2013年高考真题理科数学解析分类汇编4-数列附答案解析

2013年高考真题理科数学解析分类汇编4 数列
一选择题
1，[新课标I]，7、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，1m S -＝－2，m S ＝0，1m S +＝3，则m ＝ ( ) A 、3 B 、4错误！未找到引用源。

C 、5
D 、6
【解析】有题意知m S =
1()
2
m m a a +=0，∴1a =－m a =－（m S -1m S -）=－2， 1m a += 1m S +-m S =3，∴公差d =1m a +-m a =1，∴3=1m a +=－2m +，∴m =5，故选C.
2.[新课标I]12、设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,…
若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n
2，则(
) A 、{S n }为递减数列 B 、{S n }为递增数列错误！未找到引用源。

C 、{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列
D 、{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 答案B
【解析】错误！未找到引用源。

＝c n ＋a n 2 + b n ＋a n
2
= 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

,⟹ 错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

⋯⋯错误！未找到引用源。

,
错误！未找到引用源。

= − 错误！未找到引用源。

⟹ 错误！未找到引用源。

=错误！
未找到引用源。

⋯⋯错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

+2 错误！未找到引用源。

=4错误！未找到引用源。

⋯⋯错误！未找到引用源。

,
错误！未找到引用源。

−2 错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

⋯⋯错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

− 错误！未找到引用源。

,是正数递增数列
所以错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

−1（因为错误！未找到引用源。

边不是最大边，所以错误！未找到引用源。

是锐角）是正数递减数列 ⟹ 错误！未找到引用源。

是正数递增数列
错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

是递增数列 所以选B 3.新课标II 3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知错误！未找到引用源。

，，则1a ＝（ ） （A ）
31 （B ） 31- （C ）91 （D ）9
1- 【答案】C
解析:错误！未找到引用源。

⟹ 错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

⟹9错误！未找到引用源。

⟹ q=±3 又错误！未找到引用源。

即错误！未找
到引用源。

=9⇒错误！未找到引用源。

=9
1 4.陕西 14. 观察下列等式:
211=
22123-=- 2221263+-=
2222124310-+-=- …
照此规律, 第n 个等式可为 )1(2
)1-n 1--32-11
2
1
-n 2
2
2
+=+++n n n （）（ .
【答案】)1(2
)1-n 1--32-11
2
1
-n 2
2
2
+=+++n n n （）（
【解析】分n 为奇数、偶数两种情况。

第n 个等式为2
1-n 222
n 1--32-1
）（++ 。

当n 为偶数时，分组求和：
2
1)
n(n -])1[()43()2-1222222+=--++-+n n （。

当n 为奇数时，第n 个等式=2
1)
n(n 21)n(n -2+=+-n 。

综上，第n 个等式：)1(2
)1-n 1--32-11
2
1
-n 2
2
2
+=+++n n n （）（
5.江西1等比数列x ，3x+3，6x+6，…..的第四项等于
A ．-24 B.0 C.12 D.24
6.福建9. 已知等比数列{}n a 的公比为q ，记m n m n m n m n a a a b +-+-+-+⋅⋅⋅++=)1(2)1(1)1(，
m n m n m n m n a a a b +-+-+-*⋅⋅⋅**=)1(2)1(1)1(，()*,N n m ∈，则以下结论一定正确的是（ ）
A. 数列{}n b 为等差数列，公差为m q
B. 数列{}n b 为等比数列，公比为m q 2
C. 数列{}n c 为等比数列，公比为2
m q
D. 数列{}n c 为等比数列，公比为m
m q
7.辽宁（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：
{}1:n p a 数列是递增数列；
{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；
其中的真命题为
（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p
【答案】D
【解析】因为错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，且错误！未找到引用源。

所以函数错误！未找到引用源。

是增函数，所以1P 正确；错误！未找到引用源。

,增区间是错误！未找到引用源。

,错误！未找到引用源。

当错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

不是递增 所以2P 错；错误！未找到引用源。

,如果错误！未找到引用源。

是递减数列，错误！未找到引用源。

是常数列，错误！未找到引用源。

是递增数列，所以3P 错；错误！未找到引用源。

，是递增数列，4P 正确.选D
8.上海17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==
）则该矩阵元素能取到的不同数值的个
数为（ ） (A)18 (B)28 (C)48
(D)63
答案A
解析错误！未找到引用源。

