果过少的进行分层对大型的网络计划,那么它每个网络分层的网络节点就会有很多,那么去实施和控制这个巨大的网络计划就会有很大的困难,同时它也会导致后续的系统分解的复杂,导致劳而无功,从而错过获得网络分层最优方案的机会。
相对应的就是过多的分层针对大型的网络计划,这样就会产生过多的网络关系,这些网络关系会逐渐的复杂化,同时也会增加计算量,为编制等工作人员增加更多的压力。
经过科学的研究分析,一个大型的网络计划分三层是最好的选择,适合所有的大中型网络。
网络层次的分解也是具有原则性的,研究分析网络分层的原则就必须要弄清楚网络工作分解和优化目标的复杂关系,最后实现寻找到最有方案例如保证工期最短,费用最省以及质量最好的目的,然后就是全程掌握进度统筹安排与控制。
分层聚类分析算法
分层聚类分析算法随着数据量的不断增加,人们需要更有效的方式来对数据进行分析和处理。
其中一种常用的方法就是聚类分析。
它可以将数据集分成若干个群组,每个群组内的数据点彼此相似。
这种方法已经被广泛应用于各种领域,例如生物学、天文学、社会学、广告以及金融等领域。
聚类分析算法有很多种,其中一种常见的方法就是分层聚类分析算法。
它可以自动地将数据集分成各个聚类,并将聚类结果以层次树的结构呈现出来。
这种方法有很多优点,例如在可视化数据方面非常有用,并且可以处理各种数据类型。
算法过程分层聚类分析算法的核心思想是基于距离度量来将数据集分成若干个聚类。
其具体实现过程通常包括以下几个步骤:1. 数据准备分层聚类分析算法的第一步是数据准备。
通常需要进行数据清洗和数据预处理,以保证数据的质量和准确性。
具体来说,需要判断数据是否存在缺失值、异常值和重复数据,并对这些数据进行相应的处理。
2. 距离计算一旦数据集被准备好,分层聚类分析算法将计算数据之间的距离。
距离可以是欧几里得距离、曼哈顿距离、余弦相似度等多种方式。
这些距离方法适用不同的数据类型,例如数值、文本和图片等。
3. 聚类合并接下来,算法将聚类合并。
在最初的阶段,每个数据点都是一个独立的聚类。
然后算法将具有最小距离的聚类合并。
因此数据集中距离最近的两个聚类将被合并成一个新的聚类,这个新的聚类将成为另一个聚类,因此将有一个聚类少。
4. 层次树构建迭代合并聚类的过程将一直持续到只剩下一个聚类为止,所有聚类的层次都被记录在一棵层次树中。
层次树描绘了不同聚类之间的距离,使得通过分析树形图可以更容易地理解数据的结构和特征。
5. 聚类结果选择最后,需要确定分层聚类分析算法生成的层次树的聚类数。
这通常是根据特定的业务需求和应用场景来确定的,因此可以根据不同的需求来选择最终的聚类数量。
应用场景分层聚类分析算法有广泛的应用场景。
一些经典的应用包括时间序列聚类、推荐系统和基因表达式数据分析等领域。
网络流概念及相关算法介绍
网络流概念及相关算法介绍引言实现Ford-Fulkerson的时间复杂度主要取决于如何寻找增加路径p。
Edmonds-Karp实现正是通过采用了广度优先的搜索策略得以使其复杂度达到O(V*E^2)。
由于这种算法的效率不很理想,我们在此不多着墨,而主要介绍下述push-relabel算法的思想。
五、一般性的push-relabel算法很多渐进意义下最优的算法都是采用了push-relabel算法的思想,而且很多其他的相关问题,比如最小费用流问题,也可以用这种方法很好的解决。
首先介绍的是一般性的push-relabel算法。
不同于Ford-Fulkerson方法在残留网络中寻找增加路径的方式,push-relabel算法在运行的过程中只关注某一个顶点以及它的相邻顶点,在这个过程中,它并不像Ford-Fulkerson方法保持着“流的保持”性质,而是以一个“先流”进行运作。
这个先流同样是一个V×V →R的函数,满足容量限制和斜对称性,同时,它对所有的u∈V-{s}满足f(V,u)>=0。
我们记e(u)=f(V,u)。
如果e(u)>0我们就说顶点u溢出。
为了步入正题,我们还需要介绍push-relabel算法引入的一个额外的高度函数。
设G=(V,E)是一个流网络,源点是s,汇点是t,f是G中的一个先流。
如果函数h:V→N满足h(s)=|V|,h(t)=0,而且对残留网络中所有的边(u,v)有h(u)<=h(v)+1,那么称h是一个高度函数。
正如其名称一样,push-relabel算法有两个基本操作:push和relabel。
一般性的push-relabel算法就是通过往复执行这两种操作完成的:GENERIC-PUSH-RELABEL(G)先流初始化while 存在可以执行的push或relabel操作选择一个可以执行的push或relabel操作执行。
网络流算法详解
v1 15 s 4 8 v2 3
12
v3 16
9
7 v4
2 5
t
6
图 1 网络流的一个例子
v1 10/15 s 4/4 5/8 0/3 v2
5/12 0/9 4/7 5/6
v3 9/16 0/2 v4 5/5 t
图 2 图 1 的一条流 f
v1 5 s 4 10 3 8
7 5 13 3
v3 9 2 v4
网络流算法详解
网 络 流 算 法 在 许 多 实 际 问 题 中 有 应 用 , 如 匹 配 问 题 , 著 名 的 Hall 婚 姻 定 理 。 这里不证明“最大流最小割定理” ,简单解释求最大流的 Ford-Fulkerson 算法。接下来分别 详述时间复杂度为 O(VE2)的 Edmonds-Karp 算法和时间复杂度为 O(V2E)的 Dinic 算法。至 于较新的预留推进算法就不介绍了,这个算法证明比较难,感兴趣的可以看看算法导论。 本文所用到的网络流如图 1,s 为原点,t 为汇点,边上的值表示边的容量 c(u,v),如 c(s,v1)=15,c(v1,v2)=8。流用符号 f(u,v)表示,如图 2,流的容量 f(s,v1)=10,f(v1,v2)=5。剩 余容量 cf (u,v)=c(u,v)-f(u,v)。在原剩余网络中找到一条流后,修改原网络边的剩余容量得到 剩余网络 Gf,如图 3 所示。注意剩余网络中有一些新添加的边即反向边的容量,为流的反 馈。在图 3 中,有 f(v1,v3)=5,那么有 f(v3,v1)=- f(v1,v3)=-5,然后 cf(v3,v1)=c(v3,v1)-f(v3,v1)=0-(5)=5。
