高中数学精讲优练课型第一章集合与函数的概念1.3.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性课件新人
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时,f(a)<f(b),所以函数a f(xb )是R上的增函数.
第三十三页，共48页。
【延伸探究】(改变条件(tiáojiàn))本f题a若 将f “b
“(a-b)[f(a)-f(b)]<0”,则函数f(x)的增减a 性b 如何?
【解析】当a>b时,f(a)<f(b);当a<b时,f(a)>f(b),
=因所(为 以x1(f-y(xxīn21))w+-fè(xi4)22x)x<<21xx=01x2(,x即<1x＋11xf-x2(4xx1,所21))以x<2fx(1xx-24x2)2x. 1<xx102x,2x14x. 2>4,x1x2-4>0,
所以函数f(x)=x+ 在(2,+∞)上是增函数.
第二十页，共48页。
【解析( jiě xī)】y=|x2-2x-3|的图象如图所示,
由图象可得其单调递增区间是[-1,1],[3,+∞);递减区间是 (-∞,-1],[1,3].
第二十一页，共48页。
【方法技巧】求函数单调区间(qū jiān)的两种方法 (1)图象法: ①作出函数的图象; ②把函数图象向x轴作正投影; ③上升图象对应增区间(qū jiān),下降图象对应减区间(qū jiān).
第五页，共48页。
2.函数(hánshù)y=-x2的单调递减区间为 ( )
A.(-∞,0]
B.(0,+∞)
C.(-∞,+∞)
D.不存在
【解析】选B.画出函数(hánshù)y=-x2的图象,由图象
可知函数(hánshù)y=-x2的单调递减区间为(0,+∞).
第六页，共48页。
3.若y=(2k-1)x+b是R上的减函数,则有( )
1.3 函数的基本性质(xìngzhì) 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
第一页，共48页。
【知识提炼】 1.增函数(hánshù)与减函数(hánshù)的相关概念
f(x1)<f(x2)
f(x1)>f(x2)
第二页，共48页。
2.函数(hánshù)的单调性及单调区间
区间D
第三十六页，共48页。
【解析】1.因为f(x)在R上是单调递增的函数,所以f(x)需满足在
区间(-∞,1]和(1,+∞)上都是单调递增的,并且(bìngqiě)端点处x=1的
函数值
a
a
-12-a-5≤ 1,即a≥-3;f(x)=-x2-ax-5的对称轴为直线x=- ,且2 在
【解析】f(x)=|x+1|-|2x-4|= x 5, x 1, 3x 3,1 x 2,
画出函数f(x)的图象如图所示,函数5 f(xx, x)的 2.
单调(dāndiào)递减区间是[2,+∞).
第二十四页，共48页。
类型二 函数单调性的判断与证明
【典例】(2015·郑州高一检测(jiǎn cè))判断函数f4(x)=x+ 在(2,+∞)
第三十一页，共48页。
【补偿训练】定义在R上的函数f(x)对任意两个(liǎnɡ ɡè)不相等的实数a,b,
总有
>0,则必有 ( )
f af b
A.函数f(x)先增后减
ab
B.函数f(x)先减后增
C.函数f(x)是R上的增函数
D.函数f(x)是R上的减函数
第三十二页，共48页。
【解析(jiě xī)】选fC.a由 f b >0知,当a>b时,f(a)>f(b);当a<b
第十三页，共48页。
2.对函数单调区间的三点说明
(1)单调区间必须是函数定义域的子集.
(2)若函数f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数,一
般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函数.如f(x)= 在(-∞,0)
上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说它在定义域(-1∞,0)
2.(变换条件、改变问法)将本例中的函数(hánshù)“f(x)4=x+ ”变为 “f(x)= 2 x”,求证函数(hánshù)f(x)在(-1,+∞)上为减x 函数(hánshù).
x 1
第二十九页，共48页。
【证明(zhèngmíng)】任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2.
