群论-第三章 连续转动群 2011.12.7
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8
O
(φ)
1 0 –1
Cz(φ)
9
反演： 反演：
， 由引理1， 由引理 ， ∴ ◆含奇数个反演或镜面反射的操作对应的行列式为 –1。 。 正当操作： 正当操作： 非正当操作： 非正当操作： ； 。
10
引理2 引理2 证明： 证明：
的正交矩阵A对应一个定轴转动。 的正交矩阵 对应一个定轴转动。 对应一个定轴转动
所以 可作为SO(2)群不可约表示的基矢， 群不可约表示的基矢， 可作为 群不可约表示的基矢 的本征函数。 同时也是 和 的本征函数。 对某力学系统，先分析其对称性， 对某力学系统，先分析其对称性，若关于某轴旋转 对称，则角动量守恒， 对称，则角动量守恒，且态函数中必有因子项 。
22
θ
17
群的不可约表示和特征标系： 群的不可约表示和特征标系： 群是Abel群，不可约表示都是 维的。 维的。 群是 群 不可约表示都是1维的
两边对
求导： 求导：
18
（
）
即 而 ∴要求 不可约表示： 不可约表示： 特征标： 特征标：
19
SO(2)群：不同m值对应不同不可约表示，无穷多个。 群 不同 值对应不同不可约表示，无穷多个。 前面 但不能认为 ，这里 ，算符 ≠ 数。 ，
轴对称势场，能量也就具有轴对称性。 轴对称势场，能量也就具有轴对称性。 Cz(φ)：φ是表征群元的一个连续参数。 ： 是表征群元的一个连续参数。 与 ， 类似， 类似，有 =？
ρ(φ) 为φ~ φ+∆φ范围内的群元密度。 范围内的群元密度。 范围内的群元密度
13
若
（无限小的
值）
是一个算符，称为无穷小算符。 是群元算符， 是一个算符，称为无穷小算符。 无穷小算符 是群元算符， 其一阶导数仍然对应一个算符（ 其一阶导数仍然对应一个算符（该算符不一定是无穷 小量，起生成元作用）。 小量，起生成元作用）。 为有限值时， 为有限值时， 可写为 n为正整数 为正整数 当 时，
14
是反厄米算符： 是反厄米算符： 是幺正算符、 （∵ Cz(φ)是幺正算符、正交算符） 是幺正算符 正交算符） 假设φ 假设 → 0，忽略 2项，有 ，忽略φ ∴
定义
，有
，
在具体线性空间中有特定的算符形式， 在具体线性空间中有特定的算符形式，对应一个 特定的矩阵。 特定的矩阵。 例如：三维实空间中，无穷小 角： 例如：三维实空间中，
前者为算符、群元，后者为群表示、特征标。 前者为算符、群元，后者为群表示、特征标。
由 并考虑到群阶g 并考虑到群阶 → ∞，ρ(α) = g/2π ， 则有 与有限群情况 相似。 相似。
20
（1）在经典力学中，物体处于二维势场 ）在经典力学中， 轴旋转对称性， 如果 具有绕 z 轴旋转对称性，
中， ，即
1
对称操作类型： 对称操作类型： 旋转(rotation)：绕固定轴（有向线段）转某个角 ①旋转 ： 固定轴（有向线段） 度(0 ～2 )。 。 也叫反映) 镜面反射(也叫反映 ②镜面反射 也叫反映 (mirror reflection)：镜面记 ： 为法向量的平面， 作σ ，以 为法向量的平面，记作 。 ， 分别 为垂直和通过主轴的镜面. 为垂直和通过主轴的镜面 平移(translation)：空间中所有点沿相同方向移动 ③平移 ： 相同距离的操作， 表示（其指向表方向， 相同距离的操作，用向量 表示（其指向表方向， 表距离）。 长度 表距离）。 反演(inversion)： ④反演 ： 。反演与镜面反射两者 相互关联，其中只有一个是基本的。 相互关联，其中只有一个是基本的。 （反演 = 绕含反演中心的轴旋 180°后做垂直转轴的 ° 平面的镜面反射， 平面的镜面反射，即 ）
3
∴
构成Abel群，称为R(2)群或 SO(2) 群。 群 称为 构成 群或 二维旋转对称操作构成的二维旋转群） （二维旋转对称操作构成的二维旋转群）
3. 圆球 绕过球心的任意转轴旋转任意角度均是对称操作， 绕过球心的任意转轴旋转任意角度均是对称操作， 三维旋转群) 构成 R(3)群或 SO(3)群。 (三维旋转群 群或 群 三维旋转群 过球心平面的镜面反射也是对称操作， 过球心平面的镜面反射也是对称操作，与R(3)群 群 操作联合构成O(3)群。(全正交群 全正交群) 操作联合构成 群 全正交群
