概率论习题

第一章 习题
一．选择题
1 设A B ⊂，则下面正确的等式是 。

A )(1)(A P A
B P -=； B )()()(A P B P A B P -=-；
C )()|(B P A B P =；
D )()|(A P B A P = 2 设A 和B 是两个随机事件，则下列关系式中成立的是（ ）
A P （A ）≥P （A |
B ） B P （A ）≤P （A |B ）
C P （A ）≥P （A+B ）
D P （A ）≤P （AB ）
3.在下列四个条件中，能使)()()(B P A P B A P -=-一定成立是（ ） A 、B A ⊂ B 、A 、B 独立 C 、A 、B 互不相容 D 、A B ⊂
4.设在每次试验中，事件A 发生的概率为)10(<<p p ，p q -=1，则在n 次独立重复试验中，事件A 至少发生一次的概率是（ ）
A 、n p
B 、n q
C 、n p -1
D 、n q -1
5.设C B A ,,三个事件两两独立，则C B A ,,相互独立的充分必要条件是（ ） A 、A 与BC 独立 B 、AB 与C A 独立 C 、AB 与BC 独立 D 、B A 与C A 独立
6 设每次试验成功的概率为)10(<<p p ，重复进行试验直到第n 次才取得)1(n r r ≤≤ 次成功的概率为 . A r
n r
r n p p C ----)1(1
1； B r
n r r n p p C --)
1(；
C 11
1
1)1(+-----r n r r n p p
C ；
D r n r p p --)1(.
二．填空题
1 设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A B P .
2 随机事件Ａ和B 相互独立， 且P （A ）=0.６, P(Ａ－ＡB)=0.3, 则P(B)=______
P(A ∪Ｂ)=_________
3 设 样 本 空 间 U = {1， 2， 10 }， A ={2， 3， 4， }， B={3， 4， 5， } ，
C={5， 6， 7}， 则 ()C B A 表 示 的 集 合 =______________________
4 设C B A ,,为三个事件，则“C B A ,,中至少有一个发生”可表示为
5 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才
取到正品的概率为 . 6设,A B 为两随机事件，已知8.0)(,)(3.07.0)(=⋃+==B A P B P A P ，则
(|)P A A B =
三 计算题
1 为了防止意外,矿井内同时装有A 与B 两两种报警设备, 已知设备 A 单独使用时有效的概率为0.92, 设备 B 单独使用时有效的概率为0.93, 在设备 A 失效的条件下, 设备B 有效的概率为 0.85, 求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率.
2 甲、乙.丙三人同时对一架飞机进行射击，设甲.乙.丙三人击中飞机的概率分别为0. 4,
0.5 和0.7，飞机被一人击中而被击落的概率为0.3,飞机被两人同时击中而被击落的概率为0.6,飞机被三人击中而被击落的概率为0.9，求飞机被击落的概率.
3 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05. 求在被检查后认为是合格品的产品确实是合格品的概率.
4 某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.
5 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品概率为0.03，第二台出现废品的概率是0.02；加工出来的零件放在一起。

并且已知第一台加工的零件数是第二台的2倍。

求：(1)任取一个零件是合格品的概率，
(2)如果任取的零件是废品，求它是第二台生产的概率。

四 思考题
1 在一次乒乓球决赛中设立奖金1千元.比赛规定谁先胜了三盘,谁获得全部奖金.设甲,乙二人的球技相等,现已打了3盘, 甲两胜一负, 由于某种特殊的原因必须中止比赛. 问这1000元应如何分配才算公平?
2 17世纪,法国的 C D Mere 注意到在赌博中一对骰子抛25次,把赌注押到 “至少出现次双六” 比把赌注押到“完全不出现双六”有利. 但他本人找不出原因. 后来请当时著名的法国数学家帕斯卡(Pascal)才解决了这一问题 .这问题是如何解决的呢?
3 某市进行艺术体操赛, 需设立两个裁判组, 甲组3名,乙组1名. 但组委会只召集到3名裁判, 由于临近比赛, 便决定调一名不懂行的人参加甲组工作, 其中两裁判独立地以概率 p 作出正确裁定,而第三人以掷硬币决定, 最后根据多数人的意见决定.乙组由 1 个人组成, 他以概率 p 做出正确裁定. 问哪一组做出正确裁定的概率大 ?
第二章 习题
一 填空题
1 设随机变量X 服从（-2，２）上的均匀分布，则随机变量2
X Y =的概率密度函数为
=)(y f Y .
2 设随机变量),(Y X 的联合分布律为
),(Y X )0,1( )1,1( )0,2( )1,2(
P
4.0 2.0 a b
若8.0)(=XY E ，则=),cov(Y X .
3 已知X 的分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-0
,5.010
,5.0)(x e x e x F x
x
,=>)2(X P . 4 设随机变量ξ的概率分布为P(ξ=k)=C Ｋ(k=1，2，3，4，５),则常数C=___________,Ｐ
(=
<<)25
2
1ξ . 5 设随机变量ξ∽N(3,2),已知Ｐ(3<ξ<5)=0.3413，则Ｐ(1<ξ
<5)=____________,如果Ｐ(ξ≥C)= Ｐ(ξ<C),则C=______________.
6 设随机变量ξ的可能取值为-1，0，1，E （ξ）=0.1，E （ξ2）==0.9,则ξ的分布律为
7 设ξ∽ξη E （ζ）=_______________， D （ζ）=____________.
8 设函数⎩⎨⎧<≥-=-00
,)(2x x be a x F x 为连续型随机变量ξ的分布函数，则=a
=b 。

