高中数学第二章参数方程复习课学案新人教A版选修4-4(2021年整理)

2018-2019学年高中数学第二章参数方程复习课学案新人教A版选修4-4 编辑整理：
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第二章参数方程
复习课
[整合·网络构建]
［警示·易错提醒］
1．参数方程化为普通方程的易错点
将参数方程化为普通方程时，很容易改变变量的取值范围,从而使得两种方程所表示的曲线不一致．
2．圆锥曲线中的三点注意事项
（1）注意不要将椭圆方程中的参数的几何意义与圆的方程中的参数的几何意义相混淆．（2)把圆锥曲线的参数方程化为普通方程时注意变量x（或y)的变化．
（3）利用参数方程的参数求轨迹方程时，注意参数的特殊取值．
3．关注直线参数方程中参数t具有几何意义的前提条件
t具有几何意义的前提条件是直线参数方程为标准形式．
4．圆的渐开线和摆线的两个易错点
(1）对圆的渐开线和摆线的概念理解不透导致错误．
(2）弄不清圆的渐开线和摆线的参数方程导致错误。

专题一求曲线的参数方程
用参数方程求动点的轨迹方程,其基本思想是选取适当的参数作为中间变量，使动点横、纵坐标分别与参数有关,从而得到动点的参数方程，然后再消去参数，化为普通方程．如果动点轨迹与直线、圆、圆锥曲线等有关，那么通常取直线、圆、圆锥曲线的参数方程中的参数作为中间变量．
［例1］过点P(－2，0)作直线l与圆x2＋y2＝1交于A、B两点，设A、B的中点为M，求M的轨迹的参数方程．
解：设M（x，y)，A(x1,y1），B（x2，y2)，直线l的方程为x＝ty－2。

由错误!消去x得(1＋t2)y2－4ty＋3＝0。

所以y1＋y2＝错误!，得y＝错误!.
x＝ty－2＝错误!－2＝错误!,
由Δ＝（4t)2－12(1＋t2）〉0，得t2>3.
所以M的轨迹的参数方程为错误!(t为参数且t2〉3)．
归纳升华
求曲线参数方程的五步
1．建立适当的直角坐标系,设曲线上任一点M的坐标；
2．写出适合条件的点M的集合；
3．选择适当的参数，用参数及坐标表示集合，列出方程;
4．将方程化为最简形式；
5．证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
注意：最后一步可以省略，但一定要注意所求的方程所表示的点是否都在曲线上,要注意那些特殊的点．
［变式训练] 以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，已知点P的直角坐标为（1，－5），点C的极坐标为错误!,若直线l过点P，且倾斜角为错误!，圆C的半径为4。

（1）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程．
(2)试判断直线l与圆C的位置关系．
解：(1）直线l的参数方程为
错误!（t为参数），
即错误!(t为参数）．
由题知C点的直角坐标为（0，4），圆C的半径为4,
所以圆C的方程为x2＋(y－4)2＝16，
将错误!代入，得圆C的极坐标方程为ρ＝8sin θ.
(2)由题意得,直线l的普通方程为3x－y－5－错误!＝0，
圆心C到l的距离为d＝错误!＝错误!>4,
所以直线l与圆C相离．
专题二参数方程及其应用
(1)求直线的参数方程，根据参数方程参数的几何意义,求直线上两点间的距离，求直线的倾斜角，判断两直线的位置关系；根据已知条件求圆的参数方程,根据圆的参数方程解决与圆有关的最值、位置关系等问题．
（2）能根据条件求椭圆、双曲线、抛物线的参数方程,并利用圆锥曲线的参数方程解最值、直线与圆锥曲线的位置关系等问题．
［例2］已知曲线C1：错误!（θ为参数)，曲线C2：错误!（t为参数）．
（1）若α＝错误!，求曲线C2的普通方程，并说明它表示什么曲线；
(2）曲线C1和曲线C2的交点分别记为M，N，求|MN｜的最小值．
解：(1)因为α＝错误!,所以错误!(t为参数），
所以x－1＝y＋1，
所以曲线C2的普通方程是y＝x－2，它表示过点（1,－1),倾斜角为错误!的直线．
（2）曲线C1的普通方程为x2＋y2＝4，
将错误!(t为参数）代入x2＋y2＝4中得（1＋t cos α)2＋（－1＋t cos α)2＝4，
所以t2＋2（cos α－sin α)t－2＝0，
设t1，t2为方程的两个根，则有
|MN|＝｜t1－t2｜＝错误!＝
错误!＝错误!，
所以当sin 2α＝1时，｜MN｜的最小值为2错误!。

