江苏省射阳中学2015届高三上学期期初考试(数学理)

2014/2015学年度高三年级第一学期期初考试
数学（理工方向）试题
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分） 1．在复平面内，复数
12i
i
+-（其中i 为虚数单位）对应的点位于第 ▲ 象限． 2．已知集合{},0M a =，{}
2
230,N x x x x =-<∈Z ，如果M N ≠∅I ，则a = ▲ ．
3．已知)0,2
(π
α-
∈，53cos =
α，则=+)4
tan(π
α ▲ ． 4．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k = ▲ ． 5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列正确命题的序号是 ▲ ．
① 若 n m //，β⊥m ， 则 β⊥n ； ② 若n m //，β//m ， 则
β//n ； ③ 若α//m ，β//m ，则βα//； ④ 若α⊥n ，β⊥n ，则βα⊥． 6．根据如图所示的伪代码，最后输出的S 的值为 ▲ ．
7．已知正方形ABCD 的边长为1，若点E 是AB 边上的动点，则DC DE ⋅的最大值为 ▲ ． 8．已知Ω＝{(,)|6,0,0}x y x y x y +<>>，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =<>->，若向区域Ω上随机投掷一点P ，则点P 落入区域A 的概率为 ▲ ． 9．函数)2
||,0,0)(sin()(π
φωφω<
>>+=A x A x f 的
部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6
π
个 单位后，得到的图像解析式为 ▲ ．
10．已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1
sin sin 3
x y =
，则x y -= ▲ ． 11．求“方程34()()155x x +=的解”有如下解题思路：设34()()()55
x x
f x =+，则()f x 在R 上单调递减，
且(2)1f =，所以原方程有唯一解2x =．类比上述解题思路，方程6
2
3
(2)2x x x x +=+++的解集为
▲ ．
12．已知实数0p >，直线3420x y p -+=与抛物线2
2x py =和圆2
2
2()24
p p x y +-=从左到右的交点
依次为,A B C D 、、、则
AB
CD
的值为 ▲ ． 13．设函数22(0)
()log (0)
x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，函数[()]1y f f x =-的零点个数为 ▲ ．
14．设实数12345,,,,x x x x x 均不小于1，且12345729x x x x x ⋅⋅⋅⋅=，则1223max{,,x x x x 3445,}x x x x 的最小值是 ▲ ．（max{,,,}a b c d 是指a 、b 、c 、d 四个数中最大的一个）
二、解答题：（本大题共6小题，计90分） 15．（本小题满分14分）
在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2cos
sin()22
A A
f A π=- 2
2sin cos 22
A A
+-． （Ⅰ）求函数()f A 的最大值； （Ⅱ）若()0f A =，512
C π
=
，6a =b 的值． 16．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，侧棱PA 丄底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE ．
（I ）若F 为PE 的中点，求证BF ∥平面ACE ； （II ）求三棱锥P ﹣ACE 的体积． 17．（本小题满分15分）
某商场在店庆一周年开展“购物折上折活动”：商场内所有商品按标价的八折出售，折后价格每满500元再减100元．如某商品标价为1500元，则购买该商品的实际付款额为1500×0.8-200=1000（元）．设购
买某商品得到的实际折扣率＝商品的标价
实际付款额
．设某商品标价为x 元，购买该商品得到的实际折扣率为y ．
（Ⅰ）写出当x ∈(]1000,0时，y 关于x 的函数解析式，并求出购买标价为1000元商品得到的实际折扣率； （Ⅱ）对于标价在［2500,3500］的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到的实际折扣率低于3
2？
18．（本小题满分15分）
如图，已知椭圆14:22
=+y x C 的上、下顶点分别为B A 、，点P 在椭圆上，且异于点B A 、，直线
BP AP 、与直线2:-=y l 分别交于点N M 、，
（Ⅰ）设直线BP AP 、的斜率分别为1k 、2k ，求证：21k k ⋅为定值； （Ⅱ）求线段MN 的长的最小值；
（Ⅲ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．
19．（本小题满分16分）
已知a ，b 是实数，函数3()f x x ax =+，2