9从1、2、3、4、5中任取3个数，设ξ为其中的最大者，则ξ的分布列为
ξ的分布函数=)(x F 。

10 设连续随机变量的密度函数为)(x f ，则随机变量X
e Y 3=的概率密度函数为
=)(y f Y .
、若X 服从正态分布N(2,σ2)，且P(2<X<4)=0.3，则P(X<0)=_____________。

11、已知X 的分布函数为：F(x)=
则P(X=-1)=_____________ P(X=1)=_______________
P(X=3)=______________ EX=_________________。

12、二维随机变量(X 、Y)的密度为f(x,y)=
则C=_______________ f X (x)=_____________(0≤x≤1) E X =_______________。

13、(X ，Y)的联合分布律为
则X 的边缘分布律为。

14设随机变量),(Y X 的联合分布律为
),(Y X )0,1( )1,1( )0,2( )1,2(
P
4.0 2.0 a b
若8.0)(=XY E ，则=),cov(Y X .
15 随机变量,X Y 相互独立且服从同一分布，3/)1()()(+====k k Y P k X P ，
1,0=k ，则()P X Y ==
.
二 选择题
1 离散型随机变量X 的概率分布为k
A k X P λ==)(( ,2,1=k )的充要条件是 。

（ａ）1
)1(-+=A λ且0>A ； （ｂ）λ-=1A 且10<<λ；
（ｃ）11
-=-λA 且1<λ； （ｄ）0>A 且10<<λ.
2 设10个电子管的寿命i X (10~1=i )独立同分布，且A X D i =)((10~1=i )，则10个电
子管的平均寿命Y 的方差=)(Y D .
（ａ）A ； （ｂ）A 1.0； （ｃ）A 2.0； （ｄ）A 10. 3 .将一枚硬币重复掷n 次，以ξ和η分别表示正面向上和反面向上的次数，则ξ和η的相关系数等于
A 、-1
B 、0
C 、
2
1
D 、1 4 .设ξ与η是任意两个相互独立的连续随机变量，它们的概率密度分别为
)()(21x p x p 和，分布函数分别为)(1x F 和)(2x F ，则（ ）
A 、)()(21x p x p +必为某一随机变量的概率密度
B 、)()(21x p x p ⋅必为某一随机变量的概率密度
C 、)()(21x F x F +必有某一随机变量的分布函数
D 、)()(21x F x F ⋅必有某一随机变量的分布函数
5 离散随机变量X 的分布函数为)(x F ，且11+-<<k k k x x x ，则==)(k x X P . （ａ）)(1k k x X x P ≤≤-； （ｂ）)()(11-+-k k x F x F ； （ｃ）)(11+-<<k k x X x P ； （ｄ）)()(1--k k x F x F .
6 设随机变量X 服从指数分布，则随机变量)2003
,(max X Y =的分布函数 . （ａ）是连续函数； （ｂ）恰好有一个间断点； （ｃ）是阶梯函数； （ｄ）至少有两个间断点.
7 设随机变量),(Y X 的方差,1)(,4)(==Y D X D 相关系数
,6.0=XY ρ则方差
=-)23(Y X D .
（ａ）40； （ｂ）34； （ｃ）25.6； （ｄ）17.6 .
8 样本X 1……X n 取自正态总体N(0，1)，，S 分别表示样本均值和方差，则__________。

[ ] A.～N(0，1) B.n ～N(0，1) C.
～x 2
(n) D./S ～t(n-1)
9 某零件重量X ～N(400，400)，40个零件的平均重量定为Y ，则Y ～_________。

