浙江省宁波市余姚中学2016届高三上学期期中数学试卷(理科) 含解析

2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高三（上）期中数学试卷
（理科）
一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．下列说法正确的是（）
A．若命题p，¬q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题
B．命题“若xy=0,则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0则x≠0或y≠0”
C．命题“∀x∈R,2x＞0"的否定是“∃x0∈R,2≤0”
D．“x=﹣1"是“x2﹣5x﹣6=0"的必要不充分条件
2．已知函数f（x)=Asin（ωx+φ)( A≠0，ω＞0，）在时取得最大值,且它的最小正周期为π，则（）
A．f（x）的图象过点（0，）
B．f（x）在上是减函数
C．f(x）的一个对称中心是
D．f（x)的图象的一条对称轴是x=
3．已知数列{a n}满足：a n=,且S n=，则n的值为（)
A．8 B．9 C．10 D．11
4．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中,真命题的序号为(）
①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．
②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．
③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线．
④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．
A．①③B．②③C．②④D．①④
5．已知函数f（x）=﹣kx2（k∈R)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＜1 C．0＜k＜1 D．k＞1
6．若直线+=1通过点M(cosα，sinα),则（）
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．
7．已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的离心率为（）
A．2 B．2C．D．
8．设a＜0，（3x2+a)（2x+b）≥0在（a，b）上恒成立,则b﹣a的最大值为(）A．B．C．D．
二、填空题（每题5分,满分35分，将答案填在答题纸上）
9．设全集为R，集合M={x∈R|x2﹣4x+3＞0｝，集合N=｛x∈R|log2x＜1}，则M∪N=；M∩N=；∁R（M∩N)=．
10．已知曲线+=1，当曲线表示圆时k的取值是，当曲线表示焦点在y轴上
的椭圆时k的取值范围是，当曲线表示双曲线时k的取值范围是．
11．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．则该几何体的表面积是；体积是．
12．已知实数x，y，实数a＞1，b＞1，且a x=b y=2，
（1)若ab=4，则+=;
(2）a2+b=8，则+的最大值是．
13．已知向量，的夹角60°，｜|=2，|｜=2，=λ+μ，若λ+μ=2,则|｜的最小值是，此时，夹角大小为．
14．已知f（x）=x2﹣3x+4，若f（x）的定义域和值域都是［a，b］，则a+b=．
15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，底面ABCD的对角线BD在平面α内,则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
16．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC﹣a﹣c=0．(Ⅰ)求B；
(Ⅱ）若b=，求2a+c的取值范围．
=a n2+6a n+6(n∈N×）
17．数列{a n}满足a1=2,a n
+1
（Ⅰ)设C n=log5（a n+3）,求证｛C n}是等比数列;
(Ⅱ）求数列｛a n}的通项公式；
(Ⅲ）设b n=﹣，数列｛b n｝的前n项和为T n，求证：﹣≤T n＜﹣．18．如图,在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为棱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．（1）若PA=PD,求证:平面PQB⊥平面PAD；
（2）设点M是线段PC上的一点，PM=t PC,且PA∥平面MQB．
（ⅰ）求实数t的值；
（ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．
