最新人教版七年级数学下册第八章《二元一次方程组》教案

最新人教版七年级数学下册第八章《二元一次方程组》教案
本章复习
整体设计
教材分析
本章主要内容包括：利用二元一次方程组分析、解决实际问题，二元一次方程组及其相关概念，消元思想和用代入法、加减法解二元一次方程组以及三元一次方程组解法举例．其中，以方程组为工具分析问题、解决含有多个未知数的问题既是本章的重点，又是难点．本章所涉及的数学思想方法主要包括两个：一个是由实际问题抽象为方程组这个过程中蕴涵的符号化、模型化的思想；另一个是解方程组的过程中蕴涵的消元、化归思想，它在解方程组中具有指导作用．解二元一次方程组的各个步骤，都是为最终使方程组变形为x ＝a 的形式而实施的，即在保持各方程的左右两边相等关系的前提之下，使“未知”逐步转化为“已知”．解三元以及多元方程组的基本策略是“消元”，即逐步减少未知数的个数，以使方程组化归为一元一次方程，先解出一个未知数，然后逐步解出其他未知数．代入法和加减法都是消元解方程组的方法，只是具体消元的手法有所不同．课时分配
1课时
教学目标
1．能熟练、准确地解二元一次方程组；会用二元一次方程组解决实际问题；通过对本章的内容进行回顾和总结，能把握各知识点间的联系，进一步感受方程(组)模型的重要性．
2．通过回顾反思，进一步加深对数学中消元、化归思想的理解，熟练、灵活地运用消元法解方程组；学会如何构建知识体系，体会前后知识间的联系．教学重难点
教学重点：解二元一次方程组、列二元一次方程组解应用题．教学难点：如何找等量关系，并把它们转化成方程(组)．教学方法教师组织学习材料，为学生创设理想的学习环境，学生利用问题
展开探索交流．在学生掌握基本内容的基础上，教师引导学生进一步提炼，构建知识体系；在此基础上，通过学生尝试解决问题，以及师生之间、生生之间的讨论交流，使学生对数学思想方法的认识更深刻，对解决问题的策略把握得更灵活．
教学过程一、知识网络构建设计说明
利用一组小练习，引导学生回顾本章主要内容，体会各知识点间的联系，构建知识网络，使学生对本章内容及其间的关系有清晰完整的认识．
1．课前热身练习(要求学生上课之前完成，上课时交流订正)．
(1)写出方程2x －5y ＝18的3个解．(答案不唯一，二元一次方程有无数个解，只要满足要求即可)
(2)用合适的方法解方程组
4(x －y －1)＝3(1－y )－2，x 2＋y
3
＝2.
(3)小红和爷爷在400米环形跑道上跑步．他们从某处同时出发，如果同向而行，那么
经过200 s 小红追上爷爷；如果背向而行，那么经过40 s 两人相遇，求他们的跑步速度．
(4)已知三角形的周长是18 cm ，其中两边的和等于第三边的2倍，而这两边的差等于
第三边的1
3
，求这个三角形的各边长．
设三边的长分别是x cm ，y cm ，z cm(x ＞y )，
那么
x ＋y ＋z ＝18，x ＋y ＝2z ，x －y ＝13
z .
你会解这个方程组吗？
答案：(1)略． (2)
x ＝2，
y ＝3.
(3)小红和爷爷跑步的速度分别是6 m/s,4 m/s.
(4)
x ＝7，y ＝5，z ＝6.
问题1：上述问题你是怎样解决的？用到了哪些知识点？和你小组中其他的同学交流一
下．
讨论结果：略．
问题2：本章的重要内容有哪些？它们之间有怎样的联系？讨论结果：略． 2．重要知识点梳理
(1)二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值叫做二元一次方程的解．
(2)二元一次方程组：方程组中有两个未知数，含有每个未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组．
(3)二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
(4)解方程组：求出方程组的解或确定方程组没有解的过程叫做解方程组．
(5)解二元一次方程组的基本方法是代入消元法和加减消元法(简称代入法和加减法)．代入法解题步骤：把方程组里的一个方程变形，用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数；用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次方程，可先求出一个未知数的值；把求得的这个未知数的值代入第一步所得的式子中，可求得
另一个未知数
的值，这样就得到了方程组的解?
x ＝a ，
y ＝b .
