圆锥曲线垂直弦中点轨迹过定点问题
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点（结论３）（主义椭圆内部点的表示方式）。 3. 联系椭圆和双曲线的对应关系，以上各条（结论１～３）均可以推广到双曲线中（结论４～７）（注
意椭圆与双曲线的差异性：非封闭图形，因此横双竖双内部的点要分开讨论）。 4. 局限：椭圆与双曲线和抛物线的表达形式有较大差异，对于抛物线中的上述结论需要重新讨论。
kMN
yM xM
yN xN
mb2 x0 a2 b2m2
a2 x0
mb2 x0 a2m2 b2
a2m2 x0
m a2 b2 =
a2 m2 1
a2 b2m2 a2m2 b2
m a2 b2 直线 lMN : y a2 m2 1
m a2 b2
x xM yM y a2 m2 1
a2
b2
椭圆分别交于
A、B、C、D
四点。设弦
AC、BD
的中点分别为
M、N，lMN
恒过定点
a2
b2
x0 , a2
b2
y0
x2 y2
结论６：双曲线方程
C： a2 b2
1 ，过点 P 0, y0
y0 , b b,
作两条相互垂直的
1/4
2014.11.30
直线 l1 、 l2 与椭圆分别交于 A、B、C、D 四点。设弦 AC、BD 的中点分别为 M、N， lMN 恒过定点
且满足 MA MB=0 ，则 lAB 过定点 x0 , y0 2 p iv. 抛物线方程 C： x2 2 py p 0 上一点 P x0 , y0 ，抛物线上存在不同于点 P 的点 A、B，
且满足 MA MB=0 ，则 lAB 过定点 x0, y0 2 p
五、 联系
《圆锥曲线曲线上直角弦过定点结论》其实是与《圆锥曲线垂直弦中点轨迹过定点结论》有巨大联系
3/4
2014.11.30
ii. 抛物线方程 C：y2 2 px p 0 上一点 P x0 , y0 ，抛物线上存在不同于点 P 的点 A、B，
且满足 MA MB=0 ，则 lAB 过定点 x0 2 p, y0 iii. 抛物线方程 C： x2 2 py p 0 上一点 P x0 , y0 ，抛物线上存在不同于点 P 的点 A、B，
a2
b2
a2
b2
x0 , a2
b2
y0
二、 例证结论１
1 ① 当直线 l1 、 l2 均不与坐标轴平行时，令直线 l1：x my x0 ，则直线 l2：x y x0
m
x2 y2
C：
a
2
b2
1
a2 b2m2
y2 2mb2 x0 y b4 0
l1：x my x0
由韦达定理：
i.
双曲线方程
C：
a2
b2
1上一点 P x0 , y0 ，椭圆上存在不同于点
P
的点
A、B，且满足
a2 b2
a2 b2
MA MB=0 ，则 lAB
过定点
a
2
b2
x0 , a2
b2
y0
x2 y2
ii.
双曲线方程 C： a2
b2
1 上一点 P x0 , y0 ，椭圆上存在不同于点 P 的点 A、B，且满足
2014.11.30
椭圆和双曲线垂直弦中点轨迹过定点问题
成都石室中学 蒋宗汛
一、 结论
x2 y2
结论１：椭圆方程
C： a2 b2
1，过点 P x0 , 0
x0 a, a
作两条相互垂直的直线 l1
、 l2 与椭
a2
圆分别交于
A、B、C、D
四点。设弦
AC、BD
的中点分别为
M、N， lMN
恒过定点
a2 b2
a2 b2
MA MB=0 ，则 lAB
过定点
a2
b2
x0 , a2
b2
y0
3. 抛物线：
i. 抛物线方程 C： y2 2 px p 0 上一点 P x0 , y0 ，抛物线上存在不同于点 P 的点 A、B，
且满足 MA MB=0 ，则 lAB 过定点 x0 2 p, y0
作两条相互垂直的直
a2
线 l1
、l2 与椭圆分别交于
A、B、C、D
四点。设弦
AC、BD
的中点分别为
M、N，lMN
恒过定点
a2
b2
x0, 0
x2 y2
结论５：双曲线方程 C： 1，过点 P a2 b2
x0 , y0
x02 a2
y02 b2
1 作两条相互垂直的直线 l1
、l2 与
a2
a2
b2
x0 , 0
x2 y2 结论７：双曲线方程 C：
a2 b2
1 ，过点 P x0 ,
y0
x02 a2
y02 b2
1 作两条相互垂直的直线 l1
、
l2 与 椭 圆 分 别 交 于 A 、 B 、 C 、 D 四 点 。 设 弦 AC 、 BD 的 中 点 分 别 为 M 、 N ， lMN 恒 过 定 点
的（或者说后者的范围比前者大）。即：当后者的弦交点在曲线上时，令前者得到的定点 M1 、后者得到的 定点 M2 、弦交点 P，三点满足： M2 为线段 PM1 的中点。（由几何关系：平行线分线段成比例，易得。）