19．已知椭圆E经过点A(2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上，离心率e=．（1）求椭圆E的方程；
（2)求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；
（3）在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在,说明理由．
20．已知函数f（x）=﹣x2+2bx+c，设函数g（x）=|f（x)|在区间［﹣1,1]上的最大值为M．（Ⅰ）若b=2,试求出M；
（Ⅱ）若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．
2015-2016学年浙江省宁波市余姚中学高三（上)期中数
学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）
1．下列说法正确的是（）
A．若命题p，¬q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题
B．命题“若xy=0，则x=0或y=0"的否命题为“若xy≠0则x≠0或y≠0"
C．命题“∀x∈R,2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2≤0”
D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】A．命题p，¬q都是真命题,则命题q为假命题,因此“p∧q”为假命题;
B．“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0则x≠0且y≠0”，即可判断出；C．“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2≤0”，利用命题的否定即可判断出;
D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0"的充分不必要条件．
【解答】解：A．命题p，¬q都是真命题,则命题q为假命题，因此“p∧q”为假命题，因此不正确;
B．“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0则x≠0且y≠0”，因此不正确;
C．“∀x∈R，2x＞0"的否定是“∃x0∈R，2≤0”，正确；
D．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的充分不必要条件，因此不正确,
综上可得:只有C正确．
故选：C．
2．已知函数f（x)=Asin（ωx+φ）( A≠0，ω＞0，）在时取得最大值，且它的最小正周期为π，则（）
A．f（x)的图象过点（0，)
B．f（x）在上是减函数
C．f（x)的一个对称中心是
D．f(x）的图象的一条对称轴是x=
【考点】正弦函数的图象．
【分析】根据题意求出函数f（x）的解析式，再对选项中的命题进行分析、判断正误即可．【解答】解：因为函数f（x）=Asin(ωx+φ）的最小正周期为π，
所以，
所以ω=2，即函数f（x）=Asin（2x+φ），
又因为函数f(x）=Asin（2x+φ）在时取得最大值，
所以,
即,
又因为，所以，
所以，其中A＜0；
对于选项A，因为，所以选项A不正确；对于选项B，因为函数的单调递减区间满足：
，
所以f(x）在上是增函数，所以选项B不正确;
对于选项C,因为,
所以f（x）的一个对称中心是,即选项正确;
对于选项D，因为，
所以不是f（x)的图象的一条对称轴，即选项D错误．
故选：C．
3．已知数列{a n}满足：a n=,且S n=，则n的值为（）
A．8 B．9 C．10 D．11
【考点】数列的求和．
【分析】直接根据裂项求和即可求出n的值．
【解答】解：∵a n===﹣,
∴S n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣=
∵S n=,
∴=，
故选：C
4．若α、β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（）
①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线．
②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．
③若直线m⊂α，则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线．
④若直线m⊂α,则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．
A．①③B．②③C．②④D．①④
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】利用线面垂直的性质定理对四个命题分别分析解答．