()g x x bx =+，/
()f x 和/
()g x 分别是()f x ，()g x 的导
函数，若//
()()0f x g x ≥在区间I 上恒成立，则称()f x 和()g x 在区间I 上单调性一致． （Ⅰ）设0a >，若函数()f x 和()g x 在区间[1,)-+∞上单调性一致，求实数b 的取值范围；
（Ⅱ）设0a <且a b ≠，若函数()f x 和()g x 在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求||a b -的最大值． 20．（本小题满分16分）
已知各项均为正数的两个无穷数列{}n a 、{}n b 满足*
1112()n n n n n a b a b na n N ++++=∈．
（Ⅰ）当数列{}n a 是常数列（各项都相等的数列），且11
2
b =
时，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）设{}n a 、{}n b 都是公差不为0的等差数列，求证：数列{}n a 有无穷多个，而数列{}n b 惟一确定；
（Ⅲ）设2*
12()1n n n n a a a n N a ++=∈+，21
n
n i i S b ==∑，求证：226n S n <<．
P
数学附加题
1．（本小题满分10分） 求2
6
1()x x
+展开式中的常数项．
2．（本小题满分10分）
某舞蹈小组有2名男生和3名女生．现从中任选2人参加表演，记X 为选取女生的人数，求X 的分布列及数学期望． 3．（本小题满分10分） 如图（1），等腰直角三角形ABC 的底边AB=4，点D 在线段AC 上，DE ⊥AB 于E ，现将△ADE 沿DE 折起到△PDE 的位置（如图（2））． （Ⅰ）求证：PB ⊥DE ；
（Ⅱ）若PE ⊥BE ，直线PD 与平面PBC 所成的角为30°，求PE
长．
4．（本小题满分10分）
数列{21}n
-的前n 项组成集合*{1,3,7,,21}()n n A n N =⋅⋅⋅-∈，从集合n A 中任取k （1k =，2，3，…，
n ）个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身）
，记12n n S T T T =++⋅⋅⋅+．例如：当1n =时，A 1={1}，T 1=1，S 1=1；当n=2时，A 2={1，3}，T 1=1+3，T 2=1×3，
S 2=1+3+1×3=7． （Ⅰ）求3S ；
（Ⅱ）猜想n S ，并用数学归纳法证明．
高三数学开学检测参考答案 2014.8
1．一 2．1 3．71- 4．6 5．① 6．145 7．1 8．2
9 9．)6
2sin(π-=x y
10．3
π
11．{﹣1，2} 12．116 13．2 14．9
15．（Ⅰ）
=
．
因为0＜A ＜π，所以．
则所以当，即
时，f （A ）取得最大值，且最大值为
． （Ⅱ）由题意知，所以． 又知
，所以，则
．因为
，所以
，则
．
由得，．
16．（I ）若F 为PE 的中点，由于底面ABCD 为矩形，E 为PD 上一点，AD=2AB=2AP=2，PE=2DE ，故E 、F 都是线段PD 的三等分点．
设AC 与BD 的交点为O ，则OE 是△BDF 的中位线，故有BF ∥OE ，而OE 在平面ACE 内，BF 不在平面ACE 内，故BF ∥平面ACE ．
（II ）由于侧棱PA 丄底面ABCD ，且ABCD 为矩形，故有CD ⊥PA ，CD ⊥AD ，故CD ⊥平面PAE ． 三棱锥P ﹣ACE 的体积V P ﹣ACE =V C ﹣PAE =S △PAE •CD=•（•S △PAD ）•AB=（••PA•PD ）
•AB=•PA•PD•AB=•1•2•1=．
17．（Ⅰ）∵500÷0.8＝625 ∴⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤-<<=.
1000625,100
8.0,6250,8.0x x x x y
当x ＝1000时，y ＝
1000
100
10008.0-⨯＝0.7
即购买标价为1000元的商品得到的实际折扣率为0.7． （Ⅱ）当x ∈［2500,3500］时，0.8x ∈［2000,2800］ ①当0.8x ∈[)2500,2000即x ∈[)3125,2500时，3
2
4008.0<-x x 解得x <3000 ∴2500≤x <3000; …10分
②当0.8x ∈[]2800,2500即x ∈[]3500,3125时，3
2
5008.0<-x x 解得x <3750 ∴3125≤x ≤3500; ……13分 综上，2500≤x <3000或3125≤x ≤3500
即顾客购买标价在[)[]2500,30003125,3500U 间的商品，可得到的实际折扣率低于3
2． 18．解（Ⅰ）)1,0(A Θ，)1,0(-
B ，令),(00y x P ，则由题设可知00≠x ， ∴ 直线AP 的斜率0011x y k -=
，PB 的斜率0
021
x y k +=，又点P 在椭圆上，所以 14
2
02
0=+y x ，
（00≠x ），从而有411112020000021-=-=+⋅-=x y x y x y k k 。

（Ⅱ）由题设可以得到直线AP 的方程为)0(11-=-x k y ，
直线BP 的方程为)0()1(2-=--x k y ，
