福州市2021届高三3月质量检查数学试题+答案

2021年3月福州市高中毕业班质量检测数学试题
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合{1,2,3,4,5}A =，{21,}B x x k k A ==+∈∣，则A B ⋂= A. {1,3} B. {2,4} C. {3,5} D.
{1,3,5}
2.设复数(,)z a bi a b =+∈∈Z Z ，则满足|1|1z -的复数z 有 A. 7个 B. 5个 C. 4个 D. 3个
3.“5m ”是“2
450m m --”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 4.若抛物线2y mx =上一点(,2)t 到其焦点的距离等于 ，则 A. 14m =
B. 1
2
m = C. 2m = D. 4m = 5.已知函数()ln f x x =，则函数1
(
)1y f x
=-的图象大致为
A B C D
6.在ABC △中，E 为AB 边的中点，D 为AC 边上的点，BD ，CE 交于点F .若3177AF AB AC =+，则 AC AD
的值为
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
7.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学.如图，有一列曲线P 0，P 1，…，P n ，….已知P 0是边长为1的等边三角形，P k +1是对P k 进行如下操作而得到：将P k 的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉(0,1,2,)k =..记P n 的周长为L n 、所围成的面积为S n .对于n N ∀∈，下
列结论正确的是
P 0 P 1 P 2 … P n … A. n n S L ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭为等差数列 B. n n S L ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
为等比数列 C. 0M ∃>，使n L M <
D. 0M ∃>，使n S M < 8. 已知函数()2sin()(0,||)2f x x π
ωϕωϕ=+><
的图象过点(0,1)，在区间,123ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
上为单调函数，把()f x 的图象向右平移π个单位长度后与原来的图象重合.设125,,26
x x ππ
⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
且12x x ≠，若()()12f x f x =，则()12f x x +的值为 A. 3- B. 1-
C. 1
D.
3
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9. “一粥一饭，当思来之不易”，道理虽简单，但每年我国还是有2000多亿元的餐桌浪费，被倒掉的食物相当于2亿多人一年的口粮.为营造“节约光荣，浪费可耻”的氛围，某市发起了“光盘行动”.某机构为调研民众对“光盘行动”的认可情况，在某大型餐厅中随机调查了90位来店就餐的客人，制成如右所示的列联表，通过计算得到K 2的观测值为
已知()
2 6.6350.010P K =，()
210.8280.001P K =，则下列判断正确的是 A.在该餐厅用餐的客人中大约有66.7%的客人认可“光盘行动” B.在该餐厅用餐的客人中大约有99%的客人认可“光盘行动” C.有99%的把握认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关
D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为“光盘行动”的认可情况与年龄有关
10.如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB ∥平面MNP 的是
A B C D
11.已知P 是双曲线22:
145x y E -=在第一象限上一点，F 1，F 2分别是E 的左、右焦点，12PF F △的面积为15
2
.则以下结论正确的是 A.点P 的横坐标为
52
B.
123
2
F PF π
π
<∠<
C. 12PF F △的内切圆半径为1
D. F PF ∠平分线所在的直线方程为3240x y --=
12. 在数学中，双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh 2x x
e e x --=
和双曲余弦函数cosh 2
x x
e e x -+=等.双曲函数在物理及生活中有着某些重要的应用，譬如达·芬奇苦苦思索的悬链线（例
如固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线即为悬链线）问题，可以用双曲余弦型函数来刻画.则下列结论正确的是 A. 2
2
cosh sinh 1x x +=
B. cosh y x =为偶函数，且存在最小值
C. 00x ∀>，()00sinh sinh sinh x x >
D. 12,x x R ∀∈，且12x x ≠，
12
12
sinh sinh 1x x x x ->-
第II 卷
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.
13.设x ，y 满足约束条件40,260, 0,x y x y y +-⎧⎪
+-⎨⎪⎩
则2x y -的取值范围为 .
14. 5
x ⎛
⎝
的展开式中，1x 的系数为 . 15.在三棱锥P ABC -中，侧面P AC 与底面ABC 垂直，90BAC ∠=︒，30PCA ∠=︒，3AB =，2PA =.则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为 .
16.已知圆C 的方程为2
2
(2)(1)4x y -+-=，过点(2,0)M 的直线与圆C 交于P ，Q 两点（点Q 在第四象限）.若
2QMO QPO ∠=∠，则点P 的纵坐标为 .
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）
在①21n n S a =+；②11a =-，()21log 21n n a a n +=-；③2
12n n n a a a ++=，23S =-，34a =-这三个条件中任选一
个，补充在下面问题的横线上，并解答.