△ f=3。
v1 5 s 4 10 3 8 v2 7 5 13 3 v4 v3 9 2 5 t 7
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6 3 源点
2
4 汇点
剩余图(a)
4
5 源点 图中找到阻塞流之后, 层次图中就不存在从第一个集合一步一 步往下走, 最后达到第 k+1 个集合的长为 k 的路径了。 而此时不在层次图中的边 都是第二类边。我们可以发现,这个时候在剩余图中的最短路径一定是这样:从 源点开始,往下一步一步走,走到某个集合后沿着第二类边向上退至某个集合, 再继续一步一步向下走,到某个集合又向上退„„„„直到走到汇点。 因为必然会经过第二类边,而经过的第一类边的数量>=k,所以路径总长度 一定大于 k。这即是下一个阶段的最短路径长度。 由此,我们得出了一个结论:
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{层次为 0 的顶点集合} {层次为 1 的顶点集合} {层次为 2 的顶点集合}
.
.
.
{层次为 k 的顶点集合}
{层次为 k-1 的顶点集合}
在剩余图中,存在着 2 类边。
第一类:从第 i 个集合中的顶点连到第 i 1(1 i k ) 个集合中的顶点 第二类:从第 i(1 i k 1) 个集合中的顶点连到第 j(1 j i) 个集合中的顶点
1、初始化流量,计算出剩余图 2、根据剩余图计算层次图。若汇点不在层次图 内,则算法结束 3、在层次图内不断用 bfs 增广,直到层次图内没 有增广路为止 4、转步骤 2
算法中,2、3 步被循环执行,我们将执行 2、3 步的一次循环称为一个阶段。 每个阶段中, 我们首先根据剩余图建立层次图, 然后不断用 bfs 在层次图内增广, 寻找阻塞流。增广完毕后,进入下一个阶段。这样不断重复,直到汇点不在层次
①
图论这门学科的诞生始于 18 世纪欧拉证明了七桥问题,发表《依据几何位置的解题方法》一文。但图论 的真正发展是从 20 世纪五六十年代开始的。所以说,图论是一门既古老又年轻的学科。 ② 本文对一些基本的理论,如最大流最小割定理等,不做阐述,读者可以参阅相关网络流资料。 ③ 本文中所有涉及到的边若无指明均为有向边。 第 3 页 共 26 页
结论:层次图中增广路径长度随阶段而严格递增。
因为增广路径长度最短是 1,最长是 n-1 ,再算上汇点不在层次图内的最后 一次,层次图最多被建造 n 次,所以最短路径增值算法最多有 n 个阶段。 证毕。
[目录]
一、引言.....................................................................................................3 二、预备概念.............................................................................................3 2.1 剩余图的概念 ................................................................................3 2.2 顶点的层次 ....................................................................................4 2.3 层次图的概念 ................................................................................4 2.4 阻塞流的概念 ................................................................................5 三、最短路径增值算法(MPLA)的步骤及复杂度分析 ..........................5 3.1 算法步骤 ........................................................................................5 3.2 定理的证明 ....................................................................................6 3.3 复杂度分析 ....................................................................................9 四、Dinic 算法的步骤以及复杂度分析 ................................................10 4.1 算法步骤 ......................................................................................10 