[ ] A.N(400，400) B.N(400，10) C.N(400，100) D.N(40,400)
10 设袋中有编号为1，2，…，n 的n 张卡片，采用有放回地抽取k 张卡片，记X 表示k 张卡片的号码之和，则()E X 为 （ ）
(A)
(1)
2
k n + (B)
1
2
n + (C) (1)2n k +
(D)
(1)
2
n k - 11 设随机变量X 与Y 独立同分布，记,U X Y V X Y =+=-，则随机变量U 和V 必然 （ ）
(A) 不独立 (B) 相互独立 (C) 不相关 (D) 无法判断
12 下列各函数中可以作为某个随机变量的分布函数的是 （ ）
（A
）22
(),x F x x R -
=
∈ (B) ()sin(),[0,)2
F x x x π=∈
(C) 2
10()11
1x F x x x ⎧<⎪
=+⎨⎪≥⎩ (D) 0
0()0.6
010
x F x x x <⎧⎪
==⎨⎪>⎩
13设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则 .
)(A 2/1)0(=≤+Y X P ； )(B 2/1)1(=≤+Y X P ； )(C 2/1)0(=≤-Y X P ； )(D 2/1)1(=≤-Y X P .
14 设随机变量n X X X ,,,21 独立同分布，且方差为02
>σ.令∑==n
i i X n Y 1
1，
则 .
)(A n Y X Cov /),(21σ=； )(B 2
1),(σ=Y X Cov ；
C n n Y X
D /)2()(21σ+=+； )(D n n Y X D /)1()(2
1σ+=- 计算题
1 已知某型号电子管的使用寿命 X 为连续r.v., 其 d.f.为
(1) 求常数 c
(2) 计算P(X ≤1700∣1500<X2000)
(3)已知一设备装有3个这样的电子管, 每个电子管能否正常工作相互独立, 求在使用的最初1500小时只有一个损坏的概率.
2设随机变量ξ的分布密度为
f(x)=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤+<≤其他0
4220x b cx x ax
已知E(ξ)=2, P(1<ξ<3)=3/4
⎪⎩⎪⎨⎧>=其他,01000
,)(2x x c
x f
(1)求a, b, c 的值 (2)求P(2<ξ<3)
3 设随机变量(ηξ,)的联合分布密度为
⎩⎨
⎧≤≤≤≤=其它00,10),(x
y x kx y x f
(1) 求常数k 的值
(2) 求边缘分布密度函数),(x f ξ)(y f η (3) 问ξ和η是否相互独立?
3 设二维随机变量（ηξ,）具有密度函数
⎩⎨
⎧>>⋅=+-其它
,0),()
(2y x e C y x p y x
试求1）常数C ； 2）)1(<+ηξP
3）ξ与η是否相互独立？为什么？
4 设二维离散型随机变量（ηξ,）的联合分布列
求（1）ξηρ； （2）)(ηξ-D
5设随机变量X 与Y 相互独立，X ，Y 分别服从参数为)(,μλμλ≠的指数分布，
试求Y X Z 23+=的密度函数)(z f Z .
6 设随机变量X 服从[0，1]上的均匀分布，
求：(1)Y=e x 的密度。

(2)Y=2lnX 的密度
7 设二维随机变量(X,Y)的密度f(x,y)=
，求随机变量Z=
的数学期望和方差。

8 已知(,)X Y 的联合密度为
301,0(,)0
y y x y
f x y <<<<⎧=⎨
⎩其他
随机变量2Z X Y =-，求Z 的概率密度函数。

9 设二维随机变量(,)~(0,1;0,1;)X Y N ρ，令
22U X Y
V X Y
=-⎧⎨
=+⎩ （1） 写出U 的概率密度函数； （2） 求(,)Cov U V ；
当ρ为何值时，随机变量U V 与相互独立？
10 设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数⎩
⎨⎧<<<=他其,01
0,6),(y x x y x f ， 求
（1）,X Y 的边缘密度函数； （2）当3/1=X 时，Y 的条件密度函数)3/1(=x y f X
Y ；
（3）(1)P X Y +≤.
11 设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数22,0,0
(,)0,
x y e x y f x y --⎧>>=⎨⎩其他,
求 max{,}Z X Y =的密度函数.
四 思考题
1上海某年有 9万名高中毕业生参加高考, 结果有5.4万名被各类高校录取. 考试满分为600分，540分以上有2025人 , 360分以下有13500人. 试估计高校录取最低分.
2某民营企业生产的某产品每周的需求量 X (单位: 箱) 取[1 , 5]上的每个整数值是等可能的. 生产每箱产品的成本是300元,出厂价每箱900元.若售不出, 则每箱以100元的保管费借冷库保存. 问该企业每周生产几箱产品能使获利的期望值最大？
第三章 习题
一 填空题
1设随机变量)0;3,1;2,0(~),(22N Y X ，则概率)12(≥-Y X P ＝ .
2设随机变量X~U[0,1]，由切比雪夫不等式可得P{|X-2
1|≥3
1
}≤
__________________。

