高中数学 单元素养评价(一) 指数函数、对数函数与幂函数 新人教B版必修2-新人教B版高一必修2数学

单元素养评价(一)
(第四章)
(120分钟150分)
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2019·荆州高一检测)若幂函数f(x)=x a的图像过点(4,2),则f(a2)=( )
A.a
B.-a
C.±a
D.|a|
【解析】选D.由题意f(4)=4a=2,解得a=,
所以f(x)=,所以f(a2)=(a2=|a|.
2.设a∈,则使函数y=x a的定义域是R,且为奇函数的所有a的值是
( ) A.1,3B.-1,1
C.-1,3
D.-1,1,3
【解析】选A.当a=-1时,y=x-1的定义域是,且为奇函数;当a=1时,函数y=x的定义域是R且为奇函数;当a=时,函数y=的定义域是{x|x≥0}且为非奇非偶函数.当a=3时,函数y=x3的定义域是R且为奇函数.
3.函数y=的值域是( )
A.[2,+∞)
B.(2,+∞)
C.(0,1]
D.[1,+∞)
【解析】选D.由于≥0,
所以函数y=≥30=1,
故函数的值域为[1,+∞).
4.已知函数f(x)=2lo x的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是( )
A. B.[-1,1]
C. D.∪
【解析】选A.因为已知函数f(x)=2x的值域为[-1,1],所以-1≤2x≤1,
即≤2x≤,
化简可得≤x2≤2再由x>0 可得≤x≤,
故函数f(x)的定义域为.
5.已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图像如图所示,则下列结论成立的是
( )
A.a>1,c>1
B.a>1,0<c<1
C.0<a<1,c>1
D.0<a<1,0<c<1
【解析】选D.因为函数单调递减,所以0<a<1,
当x=1时log a(x+c)=log a(1+c)<0,
即1+c>1,即c>0,
当x=0时log a(x+c)=log a c>0,
即c<1,即0<c<1.
6.设f(log2x)=2x(x>0),则f(3)的值是( )
A.128
B.256
C.512
D.8
【解析】选B.设log2x=t,则x=2t,
所以f(t)=,
即f(x)=,则f(3)==28=256.
7.(2019·某某高一检测)已知函数f(x)=则f(f(-2))的值为
( ) A.81B.27C.9D.
【解析】选A.由f(x)=
得f(-2)==9,
所以f(f(-2))=f(9)=92=81.
8.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=e lnx的定义域和值域相同的是
( ) A.y=xB.y=lgx
C.y=2x
D.y=
【解析】选D.函数y=e lnx的定义域和值域均为(0,+∞),函数y=x的定义域和值域均为R,不满足要求;函数y=lgx的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;函数y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞),不满足要求;函数y=的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求.
9.(2019·揭阳高一检测)已知a=0.20.3,b=0.30.2,c=,则a,b,c的大小关系为
( )
A.c>b>a
B.c>a>b
C.b>a>c
D.a>b>c
【解析】选A.因为0.20.3<0.30.3,0.30.3<0.30.2,所以0.20.3<0.30.2,
由=0.30.1,所以0.30.1>0.30.2,
所以c>b>a.
10.(2019·高考)在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2-m1=lg,其中星等为m k的星的亮度为E k(k=1,2).已知太阳的星等是-26.7,天狼星的星等是-1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为
( ) A.1010.1
C.lg10.1
D.10-10.1
【解析】选A.令m1=-26.7,m2=-1.45,
则m2-m1=-1.45-(-26.7)=25.25=lg,lg=10.1,=1010.1.
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题4分,共12分,在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的得0分)
11.对于0<a<1,下列四个不等式中成立的是( )
A.log a(1+a)<log a
B.log a(1+a)>log a
C.a1+a<
D.a1+a>
【解析】选B、D.因为0<a<1,所以a<,
从而1+a<1+.
所以log a(1+a)>log a.
又因为0<a<1,所以a1+a>.
12.设函数f(x)=2x,对于任意的x1,x2(x1≠x2),下列命题中正确的是( )
A.f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)
B.f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)
C.>0
D.f<
【解析】选A、C、D.·=,所以A成立,×≠,所以B不成立,函数f(x)=2x,在R上是单调递增函数,若x1>x2则f(x1)>f(x2),则>0,若x1<x2则f(x1)<f(x2),则>0,故C正确;
f<说明函数是凹函数,
而函数f(x)=2x是凹函数,故D正确.
13.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有( )
A.函数f(x)在区间(1,2)上单调递增
B.函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称
C.若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则x1+x2=4
D.函数f(x)有且仅有两个零点
【解析】选A、B、D.函数f(x)=|ln|2-x||的图像如图所示:
由图可得:函数f(x)在区间(1,2)上单调递增,A正确;函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称,B 正确;若x1≠x2,但f(x1)=f(x2),则当x1,x2>2时,x1+x2>4,C错误;函数f(x)有且仅有两个零点,D 正确.