由⎪⎩⎪⎨⎧-=-=⇒⎩⎨⎧-==-232111y k x y x k y ， 由⎪⎩
⎪⎨
⎧
-=-
=⇒⎩⎨⎧-==+2
12122y k x y x k y ， ∴直线AP 与直线l 的交点⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--2,31k N ，直线BP 与直线l 的交点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,12k M 。

又4
1
21-
=k k ，2113||k k MN -=∴34||4||32||4||343111111=⋅≥+=+=k k k k k k ，
等号当且仅当
||4|
|3
11k k =时取到，即231±=k ，故线段MN 长的最小值是34。

19．由已知，f '(x)=3x 2+a ，g'(x)=2x+b ，a ，b ∈R ；
⑴由题设“单调性一致”定义知，f '(x)g'(x)≥0在区间[－1,+∞)上恒成立，
即，(3x 2+a)(2x+b)≥0在区间[－1,+∞)上恒成立，
因a>0，所以，3x 2+a>0，所以，2x+b ≥0在区间[－1,+∞)上恒成立，
即，b ≥－2x 在区间[－1,+∞)上恒成立，而y=－2x 在[－1,+∞)上最大值y max =－2(－1)=2， 所以，b ≥2，即b ∈[2,+∞)；
⑵由“单调性一致”定义知，f '(x)g'(x)≥0在以a ，b 为端点的开区间上恒成立， 即，(3x 2+a)(2x+b)≥0在以a ，b 为端点的开区间上恒成立， 因a<0，所以，由(3x 2+a)(2x+b)=0，得x 1=－
－a
3
，x 2=－a 3，x 3=－b 2
； ①若b>0，则开区间为(a,b)，取x=0，由f '(0)g'(0)=ab<0知，f(x)和g(x)在区间(a,b)上单调性不一致，不符
合题设；
②若b ≤0，因x 2，x 3均为非负，故不在以a ，b 为端点的开区间内；所以，只有x 1在区间上； 由f '(x)g'(x)≥0在以a ，b 为端点的区间上恒成立，知x 1=－－a
3
要么不小于a ，b 中的大者，要么不大于a ，b 中的小者；
因为a ，b 都不大于0，所以，(2x+b)≤0，所以，由f '(x)g'(x)≥0知(3x 2+a)≤0，所以－－a
3
≤x ≤0； 当0>a>b ≥－
－a
3
时，由f '(x)g'(x)≥0在区间(b,a)上恒成立，即(3x 2+a)(2x+b)≥0在区间(b,a)上恒成立，知|a －b|最大值为|a+－a
3
|，而由a>－－a 3解得a>－13
； 此时，|a+－a 3|=|－(－a)2+1
3－a|，配方后知，取不到最大值； 当0≥b>a ≥－
－a
3
时，显然，此时，当b=0，a=－－a 3，即b=0，a=－13时，|a －b|取得最大值|0－(－13)|=13
； 综上，|a －b|的最大值为1
3；
20．
附加题参考答案1．展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣2r•x﹣r=•x12﹣3r，
令12﹣3r=0，r=4，故该展开式中的常数项为==15．
2．依题意，X所有取值0，1，2．
P（X=0）=，P（X=1）==，P（X=2）==．X的分布列为：
X 0 1 2
P
EX=．
3.（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，
∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面PEB，
又∵PB⊂平面PEB，∴BP⊥DE；
（Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE，
∴分别以DE、BE、PE所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），
设PE=a，则B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0），
P（0，0，a），…（7分）
可得，，
设面PBC的法向量，
∴令y=1，可得x=1，z=
因此是面PBC的一个法向量，
∵，PD与平面PBC所成角为30°，
∴，即，
解之得：a=，或a=4（舍），因此可得PE的长为．
4.（Ⅰ）当n=3时，A3={1，3，7}，
T1=1+3+7=11，T2=1×3+1×7+3×7=31，T3=1×3×7=21，
所以S3=11+31+21=63；
（Ⅱ）由S1=1=21﹣1=﹣1，S2=7=23﹣1=﹣1，S3=63=26﹣1=﹣1，
猜想﹣1，下面证明：
（1）易知n=1时成立；
（2）假设n=k时﹣1，
则n=k+1时，S k+1=T1+T2+T3+…+T k+1
=[T1′+（2k+1﹣1）]+[T2′+（2k+1﹣1）T1′]+[T3′+（2k+1﹣1）T2′]+…+[T k′+（2k+1﹣1）]（其中T i′，i=1，2，…，k，为n=k时可能的k个数的乘积的和为T k），
=（）+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）（）=S k+（2k+1﹣1）+（2k+1﹣1）S k
=2k+1（﹣1）+（2k+1﹣1）
=﹣1=﹣1，即n=k时﹣1也成立，
综合（1）（2）知对n∈N*﹣1成立．
所以﹣1．。