2021年高考数学大一轮复习 第二章 第4课 函数的概念及其表示法要点导学

2021年高考数学大一轮复习第二章第4课函数的概念及其表示法要点导
学
函数的概念
判断下列对应是否为函数:
(1) x→y,y=x2+2x+1,x∈R;
(2) x→y,这里y4=x,x∈R,y∈R;
(3) A={(x,y)|x,y∈R},对任意的(x,y)∈A,(x,y)→x+y.
[思维引导]判断标准:根据给出的定义域和对应法则,看自变量x在其定义域内的每一个值是否有确定且唯一的函数值与之对应.
[解答](1) 对于任意一个实数x,y=x2+2x+1都被x唯一确定,所以当x∈R
时,y=x2+2x+1是函数.
(2) 考虑输入值1,即当x=1时,输出值为y,由y4=1,得y=±1,这里一个输入值与两个输出值对应(不是单值对应),所以y4=x不是函数.
(3) 由于集合A不是数集,所以此对应法则一定不是函数.
[精要点评]判断对应关系是否为函数关系,从三个角度入手:(1) 定义域是否为数集;(2) 定义域中每个值是否使解析式都有意义;(3) 由解析式算出的数是否唯一.函数的三要素
(xx·江苏模拟)下列各组函数中,表示同一函数的是.(填序号)
①f(x)=x-1,g(x)=-1;
②f(x)=|x|,g(x)=;
③f(x)=x,g(x)=;
④f(x)=2x,g(x)=.
[思维引导]判断两个函数是否为同一函数,要从定义域、值域和对应关系三个方面考虑.
[答案]③
[解析]①f(x)=x-1的定义域为R,g(x)=-1的定义域为{x|x≠0},定义域不同,所以不是同一函数;②f(x)=|x|的定义域为R,g(x)=的定义域为{x|x≥0},定义域不同,所以不是同一函数;③f(x)=x,g(x)==x,所以是同一函数;④f(x)=2x,g(x)==2|x|≥0,对应法则和值域都不同,所以不是同一函数.
求函数的解析式
(1) 已知f(+1)=x+2,求f(x);
(2) 设f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+3,求f(x);
(3) 已知f=x2++1(x>0),求f(x).
[思维引导]求函数解析式的方法一般有待定系数法和换元法.如果已知函数式的构造模式,可用待定系数法;如果已知复合函数f[g(x)]的表达式求f(x),常用换元
法.
[解答](1) 设+1=t(t≥1),则=t-1,
代入f(+1)=x+2,
得f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1,即f(x)=x2-1(x≥1).
(2) 根据题意,可设f(x)=ax+b(a≠0),
则f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3,
故a2=4,ab+b=3,解得或
所以f(x)=2x+1或f(x)=-2x-3.
(3) 因为f=+3,当x>0时,x-∈R,所以f(x)=x2+3.
[精要点评]在采用整体换元法求解时,一定要注意所换的元的取值范围,不但要从式子形式上确定其取值范围,还要注意题目的限制条件.
(1) (xx·江苏模拟)已知f=x2+5x,求f(x)的解析式;
(2) 已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x);
(3) (xx·保定模拟)已知f=x+3,求f(x)的解析式.
[解答](1) 令t=(t≠0),则x=,
所以f(t)=+.
故f(x)=(x≠0).
(2) 设f(x)=ax+b(a≠0),
则3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b=ax+b+5a=2x+17,解得a=2,b=7,
所以f(x)=2x+7.
(3) 令t=+1(t≠1),则x=,
所以f(t)=+3=,
所以f(x)=(x≠1).
如图,有一块半径为R的半圆形钢板,计划裁剪成等腰梯形ABCD的形状,它的下底AB 是☉O的直径,且上底CD的端点在圆周上,写出梯形的周长y关于腰长x的函数关系式,并求出它的定义域.
(例4)
[思维引导]本题只要将上底用腰长x表示即可.
