广东省汕头市金山中学高三数学上学期摸底考试试题 理

汕头市金山中学2016-2017学年度第一学期摸底考试
高三理科数学试题卷
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟.
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合()
{}()
{}
,|1,,|42
A x y y x
B x y y x
==+==-，则A B=（）
A．()
{}
1,2 B．()
1,2 C．{}
1,2 D．()()
{}
1,2,1,2
--
2．如果复数
2
12
bi
i
-
+
（其中i为虚数单位，b为实数）的实部和虚部互为相反数，那么b等于（）A．6
- B．
2
3
- C．
2
3
D．2
3．已知命题p：在ABC
∆中，若BC
AB<，则A
C sin
sin<；命题q：已知R
a∈，
则“1
>
a”是“1
1
<
a
”的必要不充分条件。

在命题q
p
q
p
q
p
q
p∧
⌝
∨
⌝
∨
∧)
(,
)
(,
,
中，真命题个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．执行如图所示程序框图，若输出的结果为2，则输入的正整数a的可能取值集合是（）A．{}
1,2,3,4,5 B．{}
1,2,3,4,5,6 C．{}
2,3,4,5 D．{}
2,3,4,5,6
5．已知数列{}{}
,
n n
a b，满足
11
3
a b
==，1
1
3,
n
n n
n
b
a a n N
b
*
+
+
-==∈，若数列{}
n
c满
足
n
n a
c b
=，则
2017
c=（）
A．2016
9B．2016
27C．2017
9D．2017
27
6．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是2，则正（主）视图的面积等于（）
A．2 B．
9
2
C．
3
2
D．3
7．已知b
a,为同一平面内的两个向量，且2,1(=
=，若2
+与
b
a-
2垂直，则a与b的夹角为（）
第4题图
A ．0
B ．
4π C ．3
2π D ．π 8．已知函数()2cos2g x x =，若在区间[]0,π上随机取一个数x ，则事件“(
)g x ≥率为（ ） A ．
1
4
B ．
13
C ．
16
D ．
23
9．某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ）种
A ．18
B ．24
C ．36
D ．72
10．已知()f x 是定义在R 上的增函数，函数()1y f x =-的图象关于点()1,0对称，若对任意的
,x y R ∈，等式(
)30f y f
-+=恒成立，则
y
x
的取值范围是（ ） A
．2⎡⎢⎣⎦ B
．2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C
．1,2⎡⎢⎣
⎦ D ．[]1,3
11．已知点A 是抛物线()2
:20M y px p =>与圆()2
22:4C x y a +-=在第一象限的公共点，且点A 到抛物线M 焦点F 的距离为a ，
若抛物线M 上一动点到其准线的距离与到圆心C 的距离之和的最小值为2a ，O 为坐标原点，则直线OA 被圆C 所截得的弦长为（ ） A ．2
B
． C
．
3 D
．6
12．若过点(),P a a 与曲线()ln f x x x =相切的直线有两条，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(),e -∞
B ．(),e +∞
C ．10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．()1,+∞
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．求值
4
21x dx x ⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
⎰= ． 14
．如果3n
x ⎛⎫ ⎝
的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31
x 的系数是 。

（用数字作答）
15．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C
ABCD 外接球表面积为 。

16．已知正数,a b 满足534,ln a b a b a -≤≤-≥，则
b
a
的取值范围是 ． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分） 凸四边形
中，其中
为定点，AB =
,P Q 为动点，满足1AP PQ QB ===。

（Ⅰ）写出cos A 与cos Q 的关系式；
（Ⅱ）设APB ∆ 和PQB ∆的面积分别为S 和T ，求22S T +的最大值，及此时凸四边形PABQ 的面积．
18．（本小题满分12分）
某校为调查高中生选修课的选修倾向与性别的关系，随机抽取50名学生，得到下面的数据表：
（Ⅰ）根据表中提供的数据，选择可直观判断“选课倾向与性别有关系”的两种，作为选修倾向变量的取值，并分析哪两种选择倾向与性别有关系的把握最大；
（Ⅱ）在抽取的50名学生中，按照分层抽样的方法，从倾向“几何证明选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的学生中抽取8人进行问卷，若从这8人中任选3人，记倾向“几何证明选讲”的人数减去倾向“坐标系与参数方程”人数的差为ξ，求ξ的分布列及数学期望。

附：
22
()(
)()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++
19．（本小题满分12分）
已知三棱柱在111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为正方形, 延长AB 到D ,使
得
A B B =,平面
11AA C C ⊥
平面
11
ABB A
，
1111111,4
AC A C A A π
=∠=。

（Ⅰ）若,E F 分别为11,C B AC 的中点, 求证：EF 平面11ABB A ； （Ⅱ）求平面111A B C 与平面1CB D 所成的锐二面角的余弦值.
20．（本小题满分12分）
已知圆22
:4O x y +=
，点F ，以线段MF 为直径的圆内切于圆O ，记点M 的轨迹为C 。

