梅逊公式

2.4 控制系统的方块图、信号流图与梅逊公式控制系统的方块图是系统各元件特性、系统结构和信号流向的图解表示法。

2.4.1 方块图元素（1）方块（Block Diagram ）:表示输入到输出单向传输间的函数关系。

C(s)图2-14 方块图中的方块信号线方块r(t)c(t)信号线：带有箭头的直线，箭头表示信号的流向，在直线旁标记信号的时间函数或象函数。

（2）比较点（合成点、综合点）Summing Point 两个或两个以上的输入信号进行加减比较的元件。

“+”表示相加，“-”表示相减。

“+”号可省略不写。

2)2+Υ3图2-15比较点示意图注意：进行相加减的量，必须具有相同的量刚。

(3)分支点（引出点、测量点）Branch Point 表示信号测量或引出的位置图2-16分支点示意图注意：同一位置引出的信号大小和性质完全一样。

2.4.2 几个基本概念及术语R(s)N(s)打开反馈图2-17 反馈控制系统方块图(1) 前向通路传递函数 假设N(s)=0打开反馈后，输出C(s)与R(s)之比。

在图中等价于C(s)与误差E(s)之比。

)()()()()(21s G s G s G s E s C == (2) 反馈回路传递函数 Feedforward Transfer Function 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与输出信号C(s)之比。

)()()(s H s C s B = (3) 开环传递函数 Open-loop Transfer Function 假设N(s)=0 主反馈信号B(s)与误差信号E(s)之比。

)()()()()()()(21s H s G s H s G s G s E s B == (4) 闭环传递函数 Closed-loop Transfer Function 假设N(s)=0 输出信号C(s)与输入信号R(s)之比。

)()(1)()()(1)()()()(21s G s H s G s G s H s G s G s R s C +=+= 推导：因为)()]()()([)()()(s G s H s C s R s G s E s C -== 右边移过来整理得)()(1)()()(s G s H s G s R s C += 即开环传递函数前向通路传递函数+=+=1)()(1)()()(s G s H s G s R s C **(5) 误差传递函数 假设N(s)=0 误差信号E(s)与输入信号R(s)之比。

将)()()(s G s E s C =代入上式，消去G(s)即得：开环传递函数+=+=11)()(11)()(s G s H s R s E (6) 输出对扰动的传递函数 假设R(s)=0N(s)C(s)图2-18 输出对扰动的结构图由图2-18，利用公式**，直接可得：)()(1)()()()(2s H s G s G s N s C s M N +== (7) 误差对扰动的传递函数 假设R(s)=0N(s)E(s)图2-19 误差对扰动的结构图由图2-19，利用公式**，直接可得：)()(1)()()()()(2s H s G s H s G s N s E s M NE +-==线性系统满足叠加原理，当控制输入R(s)与扰动N(s)同时作用于系统时，系统的输出及误差可表示为：)()()(1)()()()(1)()(2s N s H s G s G s R s H s G s G s C +++=)()()(1)()()()()(11)(2s N s H s G s H s G s R s H s G s E +-+=注意：由于N(s)极性的随机性，因而在求E(s)时，不能认为利用N(s)产生的误差可抵消R(s)产生的误差。

2.4.3 方块图的绘制（1）考虑负载效应分别列写系统各元部件的微分方程或传递函数，并将它们用方框（块）表示。

（2）根据各元部件的信号流向，用信号线依次将各方块连接起来，便可得到系统的方块图。

系统方块图-也是系统数学模型的一种。

例2-8 画出下列RC 电路的方块图。

R（a ）图2-20一阶RC 网络解：由图2-20，利用基尔霍夫电压定律及电容元件特性可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎰c idt u R u u i o o i 对其进行拉氏变换得：⎪⎩⎪⎨⎧=-=)2()()()1()()()(sC s I s U R s U s U s I o o i由（1）和（2）分别得到图（b ）和(c)。

（b ）U（c ）)(s U o将图（b ）和(c)组合起来即得到图(d)，图(d)为该一阶RC 网络的方块图。

（d ）(s U i例2-9 画出下列R-C 网络的方块图。

解：（1）根据电路定理列出方程，写出对应的拉氏变换，也可直接画出该电路的运算电路图如图(b)；（2）根据列出的4个式子作出对应的框图；（3）根据信号的流向将各方框依次连接起来。

⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=-=-=)4()()()3()()()()2()()()()1()()()(222212111111sC s I s U R s U s U s I sC s I s I s U R s U s U s I c c C C C r图2-21 二阶RC 网络根据公式(1)~(4)，分别画出对应的方块图，如图(c)中虚线框所示。

