[推荐学习]2018年中考数学考点总动员系列专题30图形的轴对称含解析

考点三十：图形的轴对称
聚焦考点☆温习理解
1．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点．
2．图形轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．对应线段、对应角相等．
3．由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样；新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点；连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．这样，由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换．一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换而成．
4. 轴对称与轴对称图形
轴对称图形和图形的轴对称之间的的区别是：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而图形的轴对称是说两个图形之间的位置关系；
两者之间的联系是：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．
名师点睛☆典例分类
考点典例一、识别轴对称图形
【例1】（2017重庆A卷第2题）下列图形中是轴对称图形的是（）
【答案】C.
【解析】
试题解析：A、不是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不合题意．
故选C．
考点：轴对称图形.
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．判断图形是否是轴对称图形，关键是理解、应用轴对称图形的定义，看是否能找到至少1条合适的直线，使该图形沿着这条直线对折后，两旁能够完全重合．若能找到，则是轴对称图形；若找不到，则不是轴对称图形．
【举一反三】
1.（2017山东烟台第2题）下列国旗图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）
【答案】A．
考点：中心对称图形；轴对称图形．
2. （2017江苏盐城第3题）下列图形中，是轴对称图形的是（）
【答案】D．
【解析】
试题解析：D的图形沿中间线折叠，直线两旁的部分可重合，
故选D ．
考点：轴对称图形.
考点典例二、作已知图形的轴对称图形
【例2】（2017浙江宁波第20题）在44´的方格纸中，ABC △的三个顶点都在格点上.
(1)在图1中画出与ABC △成轴对称且与ABC △有公共边的格点三角形(画出一个即可)；
(2)将图2中的ABC △绕着点C 按顺时针方向旋转90°，画出经旋转后的三角形.
【答案】（1）作图见解析；（2）作图见解析.
【解析】
试题分析：根据题意画出图形即可.
试题解析：（1）如图所示：
或
（2）如图所示：
考点：1.轴对称图形；2.旋转.
【点睛】此题主要考查了轴对称变换，得出对应点坐标是解题关键．画轴对称图形，关键是先作出一条对称轴，对于直线、线段、多边形等特殊图形，一般只要作出直线上的任意两点、线段端点、多边形的顶点等的对称点，就能准确作出图形．
【举一反三】
这个图形（2017内蒙古呼和浩特第3题）如图中序号（1）（2）（3）（4）对应的四个三角形，都是ABC
进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是（）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
【答案】A
【解析】
试题分析：∵轴对称是沿着某条直线翻转得到新图形，∴通过轴对称得到的是（1）．
故选A．
考点：轴对称图形．
考点典例三、轴对称性质的应用
【例3】（2017贵州安顺第17题）如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．
【答案】6.
【解析】
试题解析：设BE与AC交于点P，连接BD，
∵点B与D关于AC对称，
∴PD=PB，
∴PD+PE=PB+PE=BE最小．
即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度；
∵正方形ABCD的边长为6，
∴AB=6．
又∵△ABE 是等边三角形，
∴BE=AB=6．
故所求最小值为6．
考点：轴对称﹣最短路线问题；等边三角形的性质；正方形的性质．
【点睛】求两条线段之和为最小，可以利用轴对称变换，使之变为求两点之间的线段，因为线段间的距离最短．本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P 的位置．
【举一反三】
（2017江苏徐州第27题）如图，将边长为6的正三角形纸片ABC 按如下顺序进行两次折叠，展开后，得折痕,AD BE （如图①），点O 为其交点.
（1）探求AO 与OD 的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，若,P N 分别为,BE BC 上的动点.
①当PN PD +的长度取得最小值时，求BP 的长度； ②如图③，若点Q 在线段BO 上，1BQ =，则QN NP PD ++的最小值= .
【答案】（1）AO=2OD ，理由见解析；（2.