，而2,3,,19i j +=，故不同数值个数为18个，
二填空题
9.湖北14
10.重庆12、已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若125,,a a a 成等比数列，则8_____S = 【答案】：64
11.上海1．计算：20
lim
______313
n n n →∞+=+
答案：错误！未找到引用源。

解析;错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

12.安徽理（14）如图，互不-相同的点12,,,n A A X 和12,,,
n B B B 分别在角O 的两条
边上，所有n n A B 相互平行，且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等。

设.n n OA a =若
121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是_____*,23N n n a n ∈-=____。

【答案】 *,23N n n a n ∈-=
【解析】 22
10011011)(a a
S S S S A B B A S O B A n n n n =+⇒
∆++的面积为，梯形的面积为设.
4
1)(
,32210==⇒a a S S .)(13232.)(3431)()1(2122122100+++++=+-=++⇒=+++n n n n n n a a n n a a n n a a S n S nS S 种情况得由上面
1
31
)(13113231077441)()()()()(
21121121243232221+=⇒+=+-⋅⋅==⇒+++n a a n n n a a a a a a a a a a n n n n *,231,1311N n n a a n a n n ∈-=⇒=+=⇒+且
13.广东12.在等差数列{a n }中，已知a 3+a 8=10，则3a 5+a 7= 解析：3a 5+a 7=a 5+a 4+a 6+a 7=(a 4+a 7)+(a 5+a 6)=2(a 3+a 8)= 20 [新课标I]14、若数列{n a }的前n 项和为S n ＝
21
33
n a +，则数列{n a }的通项公式是n a =______.
【命题意图】本题主要考查等比数列定义、通项公式及数列第n 项与其前n 项和的关系，
是容易题.
【解析】当n =1时，1a =1S =
121
33a +，解得1a =1， 当n ≥2时，n a =1n n S S --=2133n a +－(12133n a -+)=122
33
n n a a --，即n a =12n a --，
∴{n a }是首项为1，公比为－2的等比数列，∴n a =1
(2)
n --.
14.【湖南】15．设n S 为数列{}
n a 的前n 项和，1
(1),,2
n n n n S a n N *=--∈则 （1）3a =_____；
（2）12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________。

【答案】错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

【解析】 错误！未找到引用源。

：由1
(1),,2
n n n n S a n N *=--
∈得错误！未找到引用源。

⟹错误！未找到引用源。

, 错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

⟹错误！未找到引用源。

由错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

, 同时⟹错误！未找到引用源。

,即错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

．错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

−错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

− 错误！未找到引用源。

−错误！未找到引用源。

+ 错误！未找到引用源。

⟹ 错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

+ 错误！未找到引用源。

⋯⋯错误！未找到引用源。

当n=2k 为偶数时得：错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

+ 错误！未找到引用源。

=− 错误！未找到引用源。

⋯⋯错误！未找到引用源。

当n=2k −1为奇数时得：错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

+错误！未找到引用源。

+ 错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

+ 错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

+ 错误！未找到引用源。

= 错误！未找到引用源。

+ 错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

即错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

⋯⋯错误！未找到引用源。

=2错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

15.[江苏] 14．在正项等比数列}{n a 中，2
1
5=
a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的
最大正整数n 的值为 ． 【答案】12
【解析】设正项等比数列}{n a 首项为a 1，公比为q ，则：⎪⎩⎪⎨⎧
=+=
3
)1(2
15141q q a q a ，得：a 1＝1
32 ，
q ＝2，a n ＝2
6－n
．记5
2121
2-=+++=n n n a a a S ，2
)1(212
n
n n n a a a T -== ．n n T S >，
则2
)1(5
2212n n n ->-，化简得：52
112122
12+->-n n n
，当52
11
212+->
n n n 时，122
121
13≈+=
n ．当n ＝12时，1212T S >，当n ＝13时，1313T S <，故n max ＝12． 16.福建15. 当1,<∈x R x 时，有如下表达式： x x x x n -=
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++1112 两边同时积分得：
⎰
⎰
⎰
⎰⎰
-=
⋅⋅⋅+⋅
⋅⋅++
+21
0210
21
2
210
210111dx x
dx x dx x xdx dx n
从而得到如下等式：
.2ln )2
1(11)21(31)21(21211132=⋅⋅⋅+⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+n n 请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：
=⨯++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯+132210)2
1(11)21(31)21(2121n n n n n n C n C C C
17.辽宁（14）已知等比数列{}{}13n n n a S a n a a 是递增数列,是的前项和.若，是方程
26540x x S -+==的两个根，则 .
【答案】63
【解析】解方程错误！未找到引用源。