4/4
a2
b2
x0 , 0
x2 y2
结论２：椭圆方程
C： a2 b2
1，过点 P 0, y0
y0 b,b
作两条相互垂直的直线 l1
、 l2 与椭
b2
圆分别交于 A、B、C、D 四点。设弦 AC、BD 的中点分别为 M、N， lMN
恒过定点
0,
a
2
b2
y0
x2 y2
结论３：椭圆方程 C： 1，过点 P a2 b2
x mx0 m2 1
m a2 b2
即
y
m2
1
a2
x x0
a2Βιβλιοθήκη 直线 lMN过定点
a2
b2
x0 , 0
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2014.11.30
a2
②
当直线 l1
、 l2 有一条与坐标轴平行时，直线 lMN
为ｘ轴必过定点
a2
b2
x0 , 0
综上：结论一证得
三、 分析思考
1. 联系椭圆的对称性，可以轻松拓展到ｙ轴方向（结论２）。 2. 联系圆锥曲线顶点直角的结论的推广方式，以及本结论的表达形式，可以拓展到椭圆内部任意一
x0 , y0
x02 a2
y02 b2
1 作两条相互垂直的直线 l1
、 l2 与
a2
b2
椭圆分别交于
A、B、C、D
四点。设弦
AC、BD
的中点分别为
M、N，lMN
恒过定点
a2
b2
x0 , a2
b2
y0
x2 y2
结论４：双曲线方程
C： a2 b2
1，过点 P x0 , 0
x0 , a a,
yA
yC =
2mb2 x0 a2 b2m2
中点 ym
yA
yC 2
= mb2 x0 a2 b2m2
带入直线方程 l1：x
my
x0 得
xm
a2
a2 x0 b2m2
M
a2
a2 x0 b2m2
mb ，
2
x0
a2 b2m2
同理可得
N
a2m2 x0 a2m2 b2
， mb2 x0 a2m2 b2
四、 附：与之相关的《圆锥曲线曲线上直角弦过定点结论》
1. 椭圆：
x2 y2
椭圆方程
C：
a2
b2
1上一点 P x0 , y0 ，椭圆上存在不同于点
P
的点
A、B，且满足
a2 b2
a2 b2
MA MB=0 ，则 lAB
过定点
a2
b2
x0 , a2
b2
y0
2. 双曲线：
x2 y2
意椭圆与双曲线的差异性：非封闭图形，因此横双竖双内部的点要分开讨论）。 4. 局限：椭圆与双曲线和抛物线的表达形式有较大差异，对于抛物线中的上述结论需要重新讨论。
kMN
yM xM
yN xN
mb2 x0 a2 b2m2
a2 x0
mb2 x0 a2m2 b2
a2m2 x0
m a2 b2 =
a2 m2 1
a2 b2m2 a2m2 b2
m a2 b2 直线 lMN : y a2 m2 1
m a2 b2
x xM yM y a2 m2 1
a2
b2
椭圆分别交于
A、B、C、D
四点。设弦
AC、BD
的中点分别为
M、N，lMN
恒过定点
a2
b2
x0 , a2
b2
y0
x2 y2
结论６：双曲线方程
C： a2 b2
1 ，过点 P 0, y0
y0 , b b,
作两条相互垂直的
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直线 l1 、 l2 与椭圆分别交于 A、B、C、D 四点。设弦 AC、BD 的中点分别为 M、N， lMN 恒过定点
且满足 MA MB=0 ，则 lAB 过定点 x0 , y0 2 p iv. 抛物线方程 C： x2 2 py p 0 上一点 P x0 , y0 ，抛物线上存在不同于点 P 的点 A、B，
且满足 MA MB=0 ，则 lAB 过定点 x0, y0 2 p
五、 联系
《圆锥曲线曲线上直角弦过定点结论》其实是与《圆锥曲线垂直弦中点轨迹过定点结论》有巨大联系
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ii. 抛物线方程 C：y2 2 px p 0 上一点 P x0 , y0 ，抛物线上存在不同于点 P 的点 A、B，
且满足 MA MB=0 ，则 lAB 过定点 x0 2 p, y0 iii. 抛物线方程 C： x2 2 py p 0 上一点 P x0 , y0 ，抛物线上存在不同于点 P 的点 A、B，
a2
b2
a2
b2
x0 , a2
b2
y0
二、 例证结论１
1 ① 当直线 l1 、 l2 均不与坐标轴平行时，令直线 l1：x my x0 ，则直线 l2：x y x0
m
x2 y2
C：
a
2
b2
1
a2 b2m2
y2 2mb2 x0 y b4 0
l1：x my x0
由韦达定理：
i.