则f(x1)-f(x2)= 因为x2>x1>-1,
意的x>0,y>0,都有f(xy)=f(x)+求f(1),f(4)的值.
(2)求满足f(2)+f(x-3)≤2的x的取值范围.
第三十五页，共48页。
【解题(jiě tí)探究】1.典例1中x>1时对应的函数值f(x)与f(1)的大小关系如何? 提示:f(x)是R上的增函数,所以x>1时f(x)>f(1). 2.典例2中f(2)=1,则2与f(2)什么关系? 提示:2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).
∪(0,+∞)上是减函数.
x
(3)函数的单调区间,在书写时,只要(zhǐyào)在端点处有定义,用开区间或闭
区间都可以,但若在端点处无定义,必须用开区间表示.
第十四页，共48页。
3.常见函数的单调(dāndiào)区间 (1)y=ax+b,a>0时,单调(dāndiào)增区间为(-∞,+∞);a<0时,单调 (dāndiào)减区间为 (-∞,+∞).
A.k>
1
B.k>-
1
C.k< 2
D.k<- 2
【解析1(jiě xī)】选C.若y1=(2k-1)x+b是R上的减函数,则必有2k-1<0,所以k<
2
2
1. 2
第七页，共48页。
4.若函数f(x)在R上是增函数,且f(a)>f(b),则a与b的大小关系是
.
【解析】因为f(x)在R上是增函数,所以(suǒyǐ)当f(a)>f(b)时,有a>b.
(2)y= a ,a>0时,单调(dāndiào)减区间为(-∞,0)和(0,+∞);a<0时,单 x
调(dāndiào)增区间为(-∞,0)和(0,+∞). (3)y=a(x-m)2+n,a>0时,单调(dāndiào)减区间为(-∞,m],单调 (dāndiào)增区间为[m,+∞);a<0时,单调(dāndiào)增区间为(-∞,m], 单调(dāndiào)减区间为[m,+∞).
第二十二页，共48页。
(2)单调性定义法: ①作差,因式分解; ②判断各因式符号; ③如果各因式符号确定,则函数(hánshù)在整个定义域上具有单调性,如果有一个 因式符号不确定,则需确定分界点以确定单调区间.
第二十三页，共48页。
【补偿训练】求函数f(x)=|x+1|-|2x-4|的单调(dāndiào)递减区间.
答案:a>b
第八页，共48页。
5.如图所示为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象,则函数f(x)的单调(dāndiào)
递增区间是
.
【解析( jiě xī)】结合单调递增函数的概念及单调区间的概念可知,此函 数的单调递增区间是[-4,-2],[4,7]. 答案:[-4,-2],[4,7]
第九页，共48页。
第十五页，共48页。
【题型探究】
类型一 求函数(hánshù)的单调区间问题
【典例】1.函数(hánshù)f(x)= +2的单调递减区间是
.
1
2.画出函数(hánshù)y=-xx2+2|x|+3的图象,并指出函数(hánshù)的单调区间.
第十六页，共48页。
【解题探究】1.典例1中f(x)的定义域是什么? 提示(tíshì):f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 2.典例2中如何处理|x|? 提示(tíshì):按照绝对值的定义去掉绝对值符号,化简函数解析式.
=因(为x10-<x2x1)+<x42x<22=x,所x1＋(1x以1x4-1xx12-x)x22<x042,x01<x2x1x42. <4,x1x2-4<0,
所以f(x1)-f(x2x)1>x02 ,即f(x1)>f(x2)x. 1x2
所以函数f(x)=x+ 在(0,2)上是减函数.
4 x
第二十八页，共48页。
上的单调性,并证明.
x
【解题探究】典例中若设x1,x2∈(2,+∞),则x1x2与4的关系如何?
提示:因为x1,x2∈(2,+∞),所以x1x2>4.