由图清楚地看到，后一级R 2-C 2网络作为前级R 1-C 1网络的负载，对前级R 1-C 1网络的输出电压1c u 产生影响，这就是负载效应。

如果在这两极R-C 网络之间接入一个输入阻抗很大而输出阻抗很小的隔离放大器，如图2-22所示。

则此电路的方块图如图(b)所示。

图2-22 带隔离放大器的两级RC 网络（a ）2.4.4 方块图的简化——等效变换为了由系统的方块图方便地写出它的闭环传递函数，通常需要对方块图进行等效变换。

方块图的等效变换必须遵守一个原则，即变换前后各变量之间的传递函数保持不变。

在控制系统中，任何复杂系统主要由响应环节的方块经串联、并联和反馈三种基本形式连接而成。

三种基本形式的等效法则一定要掌握。

（1）串联连接（a ）（b ）图2-23 环节的串联连接在控制系统中，常见几个环节按照信号的流向相互串联连接。

特点：前一环节的输出量就是后一环节的输入量。

)()()()()()()()()()()()()()()()(123231212211s R s G s G s G s U s G s C s R s G s G s U s G s U s R s G s U =====)()()()()()(321s G s G s G s G s R s C == 结论：串联环节的等效传递函数等于所有传递函数的乘积。

∏==ni i s G s G 1)()(式中，n 为相串联的环节数。

（2）并联连接（a ）（b ）图2-24 环节的并联连接特点：各环节的输入信号是相同的，均为R(s)，输出C(s)为各环节的输出之和，即:)()]()()([)()()()()()()()()()(321321321s R s G s G s G s R s G s R s G s R s G s C s C s C s C ++=++=++= )()()()()()(321s G s G s G s G s R s C =++= 结论：并联环节的等效传递函数等于所有并联环节传递函数的代数和。

即：)()(1s G s G ni i ∑==式中，n 为相并联的环节数，当然还有“-”的情况。

（3）反馈连接（a）（b ）图2-25 环节的反馈连接（4）比较点和分支点（引出点）的移动有关移动中，“前”、“后”的定义：按信号流向定义，也即信号从“前面”流向“后面”，而不是位置上的前后。

C(s)☟放大→缩小 ☟缩小→放大☟ ☟)(])()()([)()()()(s G s G s Q s R s Q s G s R s C +=±= )()()()()()]()([)(s G s Q s G s R s G s Q s Rs C ±=±= 图2-26 比较点移动示意图分支点（引出点）前移C(s)C(s)☟☟☟ ☟)()()(s G s R s C = 右)()(1)()()(s R s G s G s R s R ==左图2-27 分支点移动示意图例2-10 用方块图的等效法则，求图2-28所示系统的传递函数C(s)/R(s)。

图2-28 多回路系统方块图解：这是一个具有交叉反馈的多回路系统，如果不对它作适当的变换，就难以应用串联、并联和反馈连接的等效变换公式进行化简。

本题的求解方法是把图中的点A 先前移至B 点，化简后，再后移至C 点，然后从内环到外环逐步化简，其简化过程如下图。

6G 7G4325G G G G += 串联和并联25561H G G G +=反馈公式211255125211255152161617111111G H G H G G G H G G H G H G G G G G H G G G G G ++=+++=+= 反馈公式 21121432432151211255177))((1)(11)()()(G H G H G G G G G G G G G G G H G H G G G G G s G s R s C +++++=+++=+==例2-11 将例2-9的系统方块图简化。

分支点A 后移（放大->缩小），比较点B 前移（放大->缩小）。

比较点1和2交换。

)s)(s U r )(s U c)(s U r )(s c图2-29 方块图的简化过程2.4.5 信号流图和梅逊公式（S ·J ·Mason ）方块图是一种很有用的图示法。

对于复杂的控制系统，方块图的简化过程仍较复杂，且易出错。

Mason 提出的信号流图，既能表示系统的特点，而且还能直接应用梅逊公式方便的写出系统的传递函数。

因此，信号流图在控制工程中也被广泛地应用。

2.4.5.1信号流图中的术语因果增益节点 输出方向2x 1x 1122x a x =12a6x图2-30 信号流图输入节点：具有输出支路的节点。

图2-30中的1x 。

输出节点（阱，坑）：仅有输入支路的节点。

有时信号流图中没有一个节点是仅具有输入支路的。

我们只要定义信号流图中任一变量为输出变量，然后从该节点变量引出一条增益为1的支路，即可形成一输出节点，如图2-30中的5x 。

混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。

如图2-30中的432,,x x x前向通路：开始于输入节点，沿支路箭头方向，每个节点只经过一次，最终到达输出节点的通路称之前向通路。