3设μn 是n 次贝努利试验中，事件A 出现的次数，P 是事件A 在每次试验中出现的概率，(其中0<P<1)。

则对任意区间[a,b]，有=_______________(用Φ(x)表
示)。

4 设随机变量),(~2σμN X ，由切比雪夫不等式知，概率)2(σμ≥-X P 的取值区间为 与 之间. 二 选择题
1设ξ1,ξ2，…，ξn 相互独立，且服从同一分布，且有有限的数学期望与方差（方差不零）n 较大时，对任意实数x ，概率P （∑=n
i i
1
ξ
≤x ）可以（ ）
（1） 利用ξi 的密度函数计算 （2） 利用大数定律计算 （3） 利用中心极限定理计算 （4） 无法计算 三 计算题
1有一批种子，其中良种占6
1
，从中任取180粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与6
1
相差多少？995.0)48.2(;99.0)33.2(=Φ=Φ
2 某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.
3某农贸市场的某种商品价格波动为随机变量。

设第i 天（较前一天）的价格变化为i X 中
,1,,i X i n = 独立同分布，0,0.04
i i EX DX ==。

设第n 天的价格为n P ，则 01n
n i i P P X ==+∑。

若现在的价格为20元/斤（即：020P =）
，试求： （1） 试利用切比雪夫不等式估计概率30{1822}P P ≤≤； (2)试利用中心极限定理估计概率30{1822}P P ≤≤
4某计算机厂门市部规定：出售的新型号电脑若在一年内损坏可予以调换。

工厂售出一台电脑能赢利2000元，调换一台电脑厂方需花费3000元。

现厂方计划明年净赢利的期望值达到
100万，则明年门市部至少要售出该型号电脑多少台？（该厂质检科人员已利用假设检验 的方法确定该型号电脑的使用寿命服从参数为0.25的指数分布。

）
5 某厂生产某产品1000件，其价格为2000P =元/件，其使用寿命X （单位：天）的
分布密度为
1
20000(365)120000
365()0
365
x e x f x x --⎧≥⎪=⎨
<⎪⎩
现由某保险公司为其质量进行保险：厂方向保险公司交保费0P 元/件，若每件产品若寿命小于1095天（3年），则由保险公司按原价赔偿2000元/件. 试由中心极限定理计算 (1) 若保费0100P =元/件, 保险公司亏本的概率？ (2) 试确定保费0P ，使保险公司亏本的概率不超过1%.
)99.0)33.2(,946.0)61.1(,926.0)45.1(,96.0(0365.0=Φ=Φ=Φ≈-e
四 思考题
1 电视台需作节目A 收视率的调查.每天在播电视的同时, 随机地向当地居民打电话询问是否在看电视. 若在看电视, 再问是否在看节目A . 设回答看电视的居民户数为 n . 若要保证以 95%的概率使调查误差在10%之内, n 应取多大？每晚节目A 播出一小时, 调查需同时进行, 设每小时每人能调查20户, 每户居民每晚看电视的概率为70%, 电视台需安排多 少人作调查.又，若使调查误差在 1 %之内, n 应取多大？
2一本书有 1 000 000 个印刷符号, 排版时每个符号被排错的概率为千分之一. 校对时, 每个排版错误被改正的概率为0.99. 求在校对后错误不多于15 个的概率.
3学校东区食堂为提高服务质量，要先对就餐率p 进行调查。

决定在某天中午，随机地对用过午餐的同学进行抽样调查。

设调查了n 个同学，其中在东区食堂用过餐的学生数为X ，若要求以大于95%的概率保证调查所得的就餐频率与p 之间的误差上下在10% 以内，问n 应取多大？（用中心极限定理）
5．1 在一小时内观测电话拥护对电话站的呼唤次数，按每分钟统计得到观测数据列表如下：
计算样本均值、样本方差与样本中心矩。

解：由计算器计算可以得到
222, 1.9661, 1.933x s σ=≈≈ 。

5．2 设总体2~(40,5)X N ，
（1）抽取容量为36的样本，求样本均值X 在38与43之间的概率； （2）抽取容量为64的样本，求|40|1X - 的概率；
（3）抽取样本容量n 多大时，才能使概率(||1)P X μ- 达到0.95？ 解：3840404340
(3843){
}5/65/65/6
X P X P ---= (3.6)(2.4)φφ=+- 0.9998
40.9918
1
0.=+-=，
（2）|40|
(|40|1)(
1.6)5/8
X P X P --= 2(1.6
)10.89φ=-=，
（3）已知 (|40|1)0.95P X -=
左边(|
1)2
X P φ== ，查表可得 96n ≈。

5．3 设总体2~(,)X N μσ，才总体中抽取容量为16的样本， （1）已知2σ=，求概率(||0.5)P X μ- ；
（2）未知σ，计算得到样本方差2 5.33s =，求概率(||0.5)P X μ- 。

解：||
(||0.5)(
1)1/2
X P X P μμ--= 2(1)
10.68φ=-=； （2）(||0.5)
X P X P μ-=
(||0.866)12(0.P t P t ==-≥
，
而查表可得， 0.2(15)0.866t =
所以 (||0.5)12*0.20.6P X μ-=-= 。

5.4设总体2~(60,6)X N ，总体2~(46,4)Y N ，从总体X 中抽取容量为10的样本，从总体Y 中抽取容量为8的样本，求下列概率：
（1）(08)P X Y - ；（2）2122(8.28)S P S 。