（Ⅰ）求曲线C 的方程；
（Ⅱ）若过F 的直线l 与曲线C 交于,A B 两点，问：在x 轴上是否存在点N ，使得NA NB ∙为定值？若存在，求出点N 坐标；若不存在，说明理由。

21．（本小题满分12分）
已知函数()1tx
x
f x xe e =-+，其中,t R e ∈是自然对数的底数．
（Ⅰ）若方程()1f x =无实数根，求实数t 的取值范围；
（Ⅱ）若函数()y f x =在()0,+∞内为减函数，求实数t 的取值范围。

选做题：请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲 如图，AB 是O 的直径，,C F 是O 上的两点，OC AB ⊥，过点F
作
O 的切线FD 交AB 的延长线于点D ．连接CF 交AB 于点E ．
（Ⅰ）求证：2DE DB DA =⋅；
（Ⅱ）若2,4DB DF ==，试求CE 的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程
为
第19题图
第22题图
12sin cos ρθθρ⎛⎫=++ ⎪⎝
⎭。

（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程；
（Ⅱ）在曲线C 上任取一点P ，过点P 作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为B A ,，求矩形OAPB 的面积的最大值。

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知函数()1f x x a x =-++。

（Ⅰ）若2a =，求函数()f x 的最小值；
（Ⅱ）如果关于x 的不等式()2f x <的解集不是空集，求实数a 的取值范围。

2017届高三理科数学摸底考试 参考答案
13．ln 26+； 14．21； 15．7π； 16．[],7e
17．解：（Ⅰ）在中,由余弦定理得：
，在
中,
由
余
弦
定
理
得
：
，
∴
……………………6分
（Ⅱ）根据题意得：
∴
cos 1Q A =-)
2
2
2
2231133
sin 1cos 444
224
S T A A A A ∴+=+-
-=-++，
当时,, 此时,所以
.
所以。

……………………………………………………………………
12分 18．
（Ⅱ）倾向“平面几何选讲”与倾向“坐标系与参数方程”的人数比例为20:125:3=，所以抽取的8人中倾向“平面几何选讲”的人数为5，倾向“坐标系与参数方程”的人数为3。

依题意，得3,1,1,3ξ=--，33381(3)56C P C ξ=-==，12
533
815
(1)56C C P C ξ=-==， 21
533830
(1)56
C C P C ξ===
，3
53810
(3)56
C P C ξ===
，
…………………
…………………………………………9分 故ξ的分布列如下：
所
以
13
(
5
6
E ξ=-
.………………………………………………………12分
19．解：（Ⅰ）取11A C 的中点G ,连接,FG EG ,在111A B C ∆中，EG 为中位线，11,GE A B GE ∴⊄
平面1111,A B B A A B ⊂平面11,ABB A GE
∴平面11ABB A ,同理可得GF
平面11ABB A ，又
GF
GE G =，所以平面GEF
平面11ABB A ，
EF ⊂平面,G E F
E F
∴平面
11ABB A ；…………………………………6分
（Ⅱ）连接1AC ，在11AA C ∆中
,11111,4
C A A AC π
∠=
=
, 所以由余弦定理得2222
11111111112cos AC AA A C AA A C AA C AA =+-⨯∠=,1111
,AA AC A AC ∴=∆是等腰直角三角形,11AC AA ⊥ , 又因为平面11AA C C ⊥平面11ABB A ,平面
11AAC C 平面1111,A B B A A
A C A =∴⊥平面11AB
B A ,AB ⊂平面
11ABB A ,1AC AB ∴⊥,又因为侧面11ABB A 为正方形,1AA AB ∴⊥,
分别以11,,AB A AC A 所在直线作为x 轴, y 轴,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 设
1AB =, 则
()()()()()()1110,0,0,1,0,0,1,1,0,0,0,1,1,0,1,0,2,0A A B C C D - ()()()()111112,1,1,1,2,1,1
,0,1,,0,1,0CB CD AC A B ∴=-=-=-=, 设平面111A B C 的一个法向量为()111,,m x y z =,则11110,0m AC m A B ==,即1110
x z y -+=⎧⎨
=⎩,令
11x =,则110,1y z ==,故()1,0,1m =为平面111A B C 的一个法向量, 设平面1CB D 的一个法向量为
()222,,n x y z =,则10,0n CB n CD ==,即22222220
20
x y z x y z +-=⎧⎨
+-=⎩,令21x =,则221,3y z ==,故()1,1,3n =为平面1CB D 的一个法向量,
所以cos ,112m n m n m n <>=
==
⨯⨯
, 平
面
11A B C 与平面1C B
D 所成的锐二面角的余弦值为
11。