【解析】
（3）如图③，作Q关于BC的对称点Q′，作D关于BE的对称点D′，连接Q′D′，即为QN+NP+PD的最小值．根据轴对称的定义得到∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，得到△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，解直角三角形即可得到结论．
试题解析：（1）AO=2OD，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAO=∠ABO=∠OBD=30°，
∴AO=OB，
∵BD=CD，
∴AD⊥BC，
∴∠BDO=90°，
∴OB=2OD，
∴OA=2OD；
（2）如图②，作点D关于BE的对称点D′，过D′作D′N⊥BC于N交BE于P，
则此时PN+PD的长度取得最小值，
∵BE垂直平分DD′，
∴BD=BD′，
∵∠ABC=60°，
∴△BDD′是等边三角形，
∴BN=12BD=32
， ∵∠PBN=30°，
∴2
BN PB =，
∴
（3）如图③，作Q 关于BC 的对称点Q′，作D 关于BE 的对称点D′，
连接Q′D′，即为QN+NP+PD 的最小值．
根据轴对称的定义可知：∠Q′BN=∠QBN=30°，∠QBQ′=60°，
∴△BQQ′为等边三角形，△BDD′为等边三角形，
∴∠D′BQ′=90°，
∴在Rt △D′BQ′中，
∴QN+NP+PD 的最小值
考点典例四、折叠问题
【例4】（2017贵州安顺第7题）如图，矩形纸片ABCD 中，AD=4cm ，把纸片沿直线AC 折叠，点B 落在E 处，AE 交DC 于点O ，若AO=5cm ，则AB 的长为（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】C．
【解析】
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了勾股定理．折叠的过程实际上就是一个轴对称变换的过程，轴对称变换前后的图形是全等图形，对应边相等，对应角相等．
【举一反三】
1. （2017江苏无锡第10题）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于（）
A．2 B．5
4
C．
5
3
D．
7
5
【答案】D．
【解析】
试题解析：如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．
在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，
∴，
∵CD=DB，
∴AD=DC=DB=5
2
，
∵1
2
•BC•AH=
1
2
•AB•AC，
∴AH=12
5
，
∵AE=AB，DE=DB=DC，
∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，
∵1
2
•AD•BO=
1
2
•BD•AH，
∴OB=12
5
，
∴BE=2OB=24
5
，
在Rt△BCE中，
7
5
== .
故选D．
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.直角三角形斜边上的中线；3.勾股定理．
2. （2017浙江宁波第18题）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，点M是A D边的中点，连接MC，将菱形ABCD翻折，使点A落在线段CM上的点E处，折痕交AB于点N，则线段EC的
．
【解析】
试题分析：如图所示：过点M作MF⊥DC于点F，
∵在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M为AD中点，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，
∴∠FMD=30°，
∴FD=1
2
MD=
1
2
，
∴FM=DM×cos30°=
2
，
∴EC=MC．
考点：1.折叠问题；2.菱形的性质．
课时作业☆能力提升
1.（2017内蒙古通辽第4题）下列图形中，是轴对称图形，不是中心对称图形的是（）
A B C D
【答案】D
试题分析：根据中心对称图形和轴对称图形的定义，可得：
A是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D不是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
考点：1、中心对称图形；2、轴对称图形
2. （2017郴州第2题）下列图形既是对称图形又是中心对称图形的是（）
【答案】B．
【解析】
试题分析：根据轴对称图形和中心对称图形的概念可得选项A是轴对称图形，不是中心对称图形；
选项B既是轴对称图形又是中心对称图形；选项C不是轴对称图形，是中心对称图形；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．
考点：轴对称图形和中心对称图形.
3．（2017海南第6题）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点A的坐标是（﹣2，3），先把△ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于x轴对称的△A2B2C2，则点A的对应点A2的坐标是（）
A.(-3，2)
B.（2，-3）
C.（1，-2）
D.（-1，2）
【解析】
试题分析：首先利用平移的性质得到△A 1B 1C 1，进而利用关于x 轴对称点的性质得到△A 2B 2C 2，即可得出答案． 如图所示：点A 的对应点A 2的坐标是：（2，﹣3）．故选：B ．
考点：平移的性质，轴对称的性质.