（利用 可见 =常数，即 常数， 常数 是守恒量。 是守恒量。
）
21
（2）在量子力学中： ）在量子力学中： 算符在 作用下不变，所以 作用下不变， 为本征函数， 为本征函数， 是矩阵，也是本征值。 是矩阵，也是本征值。
两边乘以 ： 可见，旋转算符和哈密顿算符具有相同的本征函数。 可见，旋转算符和哈密顿算符具有相同的本征函数。
2
• 点操作 点操作(point operation)：空间中至少有一点不 ： 变的对称操作，称为点对称操作，简称点操作。 变的对称操作，称为点对称操作，简称点操作。 包括旋转和镜面反射。 包括旋转和镜面反射。 • 空间操作 空间操作(space operation)：由平移实现，空间 ：由平移实现， 所有点都发生变动。 所有点都发生变动。 例：1. C3v群是点操作 2. 花瓶 • 有旋转对称轴 • 旋转任意角度不变，有无限 旋转任意角度不变， 多个操作。 多个操作。 • 绕轴旋转角度 ：
φ
15
∴ 由 取 ，∴ ， ， 做基矢，确定 做基矢， ； 的矩阵： 的矩阵：
该矩阵虽然是奇异的， 该矩阵虽然是奇异的，但 对应于群元 的表示，不是奇异的。此时1对应单位阵 的表示，不是奇异的。此时 对应单位阵 I0(3) 。
16
算符的另一种含义： 算符的另一种含义： 在一般的函数空间中， 在一般的函数空间中， 基函数为 时： ，
∴
可视为三元一次线性方程组的久期行列式： 可视为三元一次线性方程组的久期行列式：
11
该齐次线性方程组必有非零解。 由于 ，该齐次线性方程组必有非零解。 构成非定轴。 是 A旋转操作的定轴。 旋转操作的定轴
12
第二节 定轴转动群SO(2)
二维量子力学问题： 二维量子力学问题：
第三章
连续转动群
第一节 基本概念和定理
对称操作： 对称操作： 物质体系所占空间位置不变的空间变换。 使物质体系所占空间位置不变的空间变换。 对称操作需满足两个基本条件： 对称操作需满足两个基本条件： 任意两点间距离不变； ① 任意两点间距离不变； 任意两向量间夹角不变。 ② 任意两向量间夹角不变。 对称操作群： 对称操作群： 对于一个物质体系， 对于一个物质体系，由该体系的所有对称操作构 成的集合。 成的集合。
4
α O
α
点操作的特点： 点操作的特点： 设不动的点为坐标原点， 设不动的点为坐标原点 ，则点操 作不改变任意两矢量 ， 间的 相对位置（数学上称保长、 相对位置 （数学上称保长、 保角 变换） 变换）。
点操作在三维空间中对应一个算符A： 点操作在三维空间中对应一个算符 ： ； 内积： 内积： 满足此关系的变换满足保长、保角变换。 满足此关系的变换满足保长、保角变换。
5
由 要求 即变换算符A 是幺正的。 即变换算符 是幺正的。 三维实空间中，变换A不会将实矢量变成复矢量 不会将实矢量变成复矢量， 三维实空间中，变换 不会将实矢量变成复矢量， 是实变换， 是正交算符， ∴ A是实变换，结合幺正性，表明 是正交算符， 是实变换 结合幺正性，表明A是正交算符 对应矩阵为正交矩阵： 对应矩阵为正交矩阵： 。 由正交变换构成的群称为O群 全正交群）。 由正交变换构成的群称为 群（全正交群）。 三维实空间： 三维实空间： O(3)群 群 SO(3)群是 群是Special orthogonal group. 群是 O(3) = SO(3) ⊗ Ci , Ci = { e, I }
6
旋转、 旋转、反射在实空间中对应着正交算符
： ， ， （正交矩阵的性质） 正交矩阵的性质）
7
引理1 三维空间中， 引理1 三维空间中，纯旋转操作对应的正交矩阵 的行列式等于1。 的行列式等于 。
z
证明： 证明： ， φ连续变化，A的矩阵元和行列式 连续变化， 的矩阵元和行列式 连续变化 也应连续变化。 也应连续变化。 ， 用反证法： 用反证法： 假设对某一 φ 值， 则在 0 ~ φ 之间必有某φm值，其 违反 ，
O
(φ)
1 0 –1
Cz(φ)
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反演： 反演：
， 由引理1， 由引理 ， ∴ ◆含奇数个反演或镜面反射的操作对应的行列式为 –1。 。 正当操作： 正当操作： 非正当操作： 非正当操作： ； 。
