2015届高考苏教版数学大一轮复习配套课件：第11章 第3节 二项式定理

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第十三页，编辑于星期五：十点 三十二分。
第三节 二项式定理 结束
2．(2014·浙江五校联考)在x2＋1x5 的展开式中 x 的系数为 __________． 解析：∵Tr＋1＝Cr5(x2)5－r1xr＝Cr5x10－3r， ∴x 的系数为
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第三节 二项式定理 结束
第三节 二项式定理
1．二项式定理 (1)定理 公式(a＋b)n＝C0nan＋C1nan－1b＋…＋Crnan－rbr＋…＋Cnnbn(n ∈N*) 叫做二项式定理．
(2)通项 Tr＋1＝Crnan－rbr 为展开式的第 r＋1 项．
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第三节 二项式定理 结束
1．赋值法研究二项式的系数和问题 “赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如 (ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数 之和，常用赋值法，只需令 x＝1 即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈ R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令 x＝y＝1 即可．
∴0＝1＋a21＋a222＋…＋2a22 001133.
即a21＋a222＋…＋a222 001133＝－1 答案：－1
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第三节 二项式定理 结束
在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查 学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有：
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[典例] (1)(2014·北京西城一模)若3x－31x2m 的展开式
中二项式系数之和为 128，则展开式中x13的系数是________． (2)(2013·成都诊断)若(1－2x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋
a4x4，则 a1＋a2＋a3＋a4＝________.
项的二项式系数相等并最大． 4．二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用
待定系数法，设展开式各项系数分别为 A1，A2，…，An＋1，且第
r 项系数最大，应用AArr≥ ≥AArr－ ＋11 从而解出 r 来，即得．
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2．(2014·深圳调研)若(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋ a5x5，则 a3＝________. 解析：根据已知条件得，T3＋1＝C35(2x)3＝80x3， ∴a3＝80. 答案：80
第三节 二项式定理 结束
4．各二项式系数的和 (a＋b)n 的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即 Cn0＋ Cn1＋C2n＋…＋Crn＋…＋Cnn ＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二 项式系数的和，即 Cn1＋C3n＋Cn5＋… ＝Cn0＋C2n＋Cn4＋… ＝ 2n－1 .
1几个多项式和的展开式中的特定项系数问题 2几个多项式积的展开式中的特定项系数问题 3三项展开式中的特定项系数问题
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角度一 几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题 1.x3－2x4＋x＋1x8 的展开式中的常数项为________．
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第三节 二项式定理 结束
1．二项式的通项易误认为是第 r 项实质上是第 r＋1 项． 2．(a＋b)n 与(b＋a)n 虽然相同，但具体到它们展开式的某 一项时是不相同的，所以公式中的第一个量 a 与第二个量 b 的 位置不能颠倒． 3．易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二 项式系数”等概念，注意项的系数是指非字母因数所有部分， 包含符号，二项式系数仅指 Crn(r＝0,1，…，n)．
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第三节 二项式定理 结束
[试一试] 1．(2014·无锡调研)化简 C22n＋C24n＋…＋C22kn＋…＋C22nn的值为
________． 解析：(1＋x)2n＝C02n＋C12nx＋C22nx2＋C32nx3＋…＋C22nnx2n. 令 x＝1 得 C02n＋C21n＋C22n＋…＋C22nn－1＋C22nn＝22n； 再令 x＝－1 得 C20n－C12n＋C22n－…＋(－1)rCr2n＋…－C22nn－1＋C22nn＝0. 两式相加得 2(C02n＋C22n＋…＋C22nn)＝22n，又 C02n＝1， 得 C22n＋C42n＋…＋C22kn＋…＋C22nn＝222n－1＝22n－1－1. 答案：22n－1－1
为第________项． 解析：Tr＋1＝C1r52rxr，由 Cr1－5 12r－1≤Cr152r，Cr1＋5 12r＋1≤C1r52r
⇒239≤r≤332，r＝10，所以第 11 项的系数最大．答案：11
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1．(2013·江西高考改编)x2－x235 展开式中的常数项为________． 解析：Tr＋1＝C5r·(x2)5－r·－x23r＝Cr5·(－2)r·x10－5r，令 10－5r ＝0，得 r＝2，故常数项为 C52×(－2)2＝40. 答案：40
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第三节 二项式定理 结束
[类题通法] 1．二项式定理给出的是一个恒等式，对于 a，b 的一切
值都成立．因此，可将 a，b 设定为一些特殊的值．在使用赋
值法时，令 a，b 等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、
－1 或 0”，有时也取其他值．
第三节 二项式定理 结束
[练一练] 1．设 a∈Z，且 0≤a＜13，若 512 012＋a 能被 13 整除，则 a
＝________. 解析：512 012＋a＝(13×4－1)2 012＋a，被 13 整除余 1＋a，
结合选项可得 a＝12 时，512 012＋a 能被 13 整除．
答案：12 2．若 x∈(0，＋∞)，则(1＋2x)15 的二项展开式中系数最大的项
2．利用二项式定理解决整除问题的思路 要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子
按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可．因此， 一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开．
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第三节 二项式定理 结束
3．二项式系数最大项的确定方法 (1)如果 n 是偶数，则中间一项第n2＋1项的二项式系数最大； (2)如果 n 是奇数，则中间两项第n＋2 1项与第n＋2 1＋1
性质
内容
当 n 是偶数时，中间一项第 n2＋1项的二项式系数最大，
n
最大值
最大值为 C n 2 ； 当 n 是奇数时，中间两项第
n－2 1＋1项和第n＋2 1＋1项
)
n－1
的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为Cn 2
n＋1
或Cn 2
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2．一般地，若 f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则 f(x)
的展开式中各项系数之和为 f(1)，奇数项系数之和为 a0＋a2
＋a4＋…＝f1＋2f－1，偶数项系数之和为 a1＋a3＋a5＋…＝
f1－f－1 2.