第二十五页，共48页。
【解析】函数f(x)在(2,+∞)上是增函数,证明如下: 任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=
(2)增、减函数定义中的“任意x1,x2∈D”可否(kě fǒu)改为“存在 x1,x2∈D”? 提示:不能改,如函数f(x)= x2中,虽然f(-1)<f(2),但该函数在定义域上不 是单调函数. (3)函数f(x)在实数集R上是增函数,则f(1)<f(4)成立吗? 提示:成立.由于函数在R上是增函数,且1<4,故f(1)<f(4).
4 x
第二十六页，共48页。
【延伸探究】 1.(变换(biànhuàn)条件、改变问法)将本例中区间“(2,+∞)”改为“(0,2)”, 判断函数f(x)的单调性,并证明.
第二十七页，共48页。
【解析】函数f(x)在(0,2)上是减函数,证明如下(rúxià): 任取x1,x2∈(0,2),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=
【知识探究】 知识点 函数的单调性与单调区间 观察(guānchá)图形,回答下列问题:
第十页，共48页。
问题1:上面(shàng miɑn)四个图象从左到右的变化趋势分别是什么?它 们的变化趋势是否相同? 问题2:能否说f(x)= 在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数?
1 x
第十一页，共48页。
所以函数f(x)是R上的减函数.
>0”变为
第三十四页，共48页。
类型(lèixíng)三 函数单调性的应用
【典例】1.(2015·张家界高一检测)已知函数f(x)=
x2 ax 5, x 1,
是 2.R(上20的15增·广函州数高,一则检a的测取)已值知范函围数是y=f(x)是定. 义在(0,+∞)上的 xa增, x函数1 ,对于任
函 数图xx象如11图22 所44,,示xx.
0， 0.
函数在(-∞,-1],[0,1]上是增函数,
函数在[-1,0],[1,+∞)上是减函数.
所以函数的单调(dāndiào)增区间是(-∞,-1]和[0,1],
单调(dāndiào)减区间是[-1,0]和[1,+∞).
第十九页，共48页。
【延伸探究】(变换条件)将典例2函数(hánshù)变为“y=|x2-2x-3|”, 则其单调区间是什么?
增 函 数 (hánshù) 或 减 函 数 (hánshù)
单调 (dāndiào) 性
第三页，共48页。
【即时(jíshí)小测】 1.思考下列问题: (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗? 提示:并不是所有函数在定义域上都是单调的,如函数f(x)=1,x∈R在定义域上 就不是单调的.
第四页，共48页。
第十七页，共48页。
【解析】1.函数f(x)= +21的图象可由反比 例函数y= 的1 图象向上(xixàngshàng)平移2个单位得到, 作出图象如图x ,结合图象可知单调递减区间
是(-∞,0),(0,+∞). 答案:(-∞,0),(0,+∞)
第十八页，共48页。
2.y=-x2+2|x|+3
【总结提升】 1.对增函数、减函数概念的三点说明 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域不同区间 内可以(kěyǐ)有不同的单调性,即单调性是函数的一个“局部”性质.
第十二页，共48页。
(2)定义中的x1和x2有如下三个特征: ①任意性:即“任意取x1和x2”中“任意”二字不能去掉,证明时不能以 特殊(tèshū)代替一般; ②有大小之分; ③属于同一个单调区间. (3)函数单调性给出了自变量与函数值之间的互化关系:比如f(x)在定 义域I上是减函数,若x1,x2∈I,则f(x1)>f(x2)⇔x1<x2.
2 x1 2 x2 x1 1 x2 1
3x2 x1 1
x1 x2
1
.
所以x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0,
因此f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(-1,+∞)上为减函数.
第三十页，共48页。
【方法技巧】利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2. (2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方(pèi fāng)、有理 化等手段,转化为易判断正负的式子. (3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号. (4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.
第三十三页，共48页。
【延伸探究】(改变条件(tiáojiàn))本f题a若 将f “b
“(a-b)[f(a)-f(b)]<0”,则函数f(x)的增减a 性b 如何?