三、填空题(本大题共4个小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
14.(2019·某某高一检测)设函数f(x)=(其中a为常数)的反函数为f-1(x),若函数f-1(x)的图像经过点(0,1),则方程f-1(x)=2的解为________.
【解析】由y=f(x)=,
得x-a=y2(y≥0),
所以函数f(x)的反函数f-1(x)=x2+a(x≥0).
把点(0,1)代入,可得a=1.
所以f-1(x)=x2+1(x≥0).
由f-1(x)=2,得x2+1=2,即x=1.
答案:1
15.设f(x)=则f(f(2))=________.
【解析】因为f(2)=log3(22-1)=1,
所以f(f(2))=f(1)=2e1-1=2.
答案:2
16.已知函数f(x)=为定义在区间[-2a,3a-1]上的奇函数,则
a=________,f=________.
【解析】因为f(x)是定义在[-2a,3a-1]上的奇函数,
所以定义域关于原点对称,即-2a+3a-1=0,所以a=1,
因为函数f(x)=为奇函数,
所以f(-x)===-,
即b·2x-1=-b+2x,所以b=1,
所以f=,
所以f===2-3.
答案:1 2-3
17.设函数f(x)=-,[x]表示不超过x的最大整数,则f(x)的值域是________,函数y=(f(x))的值域是________.
【解析】f(x)=-=-,
因为2x>0,所以1+2x>1,0<<1,
所以-<f(x)<;
因为[x]表示不超过x的最大整数,
所以y=(f(x))的值域为{-1,0}.
答案:{-1,0}
四、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18.(12分)(1)已知log2(16-2x)=x,求x的值.
(2)计算:+810.75-×+log57·log725.
【解析】(1)因为log2(16-2x)=x,
所以2x=16-2x,化简得2x=8,
所以x=3.
(2)原式=1+(34-3×(23+·
=1+27-12+2=18.
19.(14分)已知函数f(x)=2x-1+a(a为常数,且a∈R)恒过点(1,2).
(1)求a的值.
(2)若f(x)≥2x,求x的取值X围.
【解析】(1)f(1)=20+a=1+a=2,解得a=1.
(2)由f(x)=2x-1+1=+1≥2x,得≤1,即2x-1≤1=20,即x-1≤0,解得x≤1,因此,实数x的取值X 围是(-∞,1].
20.(14分)求函数y=(2x)2-2×2x+5,x∈[-1,2]的最大值和最小值.
【解析】设2x=t,因为x∈[-1,2],
所以2x=t∈
则y=t2-2t+5为二次函数,图像开口向上,对称轴为t=1,
当t=1时,y取最小值4,当t=4时,y取最大值13.
21.(14分)已知幂函数y=f(x)的图像过点(8,m)和(9,3).
(1)求m的值.
(2)若函数g(x)=log a f(x)(a>0,a≠1)在区间[16,36]上的最大值比最小值大1,某某数a的值. 【解析】(1)由题意,y=f(x)是幂函数,
设f(x)=xα,图像过点(8,m)和(9,3)
可得9α=3,所以α=,故f(x)=,
所以m=f(8)=2,故m的值为2.
(2)函数g(x)=log a f(x),即为g(x)=log a,
因为x在区间[16,36]上,所以∈[4,6],
①当0<a<1时,g(x)min=log a6,g(x)max=log a4,
由log a4-log a6=log a=1,解得a=.
②当a>1时,g(x)min=log a4,g(x)max=log a6,
由log a6-log a4=log a=1,
解得a=,综上可得,实数a的值为或.
22.(14分)(2019·宝山高一检测)对年利率为r的连续复利,要在x年后达到本利和A,则现在投资值为B=Ae-rx,e是自然对数的底数.
如果项目P的投资年利率为r=6%的连续复利.
(1)现在投资5万元,写出满n年的本利和,并求满10年的本利和.(精确到0.1万元)
(2)一个家庭为刚出生的孩子设立创业基金,若每年初一次性给项目P投资2万元,那么,至少满多少年基金共有本利和超过一百万元?(精确到1年)
【解析】(1)由题意可得5=A·e-0.06n,
所以A=5·e0.06n;
当n=10时,A=5·e0.6≈9.1万元.
(2)n年后的本利和为A=2·e0.06n+2·e0.06(n-1)+2·e0.06(n-2)+…+2·e0.06
=2·,
令2·>100,
可得n>22.7.
所以至少满23年后基金共有本利和超过一百万元.
23.(14分)(2019·某某高一检测)已知函数f(x)=log2.
(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求a的值.
(2)若函数f(x)的定义域是一切实数,求a的取值X围.
(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,某某数a的取值X围.
【解析】(1)函数f(x)是R上的奇函数,则f(0)=0,求得a=0.
又此时f(x)=-x是R上的奇函数.所以a=0为所求.
(2)函数f(x)的定义域是一切实数,则+a>0恒成立.
即a>-恒成立,由于-∈(-∞,0).故只要a≥0即可.
(3)由已知函数f(x)是减函数,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log2(1+a),
最小值是f(1)=log2.
由题设log2(1+a)-log2≥2⇒. 故-<a≤-为所求.。