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引理2 引理2 证明： 证明：
的正交矩阵A对应一个定轴转动。 的正交矩阵 对应一个定轴转动。 对应一个定轴转动
所以 可作为SO(2)群不可约表示的基矢， 群不可约表示的基矢， 可作为 群不可约表示的基矢 的本征函数。 同时也是 和 的本征函数。 对某力学系统，先分析其对称性， 对某力学系统，先分析其对称性，若关于某轴旋转 对称，则角动量守恒， 对称，则角动量守恒，且态函数中必有因子项 。
22
θ
17
群的不可约表示和特征标系： 群的不可约表示和特征标系： 群是Abel群，不可约表示都是 维的。 维的。 群是 群 不可约表示都是1维的
两边对
求导： 求导：
18
（
）
即 而 ∴要求 不可约表示： 不可约表示： 特征标： 特征标：
19
SO(2)群：不同m值对应不同不可约表示，无穷多个。 群 不同 值对应不同不可约表示，无穷多个。 前面 但不能认为 ，这里 ，算符 ≠ 数。 ，
轴对称势场，能量也就具有轴对称性。 轴对称势场，能量也就具有轴对称性。 Cz(φ)：φ是表征群元的一个连续参数。 ： 是表征群元的一个连续参数。 与 ， 类似， 类似，有 =？
ρ(φ) 为φ~ φ+∆φ范围内的群元密度。 范围内的群元密度。 范围内的群元密度
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若
（无限小的
值）
是一个算符，称为无穷小算符。 是群元算符， 是一个算符，称为无穷小算符。 无穷小算符 是群元算符， 其一阶导数仍然对应一个算符（ 其一阶导数仍然对应一个算符（该算符不一定是无穷 小量，起生成元作用）。 小量，起生成元作用）。 为有限值时， 为有限值时， 可写为 n为正整数 为正整数 当 时，
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是反厄米算符： 是反厄米算符： 是幺正算符、 （∵ Cz(φ)是幺正算符、正交算符） 是幺正算符 正交算符） 假设φ 假设 → 0，忽略 2项，有 ，忽略φ ∴
定义
，有
，
在具体线性空间中有特定的算符形式， 在具体线性空间中有特定的算符形式，对应一个 特定的矩阵。 特定的矩阵。 例如：三维实空间中，无穷小 角： 例如：三维实空间中，
前者为算符、群元，后者为群表示、特征标。 前者为算符、群元，后者为群表示、特征标。
由 并考虑到群阶g 并考虑到群阶 → ∞，ρ(α) = g/2π ， 则有 与有限群情况 相似。 相似。
20
（1）在经典力学中，物体处于二维势场 ）在经典力学中， 轴旋转对称性， 如果 具有绕 z 轴旋转对称性，
中， ，即
1
对称操作类型： 对称操作类型： 旋转(rotation)：绕固定轴（有向线段）转某个角 ①旋转 ： 固定轴（有向线段） 度(0 ～2 )。 。 也叫反映) 镜面反射(也叫反映 ②镜面反射 也叫反映 (mirror reflection)：镜面记 ： 为法向量的平面， 作σ ，以 为法向量的平面，记作 。 ， 分别 为垂直和通过主轴的镜面. 为垂直和通过主轴的镜面 平移(translation)：空间中所有点沿相同方向移动 ③平移 ： 相同距离的操作， 表示（其指向表方向， 相同距离的操作，用向量 表示（其指向表方向， 表距离）。 长度 表距离）。 反演(inversion)： ④反演 ： 。反演与镜面反射两者 相互关联，其中只有一个是基本的。 相互关联，其中只有一个是基本的。 （反演 = 绕含反演中心的轴旋 180°后做垂直转轴的 ° 平面的镜面反射， 平面的镜面反射，即 ）
3
∴
构成Abel群，称为R(2)群或 SO(2) 群。 群 称为 构成 群或 二维旋转对称操作构成的二维旋转群） （二维旋转对称操作构成的二维旋转群）
3. 圆球 绕过球心的任意转轴旋转任意角度均是对称操作， 绕过球心的任意转轴旋转任意角度均是对称操作， 三维旋转群) 构成 R(3)群或 SO(3)群。 (三维旋转群 群或 群 三维旋转群 过球心平面的镜面反射也是对称操作， 过球心平面的镜面反射也是对称操作，与R(3)群 群 操作联合构成O(3)群。(全正交群 全正交群) 操作联合构成 群 全正交群
（利用 可见 =常数，即 常数， 常数 是守恒量。 是守恒量。
）
21