【解答】解：对于①，若直线m⊥α,如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m
平行的直线．故①错误；
对于②,若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直．故②正确；
对于③，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．故③错误；
对于④，若直线m⊂α，则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线．故④正确；
故选：C．
5．已知函数f（x）=﹣kx2（k∈R)有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（）
A．k＜0 B．k＜1 C．0＜k＜1 D．k＞1
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】分别画出y=与y=kx2的图象如图，再分类讨论，根据方程根的个数即可求出．【解答】解：分别画出y=与y=kx2的图象如图所示,
当k＜0时,y=kx2的开口向下，此时与y=只有一个交点，显然不符合题意，
当k=0时，此时与y=只有一个交点，显然不符合题意,
当k＞0时，x≥0时，
f（x）=﹣kx2=0，
即kx3+2k2﹣x=0，
即x（kx2+2kx﹣1）=0，即x=0，或kx2+2kx﹣1=0，
此时有唯一的解,即△=4k2+4k=0，解得k=﹣1(舍去）,
当k＞0时，x＜0时,
f（x）=﹣kx2=0，
即kx3+2k2+x=0，
kx2+2kx+1=0,
此时有两个解，即△=4k2﹣4k＞0，解得k＞1，
综上所述k＞1
6．若直线+=1通过点M（cosα，sinα），则（）
A．a2+b2≤1 B．a2+b2≥1 C．D．
【考点】恒过定点的直线．
【分析】由题意可得（bcosα+asinα）2=a2b2，再利用（bcosα+asinα）2≤（a2+b2)•(cos2α+sin2α)，化简可得．
【解答】解：若直线通过点M(cosα，sinα），则，
∴bcosα+asinα=ab，∴（bcosα+asinα）2=a2b2．
∵（bcosα+asinα）2≤（a2+b2）•（cos2α+sin2α)=（a2+b2)，
∴a2b2≤(a2+b2），∴，
故选D．
7．已知双曲线与抛物线y2=8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|=5，则双曲线的离心率为（）
A．2 B．2C．D．
【考点】圆锥曲线的共同特征．
【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2﹣a2，联立求得a和c的关系式,然后求得离心率e．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2,0），p=4，
∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，
∴p=2c，c=2，
∵设P（m,n）,由抛物线定义知：
｜PF｜=m+=m+2=5，∴m=3．
∴P点的坐标为（3，）
∴｜
解得：，c=2
则双曲线的离心率为2，
故答案为：2．
8．设a＜0，(3x2+a）（2x+b）≥0在(a，b）上恒成立，则b﹣a的最大值为（）A．B．C．D．
【考点】基本不等式；二次函数的性质．
【分析】若（3x2+a)（2x+b）≥0在(a，b)上恒成立,则3x2+a≥0，2x+b≥0或3x2+a≤0，2x+b ≤0，结合一次函数和二次函数的图象和性质，可得a，b的范围，进而得到答案．
【解答】解：∵（3x2+a）（2x+b）≥0在(a，b)上恒成立，
∴3x2+a≥0，2x+b≥0或3x2+a≤0,2x+b≤0，
①若2x+b≥0在（a，b）上恒成立，则2a+b≥0，即b≥﹣2a＞0，
此时当x=0时，3x2+a=a≥0不成立,
②若2x+b≤0在（a，b）上恒成立，则2b+b≤0,即b≤0，
若3x2+a≤0在（a，b）上恒成立，则3a2+a≤0，即﹣≤a≤0，
故b﹣a的最大值为，
故选：A
二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）
9．设全集为R，集合M=｛x∈R|x2﹣4x+3＞0},集合N=｛x∈R｜log2x＜1},则M∪N=｛x ∈R｜x＞3或x＜2} ;M∩N=｛x|0＜x＜1} ；∁R（M∩N)=｛x｜x≤0或x≥1｝．【考点】交、并、补集的混合运算;交集及其运算．
【分析】确定集合M，N，根据集合的基本运算即可求M∪N，M∩N；∁R(M∩N)．
【解答】解:全集为R，集合M=｛x∈R｜x2﹣4x+3＞0}={x∈R|x＞3或x＜1},
集合N=｛x∈R｜log2x＜1}=｛x∈R｜0＜x＜2}，
∴M∪N=｛x∈R|x＞3或x＜2｝;