4．（2017新疆乌鲁木齐第9题）如图，在矩形ABCD 中，点F 在AD 上，点E 在BC 上，把这个矩形沿EF
折叠后，使点D 恰好落在BC 边上的G 点处，若矩形面积为60,2AFG GE BG ∠==，则折痕EF 的长为（ ）
A ．1
B 2 D ．【答案】C.
【解析】
在Rt △GHE 中，∠HGE=30°，
∴GE=2HE=CE ，
∴==．
∵GE=2BG ，
∴BC=BG+GE+EC=4EC ．
∵矩形ABCD 的面积为
∴EC=1，EF=GE=2．
故选C ．
考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质．
5. （2017新疆乌鲁木齐第10题）如图，点()(),3,,1A a B b 都在双曲线3y x
=上，点,C D ，分别是x 轴，y 轴上的动点，则四边形ABCD 周长的最小值为（ ）
A ．．．【答案】
B ．
【解析】
试题解析：分别把点A （a ，3）、B （b ，1）代入双曲线y=
3x 得：a=1，b=3，
则点A 的坐标为（1，3）、B 点坐标为（3，1），
作A 点关于y 轴的对称点P ，B 点关于x 轴的对称点Q ，
所以点P 坐标为（﹣1，3），Q 点坐标为（3，﹣1），
连结PQ 分别交x 轴、y 轴于C 点、D 点，此时四边形ABCD 的周长最小，
四边形ABCD 周长=DA+DC+CB+AB
=DP+DC+CQ+AB
=PQ+AB
+
故选B．
考点：反比例函数图象上点的坐标特征；轴对称﹣最短路线问题．
6.（2017四川宜宾第7题）如图，在矩形ABCD中BC=8，CD=6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上F处，则DE的长是（）
A．3 B．24
5
C．5 D．
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【答案】C.
【解析】
试题解析：∵矩形ABCD，
∴∠BAD=90°，
由折叠可得△BEF≌△BAE，
∴EF⊥BD，AE=EF，AB=BF，
在Rt△ABD中，AB=CD=6，BC=AD=8，
根据勾股定理得：BD=10，即FD=10﹣6=4，
设EF=AE=x，则有ED=8﹣x，
根据勾股定理得：x2+42=（8﹣x）2，
解得：x=3（负值舍去），
则DE=8﹣3=5，
故选C.
考点：1. 翻折变换（折叠问题）；2.矩形的性质．
7. （2017重庆A卷第18题）如图，正方形ABCD中，AD=4，点E是对角线AC上一点，连接DE，过点E作
EF⊥ED，交AB于点F，连接DF，交AC于点G，将△EFG沿EF翻折，得到△EFM，连接DM，交EF于点N，若点F是AB的中点，则△EMN的周长是．
【答案】
【解析】
试题解析：如图1，过E作PQ⊥DC，交DC于P，交AB于Q，连接BE，
∵DC∥AB，
∴PQ⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴PE=PC，
设PC=x，则PE=x，PD=4﹣x，EQ=4﹣x，
∴PD=EQ，
∵∠DPE=∠EQF=90°，∠PED=∠EFQ，
∴△DPE≌△EQF，
∴DE=EF，
易证明△DEC≌△BEC，
∴DE=BE，
∴EF=BE，
∵EQ ⊥FB ，
∴FQ=BQ=12
BF ， ∵AB=4，F 是AB 的中点，
∴BF=2，
∴FQ=BQ=PE=1，
∴
Rt △DAF 中，
∵DE=EF ，DE ⊥EF ，
∴△DEF 是等腰直角三角形，
∴
∴，
如图2，
∵DC ∥AB ，
∴△DGC ∽△FGA ， ∴422
CG DC DG AG AF FG ====， ∴CG=2AG ，DG=2FG ，
∴FG=133
⨯=，
∵=，
∴
CG=
2
3
⨯=
∴
EG=
33
-=，
连接GM、GN，交EF于H，
∵∠GFE=45°，
∴△GHF是等腰直角三角形，
∴
=
∴EH=EF﹣
-=
∴∠NDE=∠AEF，
∴tan∠NDE=tan∠AEF=EN GH DE EH
=，
1
2
EN
==，
∴
EN=
2
，
∴NH=EH﹣
EN=
326
-=，
Rt△GNH中，
6
==，
由折叠得：MN=GN，EM=EG，
∴△EMN的周长
=EN+MN+EM=
2632
+
++=．
考点：1.折叠；2.正方形的性质.