解：（1
）)~(0,1)X Y X Y X Y U N =
=
，
则{08}X Y X Y P X Y P -= =2(1.69)10.909φ-=。

（2）()22
112222/~9,7/S F F S σσ=，
则 2
122(8.28)( 3.68)S P P F S =
=1{ 3.68}P F -≥ =1-0.05=0.95。

6．1， 设总体X 服从几何分布：
1(;)(1),1,2,3.x p x p p p x -=-=
如果取得样本观测值为12,,,n x x x 求参数p 的矩估计量与最大似然估计值。

解：因为（1） 1i
EX x n =
∑，即1X p
=，求得1
p X = 。

（2）1(1)
1
1
1
(1),ln ()ln (1)ln(1),
ln ()1(1)01n
i i x n
n i i n
i i L p p L n p x p L n x p p θθθθ=--==∑∏=-=+--∂=--=∂-∑∑i x （
）=p （1-p ）令
得
1p X
= 。

6．2，设总体X 的概率密度为
101;0x x f x θθθ-⎧=⎨
⎩ ，；
（），其他。

其中0θ ，如果取得样本观测值为12,,,n x x x ，求参数θ的矩估计量与最大似然估计值。

解：因为（1）1
01
EX x dx θθθθ==
+⎰，
而1X
EX X X
θ=⇒=
-。

（2）11n n i i L x θθθθθ-=∏=∏-1
i （）=（x ）
， 则ln L θθθ∑n
i i=1
（）=nln +（-1）lnx ，
令1
1
ln ln 0ln n
i n
i i
i L n n
x x
θθθθ==∂=+=⇒=-
∂∑∑ （），。

6．3，灯泡厂从某日生产的一批灯泡中抽取10个灯泡进行寿命试验，得到灯泡
寿命（h ）数据如下：
1050 1100 1080 1120 1200 1250 1040 1130 1300 1200。

求该日生产的整批灯泡的寿命均值及寿命方差的无偏估计值。

解：X μ=
=1147，
2
2
1
11n
i S n ==-∑i （x -X ）=7579。

6．4，证明：如果已知总体X 的均值μ，则总体方差的无偏估计为
2
2
1
1n i n σμ==∑ i （X -），
其中12n X X X ，是从总体中抽出的样本。

解：2
2
2
12
1
21n i i n
i E E Ex n σμμμσμσ===-=-=∑∑∑ n 2
i i=12211（（x -））=n n （+）。

6．5 为了估计总体X 的方差，从总体X 中抽取样本12n X X X ，，我们利用下面的公式：
2
1
2
1
n i k σ-==∑ i +1i （X -X ）
求常数k 的值，使2σ
是总体方差2σ的无偏估计。

解：
2
1221
2n i E k σμσμσ-===-=∑∑ n-1
2
i+1i i=1
22k E （x -x ）=
（+）。

得 1
2k =
（n-1）。

6.6 从总体X 中抽取样本123X X X ，，，证明下列三个统计量：
333121212123236244333
X X X X X X X X X μμμ=++=++=++
，，，
都是总体统计量μ的无偏估计量；并确定哪个估计量更有效。

证明：1E E
μμ==
123123X X X EX EX EX （++）=++236236， 2E E
μμ==
123123X X X EX EX EX （++）=++244244， 3E E μμ==
123123X X X EX EX EX （++）=++333333。

则123μμμ
，，为μ的无偏估计。

321936DX DX D D μ=++
1231X X X DX （++）=2364
=27
18
σ，
3221616DX DX D D μ=++
1231X X X DX （++）=2444
=23
8
σ，
32399DX DX D D μ=++
1231X X X DX （++）=3339
=21
3σ。

则3μ
最有效。

6．7 从总体X 中抽取样本12n X X X ，，，设12n c c ，c ，为常数，且1
1n
i i c ==∑，证
明：
（1）1
n
i i i c X μ==∑
是总体均值μ的无偏估计；
（2）在所有这些无偏估计量1
n
i i i c X μ==∑
中，样本均值11n i i X X n ==∑的方差最小。

证明：（1）1
1n n
i i i i i E E c X c μμμ=====∑∑
，所以μ
为无偏估计。

（2）2
2
2
2211
1
n
i n
i i
i c D c
n
n
μσ
σσ===≥
=∑∑
，
所以样本均值1
1n
i i X X n ==∑的方差最小。

6.8 某工厂生产滚珠，从某日生产的产品中随机抽取9个，测得直径（mm ）如下：
14.6 14.7 15.1 14.9 14.8 15 15.1 15.2 14.8。

设滚珠直径服从正态分布N μσ2（，）
，求直径均值μ的置信水平为0.95的置信区间，如果：（1）已知直径标准差0.15σ=（mm ）；（2）未知σ。

解：14.91X =，n=9，0.05α=，0.20S =，
（1）已知σ：总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间
是
2
2
X X αα（，）（mm ），代入得（14.81，15.01）（mm ）。