【解析】当a>b时,f(a)<f(b);当a<b时,f(a)>f(b),
=因所(为 以x1(f-y(xxīn21))w+-fè(xi4)22x)x<<21xx=01x2(,x即<1x＋11xf-x2(4xx1,所21))以x<2fx(1xx-24x2)2x. 1<xx102x,2x14x. 2>4,x1x2-4>0,
所以函数f(x)=x+ 在(2,+∞)上是增函数.
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【解析( jiě xī)】y=|x2-2x-3|的图象如图所示,
由图象可得其单调递增区间是[-1,1],[3,+∞);递减区间是 (-∞,-1],[1,3].
第二十一页，共48页。
【方法技巧】求函数单调区间(qū jiān)的两种方法 (1)图象法: ①作出函数的图象; ②把函数图象向x轴作正投影; ③上升图象对应增区间(qū jiān),下降图象对应减区间(qū jiān).
第五页，共48页。
2.函数(hánshù)y=-x2的单调递减区间为 ( )
A.(-∞,0]
B.(0,+∞)
C.(-∞,+∞)
D.不存在
【解析】选B.画出函数(hánshù)y=-x2的图象,由图象
可知函数(hánshù)y=-x2的单调递减区间为(0,+∞).
第六页，共48页。
3.若y=(2k-1)x+b是R上的减函数,则有( )
1.3 函数的基本性质(xìngzhì) 1.3.1 单调性与最大(小)值 第1课时 函数的单调性
第一页，共48页。
【知识提炼】 1.增函数(hánshù)与减函数(hánshù)的相关概念
f(x1)<f(x2)
f(x1)>f(x2)
第二页，共48页。
2.函数(hánshù)的单调性及单调区间
区间D
第三十六页，共48页。
【解析】1.因为f(x)在R上是单调递增的函数,所以f(x)需满足在
区间(-∞,1]和(1,+∞)上都是单调递增的,并且(bìngqiě)端点处x=1的
函数值
a
a
-12-a-5≤ 1,即a≥-3;f(x)=-x2-ax-5的对称轴为直线x=- ,且2 在
【解析】f(x)=|x+1|-|2x-4|= x 5, x 1, 3x 3,1 x 2,
画出函数f(x)的图象如图所示,函数5 f(xx, x)的 2.
单调(dāndiào)递减区间是[2,+∞).
第二十四页，共48页。
类型二 函数单调性的判断与证明
【典例】(2015·郑州高一检测(jiǎn cè))判断函数f4(x)=x+ 在(2,+∞)
第三十一页，共48页。
【补偿训练】定义在R上的函数f(x)对任意两个(liǎnɡ ɡè)不相等的实数a,b,
总有
>0,则必有 ( )
f af b
A.函数f(x)先增后减
ab
B.函数f(x)先减后增
C.函数f(x)是R上的增函数
D.函数f(x)是R上的减函数
第三十二页，共48页。
【解析(jiě xī)】选fC.a由 f b >0知,当a>b时,f(a)>f(b);当a<b
第十三页，共48页。
2.对函数单调区间的三点说明
(1)单调区间必须是函数定义域的子集.
(2)若函数f(x)在其定义域内的两个区间A,B上都是增(减)函数,一
般不能简单认为f(x)在A∪B上是增(减)函数.如f(x)= 在(-∞,0)
上是减函数,在(0,+∞)上也是减函数,但不能说它在定义域(-1∞,0)
2.(变换条件、改变问法)将本例中的函数(hánshù)“f(x)4=x+ ”变为 “f(x)= 2 x”,求证函数(hánshù)f(x)在(-1,+∞)上为减x 函数(hánshù).
x 1
第二十九页，共48页。
【证明(zhèngmíng)】任取x1,x2∈(-1,+∞),且x1<x2.