8．（2017湖北咸宁第14题）如图，点O的矩形纸片ABCD的对称中心，E是BC上一点，将纸片沿AE
折叠后，点B 恰好与点O 重合，若3=BE ，则折痕AE 的长为 ．
【答案】
6.
考点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题）．
9. （2017青海西宁第20题）如图，将ABCD 沿EF 对折，使点A 落在点C 处，若
060,4,6A AD AB ∠===，则AE 的长为___. 【答案】285
【解析】
试题分析：过点C 作CG ⊥AB 的延长线于点G ，
在▱ABCD 中，∠D=∠EBC ，AD=BC ，∠A=∠DCB ，
由于▱ABCD 沿EF 对折，∴∠D ′=∠D=∠EBC ，∠D ′CE=∠A=∠DCB ，D ′C=AD=BC ，
∴∠D ′CF+∠FCE=∠FCE+∠ECB ，∴∠D ′CF=∠ECB ，
在△D ′CF 与△ECB 中，D EBC D C BC D CF ECB '∠=∠⎧⎪'=⎨⎪'∠=∠⎩
,∴△D ′CF ≌△ECB （ASA ）,∴D ′F=EB ，CF=CE ，
∵DF=D ′F ，∴DF=EB ，AE=CF
设AE=x ，则EB=8﹣x ，CF=x ，∵BC=4，∠CBG=60°，∴BG=
12BC=2，由勾股定理可知： ∴EG=EB+BG=8﹣x+2=10﹣x
在△CEG 中，由勾股定理可知：（10﹣x ）2+（2=x 2，
解得：x=AE=285
考点： 1.翻折变换（折叠问题）；2.平行四边形的性质．
10.如图，在边长为2的等边△ABC 中，D 为BC 的中点，E 是AC 边上一点，则BE +DE 的最小值为 ．
【解析】
试题分析：作B 关于AC 的对称点B ′，连接BB ′、B ′D ，交AC 于E ，此时BE +ED =B ′E +ED =B ′D ，根据两点之间线段最短可知B ′D 就是BE +ED 的最小值，∵B 、B ′关于AC 的对称，∴AC 、BB ′互相垂直平分，∴
四边形ABCB ′是平行四边形，∵三角形ABC 是边长为2，∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴AD BD =CD =1，
BB ′=2AD =B ′G ⊥BC 的延长线于G ，∴B ′G =AD
在Rt △B ′BG 中，BG ，∴DG =BG ﹣BD =3﹣1=2，
在Rt △B ′DG 中，BD BE +ED
考点：1．轴对称-最短路线问题；2．等边三角形的性质；3．最值问题；4．综合题．
11. （2017海南第17题）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=5，点E 在DC 上，将矩形ABCD 沿AE 折叠，点D 恰好落在BC 边上的点F 处，那么cos ∠EFC 的值是 ．
【答案】35.
考点：轴对称的性质，矩形的性质，余弦的概念.
12. （2017黑龙江齐齐哈尔第21题）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，
ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(3,4)A -，(5,2)B -，(2,1)C -．
（1）画出ABC ∆关于y 轴的对称图形111A B C ∆；
（2）画出将ABC ∆绕原点O 逆时针方向旋转90︒得到的222A B C ∆；
（3）求（2）中线段OA 扫过的图形面积．
【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）线段OA 扫过的图形面积为
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π． 【解析】
试题分析：（1）分别作出各点关于y 轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）根据图形旋转的性质画出旋转后的图形△A 2B 2C 2即可；
（3）利用扇形的面积公式即可得出结论．
试题解析：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所求；
（2）如图，△A 2B 2C 2即为所求；
（3）∵，∴线段OA 扫过的图形面积=2905360π⨯=254π．
考点：1.作图﹣旋转变换；2.扇形面积的计算；3.作图﹣轴对称变换．
13. （2017辽宁大连第25题）如图1，四边形ABCD 的对角线BD AC ,相交于点O ，OD OB =，m AD AB OA OC =+=,，n BC =，ACB ADB ABD ∠=∠+∠.