4.2 复杂度分析 ..................................................................................14 五、Dinic 算法在信息学竞赛中的应用 ................................................16 例题 1 最大获利(profit) ....................................................................16 例题 2 矩阵游戏 ...............................................................................19 六、MPM 的算法步骤以及复杂度分析 ................................................20 6.1 算法步骤 ......................................................................................20 6.2 复杂度分析 ..................................................................................21
2.4 阻塞流的概念
在流量网络中存在一可行流 f ,当该网络的层次图 G 3 中不存在增广路时, 我们称流函数 f 为层次图 G3 的阻塞流。
三、最短路径增值算法 (MPLA)的步骤及复 杂度分析
3.1 算法步骤
之前我们讲到的层次图将被应用在最短路径增值算法中。首先,我们看一下 最短路径增值算法的步骤:
在层次图中,只存在第一类边,这是由层次图的性质决定的。我们所要找的 增广路中的边也必定是第一类边。 当我们对一条增广路径增广后,会删除一条或多条增广路中的饱和边,也就 是第一类边; 而同时会在剩余图中加入一些与增广路径中的边反向的边。这些新 加入的边一定是第二类边。如下图所示,在剩余图 (a)中,找到一条从左向右的 增广路径,能够增广的流量大小为 2。增广后的结果是剩余图(b)。可以发现,在 剩余图(a)里面,中间一条红色第一类边在增广后饱和而被删除了,同时,在剩 余图(b)中,新增了 2 条绿色的第二类边。
3.2 定理的证明
定理:对于有 n 个点的流量网络,在最短路径增值算法中,最多 有 n 个阶段。
也就是说,在算法中层次图最多被建立 n 次。证明这个定理有助于我们进行 算法复杂度分析。
证明: 在建立完层次图以后,假设从源点到汇点的最短路径长度为 k,我们将层次 图中所有的点分到 k+1 个集合中,第 i 个集合为 {顶点u | level(u) i 1} ,如下图 所示:
2.2 顶点的层次
在剩余图中,我们把从源点到点 u 的最短路径长度称作点 u 的层次,记为
level(u) 。源点的层次为 0。在下面这张剩余图中:
1 源点 0 3 2 汇点 3
每个点旁边的数字即表示该点在图中的层次。
2.3 层次图的概念
我们这样定义层次图 G3 (V3 , E 3 ) :对于剩余图 G2 (V2 , E2 ) 中的一条边
中的权值为 g (v, u) f (u, v) 。 我们可以发现, 流量网络中的每条边在剩余图中都化作一条或二条边。剩余 图中的每条边都表示在原流量网络中能沿其方向增广。 剩余图的权值函数 g (a, b) 表示在流量网络中能够沿着 a到b 的方向增广大小为 g (a, b) 的流量。所以在剩余 图中,从源点到汇点的任意一条简单路径①都对应着一条增广路,路径上每条边 的权值的最小值即为能够一次增广的最大流量。
二、预备概念②
2.1 剩余图的概念
给定一个流量网络 G1 ( E1 ,V1 ) 、源点 s 、汇点 t 、容量函数 c ,以及其上的 流量函数 f 。我们这样定义对应的剩余图 G2 ( E2 ,V2 ) :剩余图中的点集与流量 网络中的点集相同,即 V2 V1 。对于流量网络中的任一条边 ③ (u, v) E1 ,若
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f (u, v) c(u, v) , 那 么 边 (u, v) E2 , 这 条 边 在 剩 余 图 中 的 权 值 为 g (u, v) c(u, v) f (u, v) ;同时,若 f (u, v) 0 那么边 (v, u) E2 ,这条边在剩余图
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七、总结...................................................................................................22
[正文]
一、引言
图论这门古老而又年轻的学科①在信息学竞赛中占据了相当大的比重。 其中, 网络流算法经常在题目中出现。 网络流涵盖的知识非常丰富,从基本的最小割最 大流定理到网络的许多变形再到最高标号预流推进的六个优化等等, 同学们在平 时需要多多涉猎这方面的知识,不断积累,才能应对题目的各种变化。 随着信息学竞赛的不断发展, 其题目的难度以及考察范围都不断增大。 现在, 对于一些新出现的题目, 仅仅掌握最朴素的网络流算法并不足以解决问题。本文 针对一些数据规模比较大的网络流题目详细介绍了基于分层思想的 3 个网络流 算法,并通过列举和比较说明了其在解题中的应用,而对一些基础的知识,如最 小割最大流定理等,没有作具体阐释,大家可以在许多其他网络流资料中找到。