则f(x1)-f(x2)= 因为x2>x1>-1,
意的x>0,y>0,都有f(xy)=f(x)+求f(1),f(4)的值.
(2)求满足f(2)+f(x-3)≤2的x的取值范围.
第三十五页，共48页。
【解题(jiě tí)探究】1.典例1中x>1时对应的函数值f(x)与f(1)的大小关系如何? 提示:f(x)是R上的增函数,所以x>1时f(x)>f(1). 2.典例2中f(2)=1,则2与f(2)什么关系? 提示:2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).
∪(0,+∞)上是减函数.
x
(3)函数的单调区间,在书写时,只要(zhǐyào)在端点处有定义,用开区间或闭
区间都可以,但若在端点处无定义,必须用开区间表示.
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3.常见函数的单调(dāndiào)区间 (1)y=ax+b,a>0时,单调(dāndiào)增区间为(-∞,+∞);a<0时,单调 (dāndiào)减区间为 (-∞,+∞).
A.k>
1
B.k>-
1
C.k< 2
D.k<- 2
【解析1(jiě xī)】选C.若y1=(2k-1)x+b是R上的减函数,则必有2k-1<0,所以k<
2
2
1. 2
第七页，共48页。
4.若函数f(x)在R上是增函数,且f(a)>f(b),则a与b的大小关系是
.
【解析】因为f(x)在R上是增函数,所以(suǒyǐ)当f(a)>f(b)时,有a>b.
(2)y= a ,a>0时,单调(dāndiào)减区间为(-∞,0)和(0,+∞);a<0时,单 x
调(dāndiào)增区间为(-∞,0)和(0,+∞). (3)y=a(x-m)2+n,a>0时,单调(dāndiào)减区间为(-∞,m],单调 (dāndiào)增区间为[m,+∞);a<0时,单调(dāndiào)增区间为(-∞,m], 单调(dāndiào)减区间为[m,+∞).
第二十二页，共48页。
(2)单调性定义法: ①作差,因式分解; ②判断各因式符号; ③如果各因式符号确定,则函数(hánshù)在整个定义域上具有单调性,如果有一个 因式符号不确定,则需确定分界点以确定单调区间.
第二十三页，共48页。
【补偿训练】求函数f(x)=|x+1|-|2x-4|的单调(dāndiào)递减区间.
答案:a>b
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5.如图所示为函数y=f(x),x∈[-4,7]的图象,则函数f(x)的单调(dāndiào)
递增区间是
.
【解析( jiě xī)】结合单调递增函数的概念及单调区间的概念可知,此函 数的单调递增区间是[-4,-2],[4,7]. 答案:[-4,-2],[4,7]
第九页，共48页。
第十五页，共48页。
【题型探究】
类型一 求函数(hánshù)的单调区间问题
【典例】1.函数(hánshù)f(x)= +2的单调递减区间是
.
1
2.画出函数(hánshù)y=-xx2+2|x|+3的图象,并指出函数(hánshù)的单调区间.
第十六页，共48页。
【解题探究】1.典例1中f(x)的定义域是什么? 提示(tíshì):f(x)的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞). 2.典例2中如何处理|x|? 提示(tíshì):按照绝对值的定义去掉绝对值符号,化简函数解析式.
=因(为x10-<x2x1)+<x42x<22=x,所x1＋(1x以1x4-1xx12-x)x22<x042,x01<x2x1x42. <4,x1x2-4<0,
所以f(x1)-f(x2x)1>x02 ,即f(x1)>f(x2)x. 1x2
所以函数f(x)=x+ 在(0,2)上是减函数.
4 x
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上的单调性,并证明.
x
【解题探究】典例中若设x1,x2∈(2,+∞),则x1x2与4的关系如何?
提示:因为x1,x2∈(2,+∞),所以x1x2>4.