……………………………………………………………………………………………12分 20．解析：（Ⅰ）设AB 的中点为M ，切点为N ，连,OM MN ，则2OM MN ON +==， 取A 关于y 轴的对称点'A ，连'A B
，故()
'
24A B AB OM MN +=+= 所以点B 的轨迹是以'
,A A 为焦点，长轴长为4
的椭圆，其中2,1a c b ===，
则
曲
线
C
的
方
程
为
2
214
x y +=；………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）假设存在满足条件的点(),0N t ，
当直线AB 斜率不为0时，可设直线AB
为x my =+()()1122,,,A x y B x y
将x my =C 得(
)22410m y ++-=
显然0∆>
，且1212221,44y y y y m m --+==++
，2
121222
124,44m x x x x m m -+==++
所以()()()21212121212NA NB x t x t y y x x t x x t y y ∙=--+=-+++
()
2
2222
222222
411124111444444m m m t t t m m m m m
+-----=-++=+=-++++++ 要使NA NB ∙
4=
，得t =，
此时N ⎫⎪⎪⎝⎭
，NA NB ∙为定值13
64-． 当直线AB 斜率为0时，NA NB ∙＝13
64-．
故存在点8N ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
满足题设. ……………………12分
21．解：（Ⅰ）由()1f x =，可得()10x t x e -=>，∴原方程无负实数根，故有ln 1x
t x
=-． 令()ln x g x x =
，则()'
2
1ln x g x x
-=,∴当0x e <<，()'0g x >；x e >，()'0g x <， ∴ 函数()g x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减.
∴ 函数()g x 的最大值为()1g e e =，∴函数()g x 的值域为1,e ⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦； 方程()1f x =无实数根，等价于11,t e
⎛⎤-∉-∞ ⎥⎝
⎦，∴11t e ->
，∴11t e
<-， ∴当
1
1t e
<-
时，方程
()1
f x =无实数
根； …………………………………………………………………6分 （Ⅱ）()()1'
1x t tx f
x e tx e -⎡⎤=+-⎣⎦
由题设，(
)'0,0x f x
>≤，不妨取1x =，则
()'1110t t f e t e -⎡⎤=+-≤⎣⎦，1t ≥时，11,12t
e t -≤+≤不成立，∴1t <．
①1,02t x ≤>时，()()1'22112x x x t tx
x f x e tx e e e -⎛⎫⎡⎤=+-≤+- ⎪⎣⎦⎝⎭，由（Ⅰ）知，10x x e -+<，∴2102
x
x e +-<，∴()'
0f x <，∴函数()y f x =是()0,+∞内的减函数；
②
111,1,ln 02111t t t t t t
<<>∴>--- 令()()
11x t h x tx e
-=+-，则()00h =，()()()1'
11x t t h x t e t -⎡⎤
=--⎢
⎥-⎣⎦
， 当10ln 11t x t t <<
--时，()'
0h x >，∴()h x 在10,ln 11t t t ⎛⎫ ⎪--⎝⎭上单调递增，∴()()00h x h >=，
此时，()'
0f
x >，∴()f x 在1
0,ln 11t
t t
⎛⎫
⎪--⎝
⎭
上单调递增，有()()00f x f >=与题设矛盾。

综上，当1
2
t ≤时，函数()f x 是()0,+∞内的减函数．………………………………………………12分
22．解：（Ⅰ）证明：连接OF ．因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD=90°．所以∠OFC +∠CFD=90°． 因为OC=OF ，所以∠OCF=∠OFC．
因为CO⊥AB 于O ，所以∠OCF+∠CEO=90°．所以∠CFD=∠C EO =∠DEF，所以DF=DE ． 因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2
=DB•DA．
所以DE 2=DB•DA．………………………………………………………………………………………………5分
（Ⅱ）解：∵DF 2
=DB•DA，DB=2，DF=4．∴DA=8，从而AB=6，则OC=3．又由（Ⅰ）可知，DE=DF=4，∴BE=2
，
OE=1
．
从
而
在
Rt△COE
中
，
CE =………………………………………………10分
23．解：（Ⅰ）由）ρ
θθρ1cos (sin 2+
+=得）1cos sin (22++=θρθρρ，所以2222
2++=+y x y x ，即4)1()1(2
2
=-+-y x ，故曲线C 的参数方程⎩
⎨⎧+=+=θθ
sin 21cos 21y x （θ为参数）；…………………………
5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可设点P 的坐标为
)20[,sin 21cos 21πθθθ，），（∈++，则矩形OAPB 的面积为 |cos sin 4cos 2sin 21||sin 21)(cos 21|））（θθθθθθ+++=++=S
- 11 - 令]2,2[)4sin(2cos sin -∈+=+=π
θθθt ，θθcos sin 212+=t ，
|2
3)21(2||2221|22-+=-++=t t t S ，故当2=t 时，223max +=S 。

……………………………10分
24．解：（Ⅰ）当2a =时, 知()()()21213f x x x x x =-++≥--+=,当()()210x x -+≤,即12x -≤≤时取等号,()f x ∴ 的最小值是3.…………………………………………………………………5分
（Ⅱ）()()()111f x x a x x a x a =-++≥--+=+,当()()10x a x -+≤时取等号。

∴若关于x 的不等式()2f x <的解集不是空集, 只需12a +<,解得31a -<<,即实数a 的取值范围是
()3,-。

………………………………………………………………………………………………………
…10分。