河南省南阳市镇平县第一高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试题含解析
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河南省南阳市镇平县第一高级中学2019-2020学年高三
数学理模拟试题含解析
一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。
在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的
1. 已知棱长为1的正方体的俯视图是边长为1正方形,则其主视图的面积不可能是
()
A. B. C. 1
D.
参考答案:
B
2. 设变量x,y满足约束条件,则的最大值为()
A.2 B.3 C. D.4
参考答案:
C
3. 下列函数中周期为且为偶函数的是( )
A. B. C. D.
参考答案:
A
略
4. 参考答案:
D
5. ()
A. B. C. D.
参考答案:
A
6. 已知体积为的长方体的八个顶点都在球的球面上,在这个长方体经过同一个顶
点的三
个面中,如果有两个面的面积分别为、,那么球的体积等于()
A. B.
C. D.
参考答案:
A
试题分析:设这两个面的边长分别为,则不妨设,则
,则该长方体的外接球的直径,故球的体积为
,应选A.
考点:球与几何体的外接和体积的计算.
7. 已知函数,若恒成立,则实数a的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
参考答案:
B
略
8. 由曲线,直线所围成封闭的平面图形的面积为
()
A. B. C. D.
参考答案:
B
9. 已知,由不等式可以推出结论:
=
()
A.2n B.3n
C.n2 D.
参考答案:
D
略
10. 设函数y=x sin x+cos x的图象在点(t , f(t))处切线的斜率为k , 则函数k=g(t)的部分图象为(
)
参考答案:
B
y′=sin x+x cos x-sin x=x cos x, ,则k=g(t)=t cos t,是奇函数,故排除A,C;令t=,则k=g(t)=t cos t>0,故排除D,
故选B.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 设A,B分别为椭圆+=1(a>b>0)和双曲线﹣=1的公共顶点,P,M分别为双曲线和椭圆上异于A,B的两动点,且满足+=,其中λ∈R,
|λ|>1,设直线AP,BP,AM,BM的斜率分别为k1,k2,k3,k4且k1+k2=5,则
k3+k4= .
参考答案:
﹣5
考点:椭圆的简单性质.
专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:如图所示,由满足+=,其中λ∈R,|λ|>1,利用向量的平行四边形法则可得:O,M,P三点共线.设P(x1,y1),M(x2,y2),=k≠0.分
别利用点在双曲线与椭圆上可得=,=﹣.k1+k2=5,利用斜率计算公式可得5=.再利用向量计算公式即可得出k3+k4.
解答:解:如图所示,
∵满足+=,其中λ∈R,|λ|>1,
∴﹣2=λ?(﹣2),
∴O,M,P三点共线.
设P(x1,y1),M(x2,y2),=k≠0.
则﹣=1,+=1,
∴=,=﹣,
∵k1+k2=5,
∴5=+===.
∴k3+k4===﹣=﹣5.
故答案为:﹣5.
点评:本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、向量的平行四边形法则、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.
12. 已知,,则的值为.
参考答案:
因为所以。
13. 已知的导函数为.若,且当时,
,则不等式的解集是 .
参考答案:
令,则由,可得,故为偶函数,又当时,即,所以在上为增函数.不等式
可化为,所以有,解得. 14. 一个几何体的三视图如图所示,其中主视图、俯视图与左视图均是半径为2的圆,则这个几何体的表面积是.
参考答案:
17π
【考点】由三视图求面积、体积.
【专题】计算题;空间位置关系与距离.
【分析】几何体是球体切去后余下的部分,球的半径为2,代入球的表面积公式可得答案.
【解答】解:由三视图知:几何体是球体切去后余下的部分,
∵球的半径为2,∴几何体的表面积S=(1﹣)×4π×22+π×22=17π.
故答案为:17π.
【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,判断几何体的形状是解答此类问题的关键.
15. 在三棱锥P-ABC中,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为
参考答案:
5π
16. 如图,已知内接于圆O,点在的延长
线上,是⊙O的切线,若,,则的长为 .
参考答案:
6
17. 过双曲线的一个焦点F作它的一条渐近线的垂线FM,垂足为M并且交轴于E,若M为EF中点,则=___________.
参考答案:
答案:1
三、解答题:本大题共5小题,共72分。
解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
18. (本题满分14分)在平面直角坐标系xoy中,已知曲线C1上的任一点到点(1,0)的
距离与到直线的距离之比为,动点Q是动圆C2:上一点.
(1)求曲线C1的轨迹方程;
(2)若点P为曲线C1上的点,直线PQ与曲线C1和动圆C2均只有一个公共点,求P、Q两点的距离|PQ|的最大值.
参考答案:
(1)设,依题意得化简方程得.……3分
(2)依题意可知直线PQ显然有斜率,设其方程为设、,…………………………………………………………………4分
由于直线PQ与曲线C1相切,点P为切点,从而有
得,故…………6分
从而可得,…………………………………………8分
又直线PQ与圆C2相切,则……………………9分
由(1)、(2)得, (10)
分
并且
即,当且仅当时取等号, (13)
分
故P、Q两点的距离|PQ|的最大值………………………………………………14分19. 某校从参加高一年级期末考试的学生中抽
出60名学生,将其成绩(均为整数)分成六
段,…后画出如下部分
频率分布直方图.观察图形的信息,回答下列
问题:
(Ⅰ)求第四小组的频率,并补全这个频率分
布直方图;
(Ⅱ)估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)和
平均分;
(Ⅲ) 从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人,
求他们在同一分数段的概率.
参考答案:
解析:(Ⅰ)因为各组的频率和等于1,故第四组的频率:
直方图如右所示
(Ⅱ)依题意,60及以上的分数所在的第三、四、五、六组,
频率和为
所以,抽样学生成绩的合格率是%
利用组中值估算抽样学生的平均分
==71
估计这次考试的平均分是71分
(Ⅲ),,”的人数是18,15,3。
所以从成绩是70分以上(包括70分)的学生中选两人,他们在同一分数段的概率。
20. 已知函数
(1)若实数求函数在上的极值;
(2)记函数,设函数的图像与轴交于点,曲线在点
处的切线与两坐标轴所围成图形的面积为则当时,求的最小值.
参考答案:
解:(1)
当时,由
若,则,所以恒成立,
所以单调递增,无极值。
若,则单调递减;
单调递增。
所以有极小值。
(2)=
令得,即
点处切线斜率:
点处切线方程:
令得,令得
所以
令
当且仅当
略
21. (本小题满分12分)
已知等差数列的前项和为,且成等比数列,. (Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)求的前项和取得最小值时的的值.
参考答案:
(I),…………2分
又成等比数列,故,…………3分
由,则,,故,.…………5分(II)由(I)可知,,,
则是以为首项,1为公差的等差数列,…………7分
其前项和,…………8分
因为,故取得最小值时的或.…………10分
22. 在中,角所对的边为,且满足
(1)求角的值;
(2)若且,求的取值范围.
参考答案:
解:(1)由已知得
,----------4分
化简得,故.----------6分
(2)由正弦定理,得,
故
----------8分因为,所以,,----------10分
所以. ----------12分
略。