得131,4a a ==，所以2
3
1
4a q a ==，2q =代入等比求和公式得663S =
18.全国（6）已知数列{}n a 满足{}124
30,,103
n n n a a a a ++==-
则的前项和等于
（A ）()
-10-61-3 （B ）()-101
1-39
（C ）()-1031-3 （D ）()-1031+3 [答案]C
[解析]3错误！未找到引用源。

⟹错误！未找到引用源。

⟹数列错误！未找到引用源。

是首相为4公比为错误！未找到引用源。

的等比数列错误！未找到引用源。

19.新课标II （16）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知010=S ，2515=S ，则n n S 的最小值为 。

【答案】－49
解析：错误！未找到引用源。

,
10错误！未找到引用源。

,⋯错误！未找到引用源。

,解得：错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

所以错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

，错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

=0,⟹n=0或n=错误！未找到引用源。

即在区间错误！未找到引用源。

为减在错误！未找到引用源。

为增 n= 错误！未找到引用源。

极小值点，由于n 是正整数 所以最小值在n=6或n=7时取到
错误！未找到引用源。

=−48 ， 错误！未找到引用源。

=−49 所以最小值为错误！未
找到引用源。

=−49
20．北京10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和
S n = .
三解答题
21.天津(19) (本小题满分14分)
已知首项为
3
2
的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列.
(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;
(Ⅱ) 设*()1
n n n T S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值.
解析Ⅰ，S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. ⟹ 2错误！未找到引用源。

4错误！未找到引用源。

⟹错误！未找到引用源。

，数列不减⟹q =− 错误！未找到引用源。

⟹错误！未找到引用源。

Ⅱ，错误！未找到引用源。

n 为奇数时，错误！未找到引用源。

是减错误！未找到引用源。

是增 −错误！未找到引用源。

是减，所以错误！未找到引用源。

−错误！未找到引用源。

是减⟹错误！未找到引用源。

n 为偶数时，错误！未找到引用源。

是增错误！未找到引用源。

是减 −错误！未找到引用源。

是增，所以错误！未找到引用源。

−错误！未找到引用源。

是增⟹错误！未找到引用源。

最大错误！未找到引用源。

最小错误！未找到引用源。

22.上海23．（3 分+6分+9分）给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,
a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.
（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，； （3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存
在，说明理由.
23. 【解答】：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，
3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+
（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，
()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+
即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++
若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；
若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立 综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥
（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，
总有0n a >
此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+
故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++， 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，
当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满
足题意；
若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--， 此时，230,8,
,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；
综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--．
解答：（1）由S 4=4S 2，a 2n =2a n +1，｛a n ｝为等差数列，可得，11,2a d ==
所以21n a n =-
24.陕西17. (本小题满分12分) 设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 导{}n a 的前n 项和公式;
(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.
【答案】(Ⅰ) ⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--==)
1(,1)
1()1(,
11q q q a q na S n n ; (Ⅱ) 见下；
【解析】(Ⅰ) 分两种情况讨论。

①.}{111111na a a a S a a q n n =+++== 的常数数列，所以是首项为时，数列当 ②n n n n n n qa qa qa qa qS a a a a S q ++++=⇒++++=≠--1211211 时，当. 上面两式错位相减:
.)()()()-11123121n n n n n qa a qa qa a qa a qa a a S q -=--+-+-+=- （
q q a q qa a S n n n -1)1(.-111-=-=⇒。

③综上，⎪⎩
⎪
⎨⎧≠--==)
1(,1)
1()1(,
11q q q a q na S n n
(Ⅱ) 使用反证法。

设{}n a 是公比q ≠1的等比数列, 假设数列{1}n a +是等比数列.则 ①当1*+∈∃n a N n ，使得=0成立，则{1}n a +不是等比数列。

②当01*≠+∈∀n a N n ，使得成立，则恒为常数=++=++-+1
1111
11
1n n
n n q a q a a a 1,0111111=≠⇒+=+⇒-q a q a q a n n 时当。