M∩N={x|0＜x＜1｝；
∁R（M∩N)={x|x≤0或x≥1｝；
故答案为｛x∈R｜x＞3或x＜2}，{x｜0＜x＜1｝，｛x|x≤0或x≥1｝．
10．已知曲线+=1，当曲线表示圆时k的取值是﹣1或2，当曲线表示焦点在
y轴上的椭圆时k的取值范围是k＜﹣1或k＞2,当曲线表示双曲线时k的取值范围是0＜k＜1．
【考点】曲线与方程．
【分析】利用曲线表示圆、焦点在y轴上的椭圆、双曲线建立k的不等式，即可求得k的取值范围．
【解答】解：当曲线表示圆时，2=k2﹣k,∴k=﹣1或2;
当曲线表示焦点在y轴上的椭圆时，k2﹣k＞2，∴k＜﹣1或k＞2；
当曲线表示双曲线时，k2﹣k＜0,∴0＜k＜1．
故答案为：﹣1或2;k＜﹣1或k＞2；0＜k＜1．
11．已知某几何体的三视图如图所示，其正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形，俯视图
为直角梯形．则该几何体的表面积是；体积是．
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，分别求出各个面的面积相加，可得组合体的表面积；分别求出体积后相减，可得组合体的体积．【解答】解：由已知中的三视图，可知该几何体是一个三棱柱切去一个三棱锥所得的组合体，其直观图如图所示：
平面ABFE的面积为：32,
平面BCDF的面积为：24，
平面ABC的面积为：8，
平面DEF的面积为:8，
平面ADE的面积为：16，
平面ACD的面积为：8，
故组合体的表面积为：，\
棱柱ABC﹣EFG的体积为：64，
棱锥D﹣EFG的体积为：，
故组合体的体积为：,
故答案为：,．
12．已知实数x，y，实数a＞1，b＞1，且a x=b y=2,
（1）若ab=4，则+=2；
（2)a2+b=8，则+的最大值是4．
【考点】基本不等式．
【分析】（1）由a x=b y=2，可得x=log a2，y=log b2,代入+，即可得出．
(2)又a2+b=8，可得+=+=log(a2b），再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：(1）∵a x=b y=2,∴x=log a2，y=log b2，由ab=4，则+=+=log2（ab）=2．
(2）又a2+b=8，∴+=+=log（a2b)≤=4，当且仅当a2=b=4
时取等号，因此最大值为4．
故答案分别为：2;4．
13．已知向量，的夹角60°，||=2，｜｜=2,=λ+μ,若λ+μ=2，则|｜的最小值是2，此时，夹角大小为30°．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】由向量的数量积的定义,可得•=｜｜•｜｜•cos60°=2,对向量OP取模，结合向量的平方即为模的平方，运用二次函数的最值的求法，可得最小值，再由向量的夹角公式，计算即可得到所求值．
【解答】解：向量,的夹角60°，||=2，|｜=2,
即有•=|｜•||•cos60°=2×2×=2，
若λ+μ=2，可得λ=2﹣μ,
则|｜=|λ+μ|=
==
==≥2,
当μ=，λ=1时，|｜的最小值为2；
由=+,
可得•=2+•=4+•2=6，
则cos＜,＞===，
由0°≤＜,＞≤180°,
可得＜，＞=30°．
故答案为：2，30°．
14．已知f（x)=x2﹣3x+4，若f（x）的定义域和值域都是[a，b］，则a+b=5．
【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．
【分析】因为定义域和值域都是［a，b］，说明函数最大值和最小值分别是a和b，所以根据对称轴进行分类讨论即可．
【解答】解：∵f（x)=x2﹣3x+4=+1，∴x=2是函数的对称轴，根据对称轴进
行分类讨论：
①当b＜2时，函数在区间［a，b］上递减，又∵值域也是［a，b］，∴得方程组
即,两式相减得（a+b)（a﹣b）﹣3（a﹣b）=b﹣a,又∵a≠b,∴a+b=，由，得3a2﹣8a+4=0，∴a=∴b=2，但f（2）=1≠，故舍去．
②当a＜2＜b时，得f(2）=1=a，又∵f(1）=＜2，∴f(b）=b，得,∴b=（舍）
或b=4,∴a+b=5
③当a＞2时，函数在区间［a,b]上递增，又∵值域是［a，b],∴得方程组，
即a，b是方程x2﹣3x+4=x的两根,即a，b是方程3x2﹣16x+16=0的两根，∴，但a
＞2，故应舍去．
故答案为：5
15．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1,底面ABCD的对角线BD在平面α内，则正方体在平面α内的影射构成的图形面积的取值范围是．
【考点】二面角的平面角及求法．
【分析】设矩形BDD1B1与α所成锐二面角为θ，面积记为S1,推出正方形A1B1C1D1与α所成锐二面角为．面积记为S2，
求出阴影部分的面积的表达式，利用两角和与差的三角函数求解最值即可．