[解答]由题意得AB=2R,点C,D在☉O的半圆周上,设腰长AD=BC=x,作DE⊥AB,垂足为E,连接BD,易知∠ADB是直角.
由Rt△ADE∽Rt△ABD,得AD2=AE·AB,即AE=.
所以CD=AB-2AE=2R-.
所以y=2R+2x+.
即y=-+2x+4R.
由
2
2 x0, x
0,
2R
x
2R-0,
R
⎧
⎪>
⎪
⎪
>
⎨
⎪
⎪
>
⎪
⎩解得0<x<R.
所以y=-+2x+4R,x∈(0,R).
[精要点评]由实际问题求函数解析式,实质是将函数值用自变量表示出来,其关键是根据题意寻找等量关系,在图形问题中,要充分根据图形的特点建立等式,当然定义域问题一定要注意自变量的取值范围.
(xx·北京卷)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:min)满足函数关系式
p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图所示记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,求最佳的加工时间.
(变式)
[解答]由图形可知,三点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)都在函数p=at2+bt+c的图象上,
所以解得a=-0.2,b=1.5,c=-2,
所以p=-0.2t2+1.5t-2=-0.2+,
因为t>0,所以当t==3.75时,p取最大值,
故最佳加工时间是3.75 min.
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况,在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:km/h)是车流密度x(单位:辆/km)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/km时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/km时,车流速度为60 km/h.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.
(1) 当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式.
(2) 当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/h)f(x)=x·v(x)可以达到最大?并求出最大值.(精确到1辆/h) [规范答题](1) 由题意,当0≤x≤20时,v(x)=60.
当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b,
由已知得解得 (4分)
故v(x)= (6分)
(2) 依题意并由(1)可得
f(x)= (8分)
当0≤x≤20时,f(x)为单调增函数,故当x=20时,其最大值为60×20=1200;
当20≤x≤200时,
f(x)=x(200-x)≤=, (10分)
当且仅当x=200-x,即x=100时,等号成立.
所以,当x=100时,f(x)在区间[20,200]上取得最大值.
综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3333.
即当车流密度为100辆/km时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/h.(14分)
1. 判断下列对应是否为从集合A到B的函数:
(1) A={1,2,3,4,5},B={0,2,4,6,8},x∈A,f:x→2x;
(2) A=R,B=R,x∈A,f:x→y,y=|x|;
(3) A=[0,+∞),B=R,x∈A,f:x→y,y2=x.
[解答](1) A中元素5在B中无元素与之对应,故(1)不是函数;(2) 满足函数的定义,故(2)是函数;(3) 当输入值x=1时,输出值y=-1或1,这里一个输入值与两个输出值对应,故(3)不是函数.
2. 下列各组函数中,表示相同函数的是.(填序号)
①f(u)=,g(v)=;
②f(x)=,g(x)=x;
③f(x)=,g(x)=1-|x|,x∈[-1,1];
④f(x)=·,g(x)=.
[答案]①
[解析]①中两个函数的定义域、值域和对应法则都相同,所以它们是同一函数.②中由于f(x)==|x|,两个函数的对应法则不同,故它们不是同一函数.③中两个函数的对应法则不同,故它们不是同一函数.④中两个函数的定义域不同,故它们不是同一函数.
3. 已知函数f(x)=.若f(a)=3,则实数a=.
[答案]10
4. (xx·江苏模拟)某种产品的购买量x(单位:t)与单价y(单位:t)之间满足一次函数关系,如果购买1 000t,每吨800元,购买2 000t,每吨700元,那么一客户购买400t,单价应为元.
[答案]860
[解析]设y=kx+b,则有解得k=-,b=900,所以y=-x+900,当x=400时,y=860.所以单价应为860元.
[温馨提醒]
趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第7-8页).v>}830249 7629 瘩32312 7E38 縸32928 80A0 肠_21319 5347 升@?19979 4E0B 下222127 566F 噯u。