（2）未知σ：总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间
是
22
X X αα（（n-1），（n-1））（mm ），代入得（14.75，15.07）（mm ）。

6.9 设总体X 服从正态分布0N μσ2（，），其中0σ为已知数。

需要抽取容量n 为多大的样本，才能使总体均值μ的置信水平为1α-的置信区间的长度不大于l ？ 解：当水平为α时，μ
的区间估计为2
2
X X αα（，）
，此时区间长度为0
2u α
σ，
给定一个精度l ，即
022u l α
σ≤，
可得 2
n l
α
σ≥
2
0u （）。

6.10 测得16个零件的长度（mm ）如下：
12.15 12.12 12.01 12.08 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06
设零件服从正态分布N μσ2（，），求零件长度的标准差σ的置信水平为0.99的置信区间，如果：
（1） 已知零件长度的均值12.08μ=（mm ）； （2）未知μ。

解：12.0750.049X S α==，，n=16，=0.01，
（1） 已知零件长度的均值μ：总体标准差σ的置信水平为0.01α=的
置信区间为
12
αμχ-∑n
2
i
i=1
2（X -），
）（n ），代入可得区间（0.032，
0.0848）。

（2） 未知零件长度的均值μ：总体标准差σ的置信水平为0.01α=的
置信区间为12
2
ααχχ-22
22（n-1）S （n-1）S （，）
（n-1）（n-1）
，代入可得区间（0.0334，0.0892）。

6.11 进行30次独立测试，测的零件加工时间的样本均值 5.5()x s =，样本标准
差 1.7()s s =。

设零件加工时间服从正态分布N μσ2（，），求零件加工时间的均值μ及标准差σ的置信水平为0.95的置信区间。

解：总体均值μ的置信水平为
0.95的置信区间
是
0.0250.025x +（（n-1），x （n-1））
代入得： （4.87，6.13）（s ）；
总体方差2
σ的置信水平为0.95的置信区间是 0.259.75χχ222
2（n-1）s （n-1）s （，）（n-1）（n-1）
，代入可到（1.35，2.29）（s ）。

6．12 两批导线，从第一批中抽取4根，从第二批中抽取5根，测得其电阻()Ω如下：
第一批导线：0.143 0.142 0.143 0.137；
第二批导线：0.140 0.142 0.136 0.138 0.140。

设两批导线的电阻分别副总正态分布11N μσ2（，）及22N μσ2（，）
，其中1,2μμ及12,σσ都是未知参数，求这两批导线电阻的均值差12μμ-（假定12σσ=）及方差比2
122
σσ的置信水平为0.95的置信区间。

解
：
2
124
,0n n ω
-
==
（1）两个总体均值差12μμ-的置信水平为0.95的置信区间是
0.0250.025((7),(7))x y s t x y s t ---+ 代入得到 置信区间为（-0.002，0.006）()Ω；
（2）方差比2
122
σσ的置信水平为0.95的置信区间是
22
112220.02520.9975(,)(3,4)(3,4)s s s F s F ，代入可得到方差比2
122
σσ的置信区间（0.159，23.96）。

6．13 从汽车轮胎厂生产的某种轮胎中抽取10个样品进行磨损实验，直至轮
胎行驶到磨坏为止，测得它们的行驶路程（km ）如下： 41250 41010 42650 38970 40200 42550 43500 40400 41870 39800 设汽车轮胎行驶路程服从正态分布N μσ2（，），求 （1）μ的置信水平为0.95的单侧置信下限； （2）σ的置信水平为0.95的单侧置信上限。

解：根据样本观测值计算样本均值及其样本方差得到
2
0.0541220,2030155.556
,(9) 1.833
x s t ==
=。

（1）μ的置信水平为0.95的单侧置信下限是
0.05(9)l x μ=
， 代入可得 40394l μ=
（km ）
（2）由于22
21(1)(1)
n n s n ασχ--=- ，可得22342()n km σ=。

7．1 已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布2(4.40,0.05)N ，某日测得5炉水的含碳量如下：
54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 如果标准差不变，该日铁水含碳量的均值是否有显著差异？（取显著性水平0.05α=）
解：01: 4.40,: 4.40H H μμ= 给定显著性水平0.05α=，则0.05 1.645u =，
得到统计量~(0,1)x u N =
，代入数据，可得，
0.051.699u u =
=-- 。

则拒绝原假设，接受备择假设，认为该日铁水含碳量的均值在显著降低。

7．2 化肥厂用自动打包机包装化肥，某日测得9包化肥的质量（kg ）如下： 49.7 49.8 50.3 50.5 49.7 50.1 49.9 50.5 50.4
已知每包化肥的质量服从正态分布，是否可以认为每包化肥的平均质量为50kg?(取显著性水平0.05α=) 解：001:50,:50H H μμμ==≠， 计算可以得到 50.1,0.335x s ==，
得到统计量0.025~(8)x t t =
， 代入数据，得
0.0250.896(8)t t =
= ，
则可以认为每包化肥的平均质量为50kg 。