【解答】解：设矩形BDD1B1与α所成锐二面角为θ，面积记为S1，
则正方形A1B1C1D1与α所成锐二面角为．
面积记为S2,
所求阴影部分的面积
S==S1cosθ+S2sinθ=cosθ+sinθ=sin(θ+β）
其中sinβ=，cosβ=．
故S∈．
故答案为:．
三、解答题(本大题共5小题,共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）16．在△ABC中,角A，B,C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+bsinC﹣a﹣c=0．（Ⅰ)求B；
（Ⅱ)若b=，求2a+c的取值范围．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出sin（B﹣）的值,根据B为三角形
内角,确定出B的度数即可；
(2）由b，sinB的值，利用正弦定理求出2R的值，2a+c利用正弦定理化简,把2R的值代入并利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域确定出范围即可．
【解答】解：(1)由正弦定理知：sinBcosC+sinBsinC﹣sinA﹣sinC=0，
把sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC代入上式得：sinBsinC﹣cosBsinC﹣sinC=0，∵sinC≠0，
∴sinB﹣cosB﹣1=0,即sin(B﹣)=，
∵B为三角形内角，
∴B=；
（2）由（1）得：2R===2,
∴2a+c=2R（2sinA+sinC）=4sinA+2sin（﹣A）=5sinA+cosA=2sin（A+θ）,
其中sinθ=，cosθ=，
∵A∈（0，），即有A+θ=处取得最大值2．
∴2sin（A+θ）∈(，2］，
则2a+c的范围为（,2］．
=a n2+6a n+6（n∈N×）
17．数列｛a n}满足a1=2，a n
+1
（Ⅰ)设C n=log5（a n+3），求证{C n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列｛a n｝的通项公式；
（Ⅲ）设b n=﹣，数列｛b n｝的前n项和为T n，求证：﹣≤T n＜﹣．【考点】数列的求和；等比关系的确定；数列递推式．
+3=（a n+3）2,利用构造法令C n=log5(a n+3），则可得，【分析】（I）由已知可得，a n
+1
从而可证数列｛c n｝为等比数列
（II)由（I）可先求数列c n,代入c n=log5(a n+3）可求a n
（III）把（II)中的结果代入整理可得，，则代入T n=b1+b2+…+b n相消可证
【解答】解：（Ⅰ)由a n
+1=a n2+6a n+6得a n
+1
+3=(a n+3）2，
∴=2，即c n
+1
=2c n
∴｛c n}是以2为公比的等比数列．
(Ⅱ）又c1=log55=1，
∴c n=2n﹣1，即=2n﹣1，
∴a n+3=
故a n=﹣3
（Ⅲ）∵b n=﹣=﹣，∴T n=﹣=﹣﹣．
又0＜=．
∴﹣≤T n＜﹣
18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为棱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点．(1)若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD;
（2)设点M是线段PC上的一点，PM=t PC,且PA∥平面MQB．
(ⅰ）求实数t的值；
(ⅱ）若PA=PD=AD=2，且平面PAD⊥平面ABCD，求二面角M﹣BQ﹣C的大小．
【考点】二面角的平面角及求法;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定．
【分析】（1）PA=PD，连BD,四边形ABCD菱形,Q为AD中点,证明平面PAD内的直线AD，垂直平面PQB内的两条相交直线BQ，PQ，即可证明平面PQB⊥平面PAD；
（2）（ⅰ）连AC交BQ于N，交BD于O，点M在线段PC上，PM=tPC，实数t=的值，根据PA∥平面MQB,利用PA∥MN,说明三角形相似，求出t=．
（ⅱ）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x,y，z轴，建立空间直角坐标系Q﹣xyz，求出平面MQB的法向量和平面ABCD的法向量,由此利用向量法能求出二面角M ﹣BQ﹣C的大小．
【解答】解：(1）连BD，四边形ABCD菱形,
∵AD=AB，∠BAD=60°
∴△ABD是正三角形，Q为AD中点
∴AD⊥BQ
∵PA=PD，Q为AD中点AD⊥PQ
又BQ∩PQ=Q∴AD⊥平面PQB，AD⊂平面PAD
∴平面PQB⊥平面PAD
（2)（ⅰ）当t=时，使得PA∥平面MQB，
连AC交BQ于N，交BD于O，