加减法解题步骤：把方程组里的一个(或两个)方程的两边都乘以适当的数，使两个方程里的同一个未知数的系数的绝对值相等；把所得到的两个方程的两边分别相加(或相减)，消去这个未知数，得到另一个未知数的一元一次方程(以下步骤与代入法相同)．
(6)列二元一次方程组解应用题的步骤与列方程解应用题的步骤基本相同，即“设”“列”“解”“验”“答”．
3．二元或三元一次方程组解决问题的基本过程
4．本章知识安排的前后顺序
参照本章概览中的知识结构图，省略．二、典型题例探究
例1：方程2x ＋y ＝9在正整数范围内的解有________个．解析：由2x ＋y ＝9，得y ＝9－2x .
取x ＝1,2,3,4，分别得正整数y ＝7,5,3,1. ∴ x ＝1，y ＝7； x ＝2，y ＝5； x ＝3，y ＝3；?
x ＝4，
y ＝1.故有四个解．
答案：4
例2：解方程组 a 2＋b
3＝13，
a 3－b
4＝3.
①②
解：由①×14，得a 8＋b 12＝13
4. ③
由②×13，得a 9－b
12
＝1. ④
③＋④，得17a 72＝17
4
.
∴a ＝18.
把a ＝18代入②，得b ＝12，∴?
a ＝18，
b ＝12.
例3：用正方形和长方形两种硬纸片制作甲、乙两种无盖的长方体纸盒(如图)．如果长方形的宽与正方形的边长相等，150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片可以制作甲、乙两种纸盒各多少个？
提出以下问题引导学生思考：
每个甲种纸盒要正方形硬纸片几张？(1张) 每个乙种纸盒要正方形硬纸片几张？(2张) 每个甲种纸盒要长方形硬纸片几张？(4张) 每个乙种纸盒要长方形硬纸片几张？(3张) 解：设可制作甲种纸盒x 个，乙种纸盒y 个，
由题意，得
x ＋2y ＝150，
4x ＋3y ＝300.
解这个方程，得
x ＝30，y ＝60.
答：可制作甲种纸盒30个，乙种纸盒60个．例4：某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个．甲，乙，丙3种零件分别取3个，2个，1个，才能配一套，要在
30天内生产最多的成套产品，问甲，乙，丙3种零件各应生产多少天？
解：设甲种零件生产x 天，乙种零件生产y 天，丙种零件生产z 天．
根据题意，得?
x ＋y ＋z ＝30，
(120x )∶(100y )∶(200z )＝3∶2∶1.
化简，得
x ＋y ＋z ＝30，x ＝5z ，
y ＝4z .
解得
x ＝15，y ＝12，
z ＝3.
答：甲，乙，丙3种零件各应生产15天，12天，3天．
三、课堂巩固训练
1．已知|x ＋y |＋(x －y ＋3)2
＝0，求x ，y 的值．
2．某铁路桥长1 000 m ，现有一列火车从桥上通过，测得该火车从开始上桥到完全过桥共用了1 min ，整列火车完全在桥上的时间共40 s ．求火车的速度和长度．
3．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源．某市采用价格调控手段达到节约用水
的目的．规定：每户居民每月用水不超过6 m 3
时，按基本价格收费，该市某户居民今年4、5
2．解：设火车的速度为x m/s ，火车的长度为y m ，
由题意，得 60x ＝1 000＋y ，
40x ＝1 000－y .
解这个方程组，得?
x ＝20，
y ＝200.
答：火车的速度为20 m/s ，火车的长度为200 m. 3．分析：由表格看到什么信息？
4月份用水超过6 m 3
，所以水费由两部分组成21元．
5月份用水超过6 m 3
，所以水费由两部分组成27元．
解：设基本价格为x 元/m 3，超过6 m 3的部分为y 元/m 3
.
由题意，知?
6x ＋(8－6)y ＝21，
6x ＋(9－6)y ＝27.
解这个方程组，得?
x ＝1.5，
y ＝6.
答：基本价格为1.5元/m 3
，超过6 m 3
的部分为6元/m 3
.