（2）在量子力学中： ）在量子力学中： 算符在 作用下不变，所以 作用下不变， 为本征函数， 为本征函数， 是矩阵，也是本征值。 是矩阵，也是本征值。
两边乘以 ： 可见，旋转算符和哈密顿算符具有相同的本征函数。 可见，旋转算符和哈密顿算符具有相同的本征函数。
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• 点操作 点操作(point operation)：空间中至少有一点不 ： 变的对称操作，称为点对称操作，简称点操作。 变的对称操作，称为点对称操作，简称点操作。 包括旋转和镜面反射。 包括旋转和镜面反射。 • 空间操作 空间操作(space operation)：由平移实现，空间 ：由平移实现， 所有点都发生变动。 所有点都发生变动。 例：1. C3v群是点操作 2. 花瓶 • 有旋转对称轴 • 旋转任意角度不变，有无限 旋转任意角度不变， 多个操作。 多个操作。 • 绕轴旋转角度 ：
φ
15
∴ 由 取 ，∴ ， ， 做基矢，确定 做基矢， ； 的矩阵： 的矩阵：
该矩阵虽然是奇异的， 该矩阵虽然是奇异的，但 对应于群元 的表示，不是奇异的。此时1对应单位阵 的表示，不是奇异的。此时 对应单位阵 I0(3) 。
16
算符的另一种含义： 算符的另一种含义： 在一般的函数空间中， 在一般的函数空间中， 基函数为 时： ，
∴
可视为三元一次线性方程组的久期行列式： 可视为三元一次线性方程组的久期行列式：
11
该齐次线性方程组必有非零解。 由于 ，该齐次线性方程组必有非零解。 构成非定轴。 是 A旋转操作的定轴。 旋转操作的定轴
12
第二节 定轴转动群SO(2)
二维量子力学问题： 二维量子力学问题：
第三章
连续转动群
第一节 基本概念和定理
对称操作： 对称操作： 物质体系所占空间位置不变的空间变换。 使物质体系所占空间位置不变的空间变换。 对称操作需满足两个基本条件： 对称操作需满足两个基本条件： 任意两点间距离不变； ① 任意两点间距离不变； 任意两向量间夹角不变。 ② 任意两向量间夹角不变。 对称操作群： 对称操作群： 对于一个物质体系， 对于一个物质体系，由该体系的所有对称操作构 成的集合。 成的集合。
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α O
α
点操作的特点： 点操作的特点： 设不动的点为坐标原点， 设不动的点为坐标原点 ，则点操 作不改变任意两矢量 ， 间的 相对位置（数学上称保长、 相对位置 （数学上称保长、 保角 变换） 变换）。
点操作在三维空间中对应一个算符A： 点操作在三维空间中对应一个算符 ： ； 内积： 内积： 满足此关系的变换满足保长、保角变换。 满足此关系的变换满足保长、保角变换。
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由 要求 即变换算符A 是幺正的。 即变换算符 是幺正的。 三维实空间中，变换A不会将实矢量变成复矢量 不会将实矢量变成复矢量， 三维实空间中，变换 不会将实矢量变成复矢量， 是实变换， 是正交算符， ∴ A是实变换，结合幺正性，表明 是正交算符， 是实变换 结合幺正性，表明A是正交算符 对应矩阵为正交矩阵： 对应矩阵为正交矩阵： 。 由正交变换构成的群称为O群 全正交群）。 由正交变换构成的群称为 群（全正交群）。 三维实空间： 三维实空间： O(3)群 群 SO(3)群是 群是Special orthogonal group. 群是 O(3) = SO(3) ⊗ Ci , Ci = { e, I }
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旋转、 旋转、反射在实空间中对应着正交算符
： ， ， （正交矩阵的性质） 正交矩阵的性质）
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引理1 三维空间中， 引理1 三维空间中，纯旋转操作对应的正交矩阵 的行列式等于1。 的行列式等于 。
z
证明： 证明： ， φ连续变化，A的矩阵元和行列式 连续变化， 的矩阵元和行列式 连续变化 也应连续变化。 也应连续变化。 ， 用反证法： 用反证法： 假设对某一 φ 值， 则在 0 ~ φ 之间必有某φm值，其 违反 ，