双曲线方程
C：
a2
b2
1上一点 P x0 , y0 ，椭圆上存在不同于点
P
的点
A、B，且满足
a2 b2
a2 b2
MA MB=0 ，则 lAB
过定点
a
2
b2
x0 , a2
b2
y0
x2 y2
ii.
双曲线方程 C： a2
b2
1 上一点 P x0 , y0 ，椭圆上存在不同于点 P 的点 A、B，且满足
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椭圆和双曲线垂直弦中点轨迹过定点问题
成都石室中学 蒋宗汛
一、 结论
x2 y2
结论１：椭圆方程
C： a2 b2
1，过点 P x0 , 0
x0 a, a
作两条相互垂直的直线 l1
、 l2 与椭
a2
圆分别交于
A、B、C、D
四点。设弦
AC、BD
的中点分别为
M、N， lMN
恒过定点
a2 b2
a2 b2
MA MB=0 ，则 lAB
过定点
a2
b2
x0 , a2
b2
y0
3. 抛物线：
i. 抛物线方程 C： y2 2 px p 0 上一点 P x0 , y0 ，抛物线上存在不同于点 P 的点 A、B，
且满足 MA MB=0 ，则 lAB 过定点 x0 2 p, y0
作两条相互垂直的直
a2
线 l1
、l2 与椭圆分别交于
A、B、C、D
四点。设弦
AC、BD
的中点分别为
M、N，lMN
恒过定点
a2
b2
x0, 0
x2 y2
结论５：双曲线方程 C： 1，过点 P a2 b2
x0 , y0
x02 a2
y02 b2
1 作两条相互垂直的直线 l1
、l2 与
a2
a2
b2
x0 , 0
x2 y2 结论７：双曲线方程 C：
a2 b2
1 ，过点 P x0 ,
y0
x02 a2
y02 b2
1 作两条相互垂直的直线 l1
、
l2 与 椭 圆 分 别 交 于 A 、 B 、 C 、 D 四 点 。 设 弦 AC 、 BD 的 中 点 分 别 为 M 、 N ， lMN 恒 过 定 点
的（或者说后者的范围比前者大）。即：当后者的弦交点在曲线上时，令前者得到的定点 M1 、后者得到的 定点 M2 、弦交点 P，三点满足： M2 为线段 PM1 的中点。（由几何关系：平行线分线段成比例，易得。）
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b2
x0 , 0
x2 y2
结论２：椭圆方程
C： a2 b2
1，过点 P 0, y0
y0 b,b
作两条相互垂直的直线 l1
、 l2 与椭
b2
圆分别交于 A、B、C、D 四点。设弦 AC、BD 的中点分别为 M、N， lMN
恒过定点
0,
a
2
b2
y0
x2 y2
结论３：椭圆方程 C： 1，过点 P a2 b2
x mx0 m2 1
m a2 b2
即
y
m2
1
a2
x x0
a2Βιβλιοθήκη 直线 lMN过定点
a2
b2
x0 , 0
2/4
2014.11.30
a2
②
当直线 l1
、 l2 有一条与坐标轴平行时，直线 lMN
为ｘ轴必过定点
a2
b2
x0 , 0
综上：结论一证得
三、 分析思考
1. 联系椭圆的对称性，可以轻松拓展到ｙ轴方向（结论２）。 2. 联系圆锥曲线顶点直角的结论的推广方式，以及本结论的表达形式，可以拓展到椭圆内部任意一
x0 , y0
x02 a2
y02 b2
1 作两条相互垂直的直线 l1
、 l2 与
a2
b2
椭圆分别交于
A、B、C、D
四点。设弦
AC、BD
的中点分别为
M、N，lMN
恒过定点
a2
b2
x0 , a2
b2
y0
x2 y2
结论４：双曲线方程
C： a2 b2
1，过点 P x0 , 0
x0 , a a,
yA
yC =
2mb2 x0 a2 b2m2
中点 ym
yA
yC 2
= mb2 x0 a2 b2m2
带入直线方程 l1：x
my
x0 得
xm
a2
a2 x0 b2m2
M
a2
a2 x0 b2m2
mb ，
2
x0
a2 b2m2
同理可得
N
a2m2 x0 a2m2 b2
， mb2 x0 a2m2 b2
四、 附：与之相关的《圆锥曲线曲线上直角弦过定点结论》
1. 椭圆：
x2 y2
椭圆方程
C：
a2
b2
1上一点 P x0 , y0 ，椭圆上存在不同于点
P
的点
A、B，且满足
a2 b2
a2 b2
MA MB=0 ，则 lAB
过定点
a2
b2
x0 , a2
b2
y0
2. 双曲线：
x2 y2