7．3在正常情况下，维尼纶纤度服从正态分布，方差不大于20.048，某日抽取5根纤维，测得纤度为
1.32 1.55 1.36 1.40 1.44
是否可以认为该日生产的，维尼纶纤度的方差是正常的？（取显著性水平0.01α=）
解:22220010:0.048,:0.048H H σσ≤ , 通过计算可得 2
3
7.78*10s -=，统计量 2
2
22
0(1)~(1)n s n χχσ-=-，
代入数据，可得
3
2
20.012
4*7.78*1013.51(4)(0.048)
χχ-== ， 所以拒绝原假设，接受备择假设。

认为该日生产的维尼纶纤度的方差不正常，而是显著变大了。

7．4 为了提高震动板的硬度，热处理车间选择两种淬火温度12,T T 进行试验，测得振动板的硬度数据如下：
1T ： 85.6 85.9 85.7 85.8 85.7 86.0 85.5 85.4 2T ： 86.2 85.7 86.5 85.7 85.8 86.3 86.0 85.8
设两种淬火温度下振动板的硬度都服从正态分布，检验：
（1）两种淬火温度下振动板硬度的方差是否有显著差异； (取显著性水平0.05α=)
（2）淬火温度对振动板的硬度是否有显著影响。

(取显著性水平0.05α=) 解：（1）2222001101:,:H H σσσσ=≠，
由数据得：22121285.7,86,0.04,0.091,0.239,9x y s s s n n ω=======。

得到统计量 22120.02522
12max{,}~(7,7)min{,}
s s F F s s =， 代入数据，可以得到 0.0250.091
2.275(7,7)0.04
F F =
= ， 接受原假设，决绝备择假设，可以问为两种淬火温度下振动板硬度的方差无显著差异。

（2）012112:,:H H μμμμ=≠， 得到统计量
12~(2)x y
t t n n =
+-
代入数据，可得
2.346t =
=-， 即 0.025|| 2.346(14)t t = ，所以认为淬火温度对振动板的硬度有显著影响。

7．5 某灯泡厂在使用一项新工艺的前后，各取10个灯泡进行寿命试验，计算得到采用新工艺前灯泡寿命的样本均值为2460h ，样本标准差为56h ；采用新工艺后灯泡寿命的样本均值为2550h ，样本标准差为48h 。

已知灯泡服从正态分布，能否认为采用新工艺后灯泡的平均寿命有显著提高？（取显著性水平0.01α=）
解：分别就均值和方差进行讨论： （1）012121:,:H H μμμμ=
得到统计量
12~(2)x y
t t n n =
+-，52.15s ω=，
代入数据，可得
3.86t =
=-， 即 0.01|| 3.86(18)t t = ，
所以认为采用新工艺后灯泡的平均寿命显著提高了。

（2）2222001101:,:H H σσσσ=≠，
得到统计量 22120.0122
12max{,}
~(9,9)min{,}
s s F F s s = 代入数据，可以得到 0.012550
1.0366(9,9)2460
F F =
= ， 可以认为采用了新工艺前后灯泡寿命的方差去显著性差异。

7.6 某工厂采用新法处理废水，对处理后的水所含某种有毒物的浓度，得到10个数据（单位：mg/L ）：22，14，17，13，21，16，15，19，18，设处理后的水
所含某种有毒物质的浓度()2~,X N μσ。

而以往用老方法处理废水后，该种有毒物质的平均浓度为19。

问，新方法是否比老方法好？（0.05α=，
0.050.025(9) 1.833,(8) 2.262t t ==） 解：0111:19,:19H H μμ≥ ， 则n=10，计算可得17.1, 2.92x S ==，
选取统计量()~1x T t n =
-
=-2.06，
可知0H 拒绝域为(,(1))t n α-∞-， 得0.05(9) 1.833T t -=-
则拒绝0H ，接受1H 可以认为处理废水的新方法的效果显著的好。

7.7设有甲、乙两种零件可以彼此代用，但是乙零件比甲零件制造简单，造价低。

经过试验获得抗压强度数据（单位2/kg cm ）为
甲：88 87 82 90 91 乙：89 89 90 84 88
已知甲、乙两种零件的抗压强度分别服从正态分布21(,)N μσ，22(,)N μσ，试问能否在保证抗压强度质量下，用乙种零件来代替甲种零件（0.05α=，
0.050.025(8) 1.86,(8) 2.31t t ==） 解：012112:,:H H μμμμ≤ ，
选取统计量()12~1x y
T t n n =
+-
= 1.1，
注： 2.21w S =
=， 得0.05(8)T t
则接受0H ，可以用乙种零件来代替甲种零件。