则O为BD的中点，又∵BQ为△ABD边AD上中线，
∴N为正三角形ABD的中心，
令菱形ABCD的边长为a，则AN=a，AC=a．
∴PA∥平面MQB，PA⊂平面PAC,平面PAC∩平面MQB=MN，
∴PA∥MN,
即：PM=PC,t=．
（1)∵PQ⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，
以Q为坐标原点，分别以QA,QB,QP所在直线为x，y，z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系Q﹣xyz，
由PA=PD=AD=2，则B（0,,0），C（﹣2，,0），
P（0,0，），设M（a，b,c），
则=（a，b，c﹣)，=（﹣2，，﹣)，
∵PM=，∴，
∴a=﹣，b=，c=，∴M（﹣，，），
设平面MQB的法向量=(x，y，z),
由=（﹣,，），=(0,，0）,
且，得，
取z=1，得=（），
又平面ABCD的法向量=(0，0，1），
∴cos＜＞==，
由图知二面角M﹣BQ﹣C的平面角为锐角，
∴二面角M﹣BQ﹣C的大小为60°．
19．已知椭圆E经过点A（2，3），对称轴为坐标轴，焦点F1，F2在x轴上,离心率e=．
（1）求椭圆E的方程；
(2）求∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；
（3)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点?若存在，请找出；若不存在，说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】(1）设出椭圆方程，根据椭圆E经过点A（2,3）,离心率，建立方程组，求得几何量，即可得到椭圆E的方程；
(2)求得AF1方程、AF2方程，利用角平分线性质，即可求得∠F1AF2的平分线所在直线l的方程；
（3）假设存在B（x1,y1）C(x2，y2)两点关于直线l对称,设出直线BC方程代入，
求得BC中点代入直线2x﹣y﹣1=0上,即可得到结论．
【解答】解：（1）设椭圆方程为
∵椭圆E经过点A（2，3），离心率
∴，
∴a2=16,b2=12
∴椭圆方程E为：;
（2）F1（﹣2，0），F2（2,0），
∵A（2，3），
∴AF1方程为:3x﹣4y+6=0,AF2方程为:x=2
设角平分线上任意一点为P(x,y），则．
得2x﹣y﹣1=0或x+2y﹣8=0
∵斜率为正，∴直线方程为2x﹣y﹣1=0；
（3)假设存在B（x1，y1)C（x2，y2）两点关于直线l对称,∴
∴直线BC方程为代入得x2﹣mx+m2﹣12=0，
∴BC中点为
代入直线2x﹣y﹣1=0上,得m=4．
∴BC中点为（2,3）与A重合,不成立，所以不存在满足题设条件的相异的两点．
20．已知函数f（x）=﹣x2+2bx+c，设函数g（x）=|f（x)|在区间[﹣1,1]上的最大值为M．（Ⅰ）若b=2，试求出M；
(Ⅱ）若M≥k对任意的b、c恒成立，试求k的最大值．
【考点】函数恒成立问题；二次函数在闭区间上的最值．
【分析】（Ⅰ)把b=2代入函数解析式，由函数在区间［﹣1，1]上是增函数得到M是g(﹣1）和g（1）中较大的一个,由此根据c的范围试求出M；
（Ⅱ）把函数g(x）配方，然后分|b|＞1时，|b|≤1时由函数y=g（x)的单调性求出其最大值，又g（b）=｜b2+c|,再分当﹣1≤b≤0时和0＜b≤1时，求出最大值M，经比较可知对
任意的b、c都有．再求出当b=0，时g(x）在区间［﹣1，1]上的最大值，由此可得M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为．
【解答】解：（Ⅰ)当b=2时，f（x）=﹣x2+2bx+c在区间［﹣1，1]上是增函数，
则M是g（﹣1）和g(1）中较大的一个，
又g（﹣1）=｜﹣5+c|，g（1）=｜3+c|,
则;
（Ⅱ）g（x)=｜f（x）|=|﹣（x﹣b）2+b2+c|，
（i）当|b｜＞1时，y=g(x）在区间[﹣1，1］上是单调函数,
则M=max｛g（﹣1)，g（1）},
而g（﹣1）=｜﹣1﹣2b+c|，g（1)=｜﹣1+2b+c｜，
则2M≥g(﹣1）+g（1）≥｜f(﹣1）﹣f（1）|=4|b｜＞4，可知M＞2．
（ii）当|b|≤1时，函数y=g（x）的对称轴x=b位于区间[﹣1，1]之内，
此时M=max｛g(﹣1），g（1），g（b)}，
又g(b)=|b2+c｜,
①当﹣1≤b≤0时,有f（1）≤f（﹣1）≤f（b），
则M=max｛g（b），g（1）}(g（b）+g(1））｜f（b）﹣f（1)|=；
②当0＜b≤1时，有f(﹣1）≤f（1）≤f（b）．
则M=max｛g（b）,g（﹣1）}（g（b）+g（﹣1））|f（b）﹣f（﹣1）|=．综上可知，对任意的b、c都有．
而当b=0，时,在区间[﹣1，1］上的最大值，
故M≥k对任意的b、c恒成立的k的最大值为．
2016年11月11日。