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3．(2013·安徽高考)若x＋3ax8 的展开式中 x4 的系数为 7，则 实数 a＝________.
解析：二项式x＋3ax8 展开式的通项为 Tr＋1＝C8rarx8－43r， 令 8－43r＝4，可得 r＝3，故 C38a3＝7，易得 a＝12. 答案：12
(2)令 x＝1 可得 a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1，令 x＝0，可得 a0＝1，所以 a1＋a2＋a3＋a4＝0.
[答案] (1)21 (2)0
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在本例(2)中条件不变，问题变为“求|a0|＋|a1|＋|a2| ＋|a3|＋|a4|”. 解 ： 由 题 意 知 (1 ＋ 2x)4 ＝ a0 ＋ |a1|x ＋ |a2|x2 ＋ |a3|x3 ＋ |a4|x4，令 x＝1 得 a0＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＝34＝81.
[针对训练] 若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 013x2 013，则a21＋2a22＋…
＋2a22 001133＝________. 解析：当 x＝0 时，左边＝1，右边＝a0，∴a0＝1.
当 x＝12时，左边＝0，右边＝a0＋a21＋a222＋…＋2a22 001133，
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第三节 二项式定理 结束
[类题通法] 求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化 简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为 零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数 r＋1，代回通项 公式即可．
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第三节 二项式定理 结束
3．二项式系数的性质
性质
内容
对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等，即 Cmn ＝Cnn－m
增减性
当 r＜n＋2 1 时，二项式系数逐渐增大； 当 r＞n＋2 1时，二项式系数逐渐减小
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[解析] (1)∵2m＝128，∴m＝7，∴展开式的通项 Tr＋1 ＝Cr7(3x)7－r·－31x2r＝Cr737－r(－1)rx7－53r，令 7－53r＝－3， 解得 r＝6，∴x13的系数为 C6737－6(－1)6＝21.
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角度二 几个多项式积的展开式中的特定项(系数)问题 2．(2013·全国课标卷Ⅱ改编)已知(1＋ɑx)(1＋x)5 的展开式中 x2
的系数为 5，则ɑ＝________. 解析：展开式中含 x2 的系数为 C25＋aC51＝5，解得 a＝－1. 答案：－1
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2．二项式系数与项的系数 (1)二项式系数 二项展开式中各项的系数 Cnr (r∈{0,1，…，n})叫做二项 式系数． (2)项的系数 项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二 项式系数是两个不同的概念．
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解析：x3－2x4 的展开式的通项为 Tm＋1＝Cm4 (x3)4－m·－2xm ＝Cm4 (－2)mx12－4m，令 12－4m＝0，解得 m＝3，x＋1x8 的展开式的通项为 Tn＋1＝Cn8x8－n1xn＝Cn8x8－2n，令 8－2n ＝0，解得 n＝4，所以所求常数项为 C43(－2)3＋C48＝38. 答案：38
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第八页，编辑于星期五：十点 三十二分。
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3．(2014·沈阳模拟)设二项式(x－ax)6 的展开式中 x2 的系数为 A，常数项为 B，若 B＝4A，则 a＝________. 解析：Tr＋1＝C6rx6－r·－axr＝(－a)rCr6x6－2r，令 6－2r＝2， 得 r＝2，A＝a2C26＝15a2；令 6－2r＝0，得 r＝3，B＝－ a3C36＝－20a3，代入 B＝4A 得 a＝－3. 答案：－3