归纳升华
1．曲线的参数方程化为普通方程的基本方法是消参,可以通过加减消参法、平方消参法等进行，解题中要注意参数方程与普通方程的等价性．
2．把曲线的参数方程化为普通方程，可把要解决的问题转化为我们熟悉的问题加以解决,是解决参数方程问题的一个重要指导思想．
3．求圆锥曲线或圆上的点到某点或者某条直线的距离的最值时,使用参数方程可以把问题化为求三角函数的最值问题．
4．直线的参数方程的应用非常广泛，可用来解决直线与圆锥曲线的位置关系问题．在解决这类问题时，利用直线参数方程中参数t的几何意义,可以避免通过解方程组求交点坐标等烦琐运算,使问题得到简化．直线的参数方程有多种形式，但只有标准形式才具有明确的几何意义．
[变式训练］直线l过点P0（－4，0)，它的参数方程为错误!（t为参数），与圆x2＋y2＝7相交于A，B两点．
(1）求弦长|AB|；
(2)过P0作圆的切线，求切线长．
解：将直线l的参数方程代入圆的方程，
得错误!错误!＋错误!错误!＝7，
整理得t2－4错误!t＋9＝0.
(1）设A和B两点对应的参数分别为t1和t2，
由根与系数的关系得t1＋t2＝4错误!,t1·t2＝9.
故｜AB|＝｜t2－t1|＝(t1＋t2)2－4t1t2＝2错误!。

（2）设圆过P0的切线为P0T，T在圆上，
则｜P0T｜2＝|P0A|·|P0B｜＝｜t1t2|＝9，
所以切线长|P0T｜＝3。

专题三极坐标方程与参数方程的综合应用
把极坐标方程与参数方程综合起来考查的频率较高，常考查极坐标方程、参数方程、普通方程的相互转化．一般是将所给的方程化为较熟悉的普通方程，然后根据曲线性质去解决问题．在高考中选择题、填空题和解答题都有可能出现．
[例3] 已知直线l：错误!（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.
(1）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2）设点M的直角坐标为(5，错误!)，直线l与曲线C的交点为A,B,求｜MA|·｜MB|的值．解:（1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.
将ρ2＝x2＋y2，ρcos θ＝x代入ρ2＝2ρcos θ即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.
（2)将错误!(t为参数)代入x2＋y2－2x＝0，
得t2＋5错误!t＋18＝0。

设这个方程的两个实根分别为t1,t2，则由参数t的几何意义即知，|MA|·｜MB|＝|t1t2｜＝18。

归纳升华
1．先把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，曲线的参数方程化为普通方程,然后使用熟悉的解析几何知识解决问题，再根据题目的要求进行变换来求解结果,最后得出符合题目要求的结论．
2．参数方程中一个确定的参数值对应着曲线上一个确定的点，在由参数方程求曲线交点坐标时，也可以先通过方程组求出参数值，再根据参数值得出交点坐标．
3．解题时如果涉及求直线被曲线截得的线段的长度或者直线上的点与曲线交点之间线段长度的和、乘积等问题时,可以利用直线的参数方程中参数的几何意义加以解决．[变式训练］（2017·全国卷Ⅲ）在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为｛x＝2＋t，，y＝kt(t为参数)，直线l
的参数方程为错误!（m为参数）．设l1与l2的交点为
2
P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
（1）写出C的普通方程；
（2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3:ρ(cos θ＋sin θ）－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
解：(1)直线l1的普通方程为y＝k（x－2），
直线l2的普通方程为x＝－2＋ky，消去k得x2－y2＝4(y≠0），即C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0)．
（2）l3化为普通方程为x＋y＝错误!.
联立错误!得错误!
所以ρ2＝x2＋y2＝错误!＋错误!＝5.
所以l3与C的交点M的极径为错误!.
专题四数形结合思想
数形结合思想是数学中重要的思想之一，利用数形结合思想解题具有直观性、灵活性、深刻性的特点，并跨越各知识点的界线,有较强的综合性．加强这方面的学习和训练是打好基础、巩固知识、提高能力的一个重要环节．
［例4] 已知抛物线的参数方程为错误!(t为参数）,其中p>0，焦点为F，准线为l。

过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF｜＝｜MF｜，点M的横坐标是3，则p＝________．解析：将错误!(t为参数)消参得y2＝2px，则抛物线的焦点为F错误!，准线为直线x＝－错误!.
将x＝3代入y2＝2px得y＝±错误!。

如图,不妨令M的坐标为(3,错误!）,所以E错误!.
因为｜EF|＝｜MF｜，所以错误!＝
错误!，
化简得p2＋4p－12＝0，因为p>0，所以p＝2。

答案：2
归纳升华
1．化参数方程为普通方程，由几何性质确定抛物线的焦点与准线方程．
2．根据两点距离的定义，得关于p的方程，从而求得p值,再结合抛物线的图象，确定p 的范围，体现了转化与数形结合思想的应用．
[变式训练] 在直角坐标系xOy中，椭圆C的参数方程为错误!(θ为参数，a＞b＞0)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为ρsin错误!＝错误!m(m为非零常数)与ρ＝b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为________．
解析：椭圆的标准方程为错误!＋错误!＝1(a＞b＞0），由ρsin错误!＝错误!m得错误!（ρsin θ＋ρcos θ)＝错误!m，即直线方程为x＋y－m＝0.由ρ＝b,得ρ2＝b2，即x2＋y2＝b2，所以圆的标准方程为x2＋y2＝b2。

因为直线x＋y－m＝0过椭圆的焦点，代入得m＝±c，直线x＋y －m＝0与圆x2＋y2＝b2相切，则错误!＝b，即｜m｜＝错误!b.所以c＝错误!b，解得a＝错误!·b，所以离心率e＝错误!＝错误!＝错误!。

答案:错误!。