8．1进行农业实验，选择四个不同品种的小麦其三块试验田，每块试验田分成
结论：小麦品种对收获量有显著。

8.2某粮食加工产试验三种储藏方法对粮食含水率有无显著影响，现取一批粮食分成若干份，分别用三种不同的方法储藏，过段时间后测得的含水率如下表： 检验这三种储藏方法对含水率有无显著的影响。

可能用到的数据如下：0.05(2,12) 3.89F =，0.01(2,12) 6.93F =，0.05(3,12) 3.49F =0.01(3,12) 5.95F =
解：这是一个单因子方差分析的问题，则 26.89T S =， 14T f =， 18.66A S =， 2A f =， 8.23e T A S S S =-=， 12e f =。

0.0118.66/2
13.59(2,12)
8.2
3/12
F F =
≈
解：计算各个水平下的样本均值，得 1234557.75,87.75,53.5,73.5
,81.75.
x x x x x ===== 分别计算可得 5698.55,
3536.3,
2T A e S S S ===，
计算统计量F 的观测值，得
/(1)
6.13/()
A e S l F S n l -=
=- 。

于是写出但因素试验的方差分析表如下：
9.1为考察某种维尼纶纤维的耐水性，安排了一组试验，测的其中某甲醇浓度x （2） 求样本相关系数，
（3） 对建立的回归方程做显著性检验。

0.050.050.010.01(1,5) 6.61,(1,6) 5.99(1,5)16.26,(1,6)13.75F F F F ==⎛⎫
⎪==⎝⎭
解：（1）由样本的数据得，
1
168,n
i
i x
==∑
1
202.94,n
i
i y
==∑ 112,xx l = 8.49
,yy l = 29.6.xy l =
设y a bx =+ ，则0.26xy xx
l b l == ， 22.65a y bx =-=。

所以一元线性回归方程22.650.26y x =+。

（2）样本的相关系数
0.96l r ==，
（3）先计算几个平方和：
8.49,
7.82,0.67.T y y R e T R S l S S S S ====-= 6,
1,5.
T R e f f f ===
0.017.82
58.36(1,5)0.67/5
F F =
≈ ，
即在显著性水平0.01下回归方程是显著的。

9.2 电容器充电达到某电压作为时间计算的起点，以后电容器串联一电阻放电，
解：作散点图，可以知道U 与x 呈指数关系，即U 与x 近似的有
a b x
u e +=，
令ln y u =，则化为y 对x 的线性关系，即
y a b x =+，
算出对应的i y ，列表如下：
0.313,
4.6b a =-=
，
于是y 关于x 的直线回归方程为
4.6130.31y x =-
， 代回原变量，得电压U 对时间x 的曲线回归方程为
0.312
100.8y x U e e -==。

9.3 某中合金刚的抗拉强度1y （2/N mm ）和延伸率2y （%）与钢中含碳量x 有一定关系，下表是这种合金钢92炉钢样记录数据合并后的数据：
（1） 分别建立指标1y ，2y 关于含碳量x 的回归直线方程，并检验线性回归效
果是否显著。

（2） 根据生产需要，此种合金钢的抗强度1y 应大雨32 2/N mm ，而延伸率2y 应大雨33%，这时若以95%的把握满足上述要求，应把钢的含碳量控制在什么范围？
解：（1）求1y 与x 的回归直线方程11y a b x =+。

1
10.1336,46.9286,0.04, 4.1337,
x x
x y x y l l ==== 而11103.3.49xy xx
l b l == ，
11133.127a y b x =-=。

于是 33.12
7103.30y x =+。

检验 111430.11xy U b l ==
， 又 1130832.07y y l =， 故 111133.42y y Q l U =-=， 1
0.011154.44(1,12)9.33
/(2)
U F F Q n =
==- ，
所以1y 与x 见的直线回归显著。

（2）求2y 与x 的回归直线方程222y a b x =+。

22220.1336,37.2429,101.25, 1.577,y y xy x y l l ====-
而2239.3267xy
xx
l b l ==- ，
22242.4969
a y
b x =-=。

于是 42.496939.32y x =-。

检验 22262.0182xy U b l ==
，222239.2318y y Q l U =-=，
2
0.01218.97(1,12)9.33/(2)
U F F Q n =
==- 。

所以2y 与x 间的线性相关也是显著的。

（3）求x 的控制范围，
1 1.6688σ==
，
2 1.8081σ=
=
，
在置信度为95%下的预测直线为
1y ：33.127103.3049 3.3376x ++， 2y ：42.496939.3267 3.6162x -+， 令33.127103.3049 3.337632x ++ ，
42.496939.3267 3.616233x -+ 。

解出0.002%0.15%x ，即只要把含碳量控制在0.0222%~0.15%之间，就有95%的把握，使得合金抗强度1y 和延伸率2y 达到生产要求。