这与题目条件q ≠1矛盾。

③综上两种情况，假设数列{1}n a +是等比数列均不成立，所以当q ≠1时, 数列{1}n a +不是等比数列。

（证毕）
25.全国17．（本小题满分10分）
等差数列{}n a 的前n 项和为2
32124.=,,,n S S a S S S 已知且成等比数列，求{}n a 的
通项式.
解析：设错误！未找到引用源。

则错误！未找到引用源。

=3错误！未找到引用源。

⟹错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

⋯⋯错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

=错误！未找到引用源。

⋯⋯错误！未找到引用源。

错误！未找到引用源。

代入错误！未找到引用源。

得错误！未找到引用源。

或
错误！未找到引用源。

⟹错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

⟹错误！未找到引用源。

或错误！未找到引用源。

26.江苏19．（本小题满分16分）
设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和．记c
n nS b n
n +=
2， *N n ∈，其中c 为实数．
（1）若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=（*
,N n k ∈）；
（2）若}{n b 是等差数列，证明：0=c ． 证：（1）若0=c ，则d n a a n )1(-+=，2]2)1[(a d n n S n +-=
，2
2)1(a
d n b n +-=．
当421b b b ，，成等比数列，412
2b b b =，
即：⎪⎭⎫ ⎝
⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322
d a a d a ，得：ad d 22
=，又0≠d ，故a d 2=．
由此：a n S n 2=，a k n a nk S nk 222)(==，a k n S n k 222=． 故：k nk S n S 2=（*
,N n k ∈）．
（2）c
n a d n n c n nS b n n ++-=+=22
222)1(， c
n a d n c
a d n c a d n n ++--+-++-=2
222)1(22)1(22)1(
c
n a
d n c
a d n ++--+-=2
22)1(22)1(． (※) 若}{n b 是等差数列，则Bn An b n +=型． 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，
故有：022)1(2
=++-c
n a
d n c
，即022)1(=+-a d n c ，而22)1(a d n +-≠0， 故0=c ．
经检验，当0=c 时}{n b 是等差数列．
27.广东19. （本小题满分14分）
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知211212
1,,*33
n n S a a n n n N n +==---∈. （1）求2a 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数n ，有
12
11
174
n a a a +++
<. 解：（1）令1n =，得11212
22133
S a a ==--- 把11a =代入，解得24a =
（2）由21212
33
n n S a n n n +=---，得 32112
233n n S na n n n +=---…………………………①
321212
2(1)(1)(1)33n n S na n n n ++=-+-+-+……………………②
②-①化得211,(*)21n n a a n N n n ++-=∈++。

由（1）可得11,(*)1n n a a
n N n n +-=∈+，
所以{}n a n
成为首项为111a
=，公差为1的等差数列，于是有1(1)n a n n n =+-=
即2n a n =
（3）①当1n =时，显然
117
14
a =<成立； ②当2n ≥时，
22111111()1211
n a n n n n =<=---+
∴
12
111
n
a a a +++
11111111
1[(1)()(
)()]2324211
n n n n <+-+-+
+-+---+ 111171111(1)()221421n n n n =++--=-+++7
4
<
综合以上，对一切正整数n ，有
12
11
174
n a a a +++
<. 28.江西17. （本小题满分12分）
正项数列{a n }的前项和{a n }满足：2
22(1)()0n n s n n s n n -+--+=
（1）求数列{a n }的通项公式a n ； （2）令2
2
1(
2)n n b n
a
+=
+，数列{b n }的前n 项和为n T 。

证明：对于任意的*
n N ∈，都有564n T <
29.湖北18
30.北京20. (本小题共13分)
已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项1n a +，2n a +…的最小值记为B n ，d n =A n －B n
(I)若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *
，4n n a a +=)，
写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；
(II)设d 为非负整数，证明：d n =－d (n =1,2,3…)的充分必要条件为{a n }为公差为d 的等差数列；
(III)证明：若a 1=2，d n =1(n =1,2,3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1
31.浙江18
32.四川16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中，218a a -=，且4a 为2a 和3a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和．。