第二十五页，共48页。
【解析】函数f(x)在(2,+∞)上是增函数,证明如下: 任取x1,x2∈(2,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=
(2)增、减函数定义中的“任意x1,x2∈D”可否(kě fǒu)改为“存在 x1,x2∈D”? 提示:不能改,如函数f(x)= x2中,虽然f(-1)<f(2),但该函数在定义域上不 是单调函数. (3)函数f(x)在实数集R上是增函数,则f(1)<f(4)成立吗? 提示:成立.由于函数在R上是增函数,且1<4,故f(1)<f(4).
4 x
第二十六页，共48页。
【延伸探究】 1.(变换(biànhuàn)条件、改变问法)将本例中区间“(2,+∞)”改为“(0,2)”, 判断函数f(x)的单调性,并证明.
第二十七页，共48页。
【解析】函数f(x)在(0,2)上是减函数,证明如下(rúxià): 任取x1,x2∈(0,2),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=
【知识探究】 知识点 函数的单调性与单调区间 观察(guānchá)图形,回答下列问题:
第十页，共48页。
问题1:上面(shàng miɑn)四个图象从左到右的变化趋势分别是什么?它 们的变化趋势是否相同? 问题2:能否说f(x)= 在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数?
1 x
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所以函数f(x)是R上的减函数.
>0”变为
第三十四页，共48页。
类型(lèixíng)三 函数单调性的应用
【典例】1.(2015·张家界高一检测)已知函数f(x)=
x2 ax 5, x 1,
是 2.R(上20的15增·广函州数高,一则检a的测取)已值知范函围数是y=f(x)是定. 义在(0,+∞)上的 xa增, x函数1 ,对于任
函 数图xx象如11图22 所44,,示xx.
0， 0.
函数在(-∞,-1],[0,1]上是增函数,
函数在[-1,0],[1,+∞)上是减函数.
所以函数的单调(dāndiào)增区间是(-∞,-1]和[0,1],
单调(dāndiào)减区间是[-1,0]和[1,+∞).
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【延伸探究】(变换条件)将典例2函数(hánshù)变为“y=|x2-2x-3|”, 则其单调区间是什么?
增 函 数 (hánshù) 或 减 函 数 (hánshù)
单调 (dāndiào) 性
第三页，共48页。
【即时(jíshí)小测】 1.思考下列问题: (1)所有的函数在定义域上都具有单调性吗? 提示:并不是所有函数在定义域上都是单调的,如函数f(x)=1,x∈R在定义域上 就不是单调的.
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【解析】1.函数f(x)= +21的图象可由反比 例函数y= 的1 图象向上(xixàngshàng)平移2个单位得到, 作出图象如图x ,结合图象可知单调递减区间
是(-∞,0),(0,+∞). 答案:(-∞,0),(0,+∞)
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2.y=-x2+2|x|+3
【总结提升】 1.对增函数、减函数概念的三点说明 (1)单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域不同区间 内可以(kěyǐ)有不同的单调性,即单调性是函数的一个“局部”性质.
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(2)定义中的x1和x2有如下三个特征: ①任意性:即“任意取x1和x2”中“任意”二字不能去掉,证明时不能以 特殊(tèshū)代替一般; ②有大小之分; ③属于同一个单调区间. (3)函数单调性给出了自变量与函数值之间的互化关系:比如f(x)在定 义域I上是减函数,若x1,x2∈I,则f(x1)>f(x2)⇔x1<x2.
2 x1 2 x2 x1 1 x2 1
3x2 x1 1
x1 x2
1
.
所以x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0,
因此f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(-1,+∞)上为减函数.
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【方法技巧】利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值:设x1,x2是该区间内的任意两个值,且x1<x2. (2)作差变形:作差f(x1)-f(x2),并通过因式分解、通分、配方(pèi fāng)、有理 化等手段,转化为易判断正负的式子. (3)定号:确定f(x1)-f(x2)的符号. (4)结论:根据f(x1)-f(x2)的符号及定义判断单调性.