（1）填空：BAD ∠与ACB ∠的数量关系为 ；
（2）求n
m 的值； （3）将A C D ∆沿CD 翻折，得到CD A '∆（如图2），连接'BA ，与CD 相交于点P .若2
15+=
CD ，求PC 的长.
【答案】（1）∠BAD+∠ACB=180°；（2；（3）1.
（3）如图2中，作DE ∥AB 交AC 于E ．想办法证明△PA′D∽△PBC ，可得
'A D PD BC PC ==，可得
PD PC PC +=，即PD PC = 试题解析：（1）如图1中，
在△ABD 中，∵∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，∠ABD+∠ADB=∠ACB ，
∴∠BAD+∠ACB=180°，故答案为∠BAD+∠ACB=180°．
（2）如图1中，作DE ∥AB 交AC 于E ．
∴∠DEA=∠BAE ，∠OBA=∠ODE ，
∵OB=OD ，∴△OAB ≌△O ED ，
∴AB=DE ，OA=OE ，设AB=DE=CE =CE=x ，OA=OE=y ，
∵∠EDA+∠DAB=180°，∠BAD+∠ACB=180°，
∴∠EDA=∠ACB ，∵∠DEA=∠CAB ，∴△EAD ∽△ABC ， ∴ED AE DA m AC AB CB n
===，∴22x y x y x =+， ∴4y 2+2xy ﹣x 2=0，∴2
2210y y x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭
，
∴2y x =，∴m n = （3）如图2中，作DE ∥AB 交AC 于E ．
由（1）可知，DE=CE ，∠DCA=∠DCA′，∴∠EDC=∠ECD=∠DCA′，
∴DE ∥CA′∥AB ，∴∠ABC+∠A′CB=180°，
∵△EAD ∽△ACB ，∴∠DAE=∠ABC=∠DA′C，
∴∠DA′C +∠A′CB=180°，∴A′D∥BC ，
∴△PA′D∽△PBC ，
∴
'A D PD BC PC ==，
∴PD PC PC +=，即PD PC = ∴PC=1．
考点：相似三角形的判定和性质；解一元二次方程；三角形的内角和定理. 14. （2017贵州六盘水第25题）如图，MN 是O ⊙的直径，4MN =，点A 在O ⊙上，30AMN =∠°，B 为AN 的中点，P 是直径MN 上一动点.
(1)利用尺规作图，确定当PA PB +最小时P 点的位置(不写作法，但要保留作图痕迹).
(2)求PA PB +的最小值.
【答案】（1）详见解析；试题分析：(1)画出A 点关于MN 的称点A ',连接A 'B,就可以得到P 点; (2)利用30AMN =∠°得∠AON=∠ON A '=60°，又B 为弧AN 的中点,∴∠BON=30°，所以∠A 'ON=90°，再求最小值22．
试题解析：
(1)如图，点P 即为所求作的点.
(2)由（1）可知，PA PB +的最小值为'A B 的长，
连接'OA ,OB 、OA
∵A 点关于MN 的称点A '，∠AMN=30°，
∴00'223060AON A ON AMN ∠=∠=∠=⨯=
又∵B 为AN 的中点
∴AB BN = ∴0011603022
BON AOB AON ∠=∠=∠=⨯= ∴000''603090A OB A ON BON ∠=∠+∠=+=
又∵MN=4 ∴11'4222
OA OB MN ===⨯=
在Rt△'A OB中，'A B=
+的最小值为
即PA PB
考点：圆，最短路线问题．。