四、课堂小结
1．本节主要学习如何将一单元的知识进行整理归纳，形成知识体系．2．用到的主要思想方法是符号化、模型化思想，消元化归思想． 3．注意的问题：
(1)复习时将平时易错的知识点、感到疑难的问题做重点处理，不留尾巴．
(2)分析问题时选择合适的方法，是列表、用式子还是画图，要根据题目特点确定．(3)在复习的基础上提高，尤其是对知识方法的理解及对知识的综合创新应用．五、布置作业
1．在方程(a 2－4)x 2
＋(2－3a )x ＋(a ＋2)y ＋3a ＝0中，若此方程为二元一次方程，则a 的值为________．
2．某种植大户计划安排10个劳动力来耕作30亩土地，这些土地可以种蔬菜也可以种水稻，种这些作物所需劳动力及预计产值如下表，为了使所有土地种上作物，全部劳动力都有工作，应安排种蔬菜的劳动力为______人，这时预计产值为________元．
3．七年级(2)班的一个综合实践活动小组去A 、B 两个超市调查去年和今年“五一”期间的销售情况，下图是调查后小敏与其他两位同学进行交流的情境，根据他们的对话，请你分别求出A 、B 两个超市今年“五一”期间的销售额．
解析：要使此方程为二元一次方程，则x 2
项的系数为零，
即a 2
－4＝0.∴a ＝±2.
当a ＝±2时，2－3a 和a ＋1都不为零，∴a ＝±2. 答案：1.±2 2．5 44 000
解析：设种蔬菜x 亩，种水稻y 亩，则
12x ＋14y ＝10，x ＋y ＝30.
解得?
x ＝10，
y ＝20.
2
×10＝5(人),10×3 000＋20×700＝44 000(元)．
3．解：设A 超市去年销售额为x 万元，B 超市去年销售额为y 万元，则 x ＋y ＝150，(1＋15%)x ＋(1＋10%)y ＝170.解得x ＝100，y ＝50. 所以(1＋15%)x ＝115，(1＋10%)y ＝55.
答：A 、B 两个超市今年“五一”期间的销售额分别是115万元、55万元．六、拓展练习
1．已知甲、乙两人的年收入之比为3∶2，年支出之比为7∶4，年终时两人各余400元，若设甲的年收入为x 元，年支出为y 元，则可列方程组为( )．
A.
x －y ＝40023x ＋7
4y ＝400 B.
x ＝y ＋40032x －4
7
y ＝400 C.
x －y ＝40023x －4
7
y ＝400
D.
x －y ＝40032x －7
4
y ＝400
2．若下列三个二元一次方程：3x －y ＝7,2x ＋3y ＝1，y ＝kx －9有公共解，那么k 的取
值应是( )．
B ．4
C ．－3
D ．3
3．解方程组：(1)
3(x ＋y )－4(x －y )＝4，x ＋y 2
＋x －y
6＝1； (2)
x ＋y －z ＝0，2x ＋y ＋z ＝7，
x －3y ＋z ＝8.
4．如图，周长为68 cm 的长方形ABCD 被分成7个相同的矩形，求长方形ABCD 的面积．
5．实验中学组织爱心捐款支援灾区活动，九年级一班55名同学共捐款1 180元，捐款情况见下表．表中捐款10元和20元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚，请你帮助确定
信息一：工作时间：每天上午8：20～12：00，下午14：00～16：00，每月25天；信息二：生产甲、乙两种产品，并且按规定每月生产甲产品的件数不少于60件．
钟？
答案：1.C 2.B
3．(1)
x ＝1715
，y ＝11
15；
(2)
x ＝3，y ＝－1，
z ＝2.
4．280 cm 2
.
5．解：设捐10元的同学有x 人，捐20元的同学有y 人，根据题意，得 ?
x ＋y ＋6＋7＝55，10x ＋20y ＋30＋350＝1 180. 化简，得?
x ＋y ＝42，x ＋2y ＝80.
解这个方程组，得
x ＝4，y ＝38.
答：捐款10元和20元的同学分别为4人和38人．
6．解：设生产一件甲种产品需x 分钟，生产一件乙种产品需y 分钟，由题意，得 ?
10x ＋10y ＝350，30x ＋20y ＝850，
化简，得?
x ＋y ＝35，
3x ＋2y ＝85.
解这个方程组，得
x ＝15，
y ＝20.
答：生产一件甲种产品需要15分钟，生产一件乙种产品需要20分钟．
评价与反思
1．复习课教学模式的探讨：利用基础题组回顾梳理主要知识点，构建知识体系——通过典型问题探究加深对主要思想方法的理解，掌握常用解题方法——采取限时训练与开放研究相结合的方式进行巩固与拓展练习，以保证技能技巧的形成和不同学生发展的需求．2．复习课目标的确定：首要的一点是从总体上把握本章主要内容及其间的联系，重在回顾整理，查漏补缺；其次是综合创新，基础知识掌握了，灵活地解决综合问题才有可能，同时问题的难易程度要适合学生的实际情况，注重思维发散性与深刻性的训练，使不同层次的学生通过复习都得到较大的提高．。