问题：已知单调数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足 . （1）求{}n a 的通项公式；
18.（本小题满分12分）
在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos cos a b c B b C +=-. （1）求角C 的大小；
（2）设CD 是ABC △的角平分线，求证：111
CA CB CD
+=. 19.（本小题满分12分）
如图，在三棱台111ABC A B C -中，11111AA AC CC ===，2AC =，1A C AB ⊥. （1）求证：平面11ACC A ⊥11ABB A ；
（2）若90BAC ∠=︒，1AB =，求二面角1A BB C --的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆22
22:1(0) x y E a b a b
+=>>的左、右顶点分别为1(A ，2A ，上、下顶点分别为B 1，B 2，四
边形1221A B A B 的周长为 （1）求E 的方程；
（2）设P 为E 上异于A 1，A 2，的动点，直线A 1P 与y 轴交于点C ，过A 1作12A D PA ∥，交y 轴于点D .试探究在x 轴上是否存在一定点Q ，使得3QC QD ⋅=，若存在，求出点Q 坐标；若不存在，说明理由. 21. （本小题满分12分）
从2021年1月1日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额存单.协定存款年利率为1.68%，有效期一年，服务期间客户帐户余额须不少于50万元，多出的资金可随时支取；七天通知存款年利率为1.8%，存期须超过7天，支取需要提前七天建立通知；结构性存款存期一年，年利率为3.6%；大额存单，年利率为3.84%，起点金额1000万元.（注：月利率为年利率的十二分之一） 已知某公司现有2020年底结余资金1050万元.
（1）若该公司有5个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产品且不能弃权，求恰有3个股东选择同一种产品的概率；
万元作为公司的日常开销.将余下500万元中的x 万元作七天通知存款，准备投资高新项目，剩余(500)x -万元作结构性存款.
①求2021年全年该公司从协定存款中所得的利息；
②假设该公司于2021年7月1日将七天通知存款全部取出，本金x 万元用于投资高新项目，据专业机构评估，该
笔投资到2021年底将有60%的概率获得3
20.020.13530000
x x x -
++万元的收益，有20%的概率亏损0.27x 万元，有20%的概率保本.问：x 为何值时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大，并求最大值.
22.（本小题满分12分） 已知2()e 1x
f x x =-.
（1）判断()f x 的零点个数，并说明理由； （2）若()(2ln )f x a x x +，求实数a 的取值范围.
2021年3月福州市高中毕业班质量检测
数学参考答案及评分细则
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. C 2.B 3.B 4.A 5. D 6.C 7.D 8.C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 9. AC 10.ABD 11.BCD 12.BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13.
[2,4]- 14. 5 15. 25π 16.
12
四、解答题：本大题共6小题，共70分. 17.（本小题满分10分）
【命题意图】本小题主要考查等比数列、n a 与n S 的关系、数列求和等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；考查逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分10分. 【解答】（1）选①，即21n n S a =+（i ）则 当1n =时，1121S a =+，11a =-；
（i ）（ii ）两式相减得12n n a a -=，
所以{}n a 为等比数列，其中公比为2，首项为1-.
所以12n n a -=-.
选②，即11a =-，()21log 21n n a a n +=- 所以当2n 时，()()2121log log 2n n n n a a a a +--= 即
1
1
4n n a a +-=， 所以{}*21()k a k -∈N 为等比数列，其中首项为11a =-，公比为4，
所以1(21)1
21142k k k a ----=-⨯=-.
由11a =-，()212log 1a a =，得22a =-，
同理可得，121
*2 24)2
(k k k a k --=-⨯=-∈N . 综上，1
2n n a -=-
选③，即2
12n n n a a a ++=，23S =-，34a =-.
所以{}n a 为等比数列，设其公比为q ，
则121(1)3,4,a q a q +=-⎧⎨=-⎩解得11,2,a q =-⎧⎨=⎩或19,
2,3a q =-⎧⎪⎨=-⎪⎩
又因为{}n a 为单调数列，所以0q >，故11,
2,
a q =-⎧⎨
=⎩
所以12n n a -=-.
（2）由（1）知，1
2n n na n --=⋅， 所以2
2112232(1)22,n n n T n n --=+⨯+⨯+
+-⋅+⋅
2212222(2)2(1)22n n n n T n n n --=+⨯+
+-⋅+-⋅+⋅，
两式相减得2
21122222n n n n T n ---=+++
++-⋅
()212n n n =--⋅
18.（本小题满分12分）
【命题意图】本小题主要考查解三角形等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分. 【解答】解法一：（1）因为cos cos a b c B b C +=-， 由正弦定理得sin sin sin cos sin cos A B C B B C +=-， 因为sin()sin()sin B C A A π+=-=，
所以sin()sin sin cos sin cos B C B C B B C ++=-， 所以2sin cos sin 0B C B +=，
因为(0,)B π∈，所以sin 0B ≠，所以1
cos 2
C =-
又(0,)C π∈，所以23
C π=
（2）因为CD 是ABC △的角平分线，且23
C π=
， 所以3
ACD BCD π
∠=∠=
.
在ABC △中，ABC ACD BCD S S S =+△△△，则由面积公式得
1211sin sin sin 232323
CA CB CA CD CD CB πππ⋅=⋅+⋅， 即CA CB CA CD CD CB ⋅=⋅+⋅. 两边同时除以CA CB CD ⋅⋅得
111
CA CB CD
+=.
解法二：（1）因为cos cos a b c B b C +=-，
222222
a c
b a b
c +-+-
整理得222()22a a b c b +=-，即222
0a b c ab +-+=， 所以(12cos )0ab C +=，
所以1cos 2
C =-
， 又(0,)C π∈，所以23
C π=
. （2）因为CD 是ABC △的角平分线，且23
C π=
， 所以3
ACD BCD π
∠=∠=
.
在ABC △中，由正弦定理得
2sin sin sin 3
CA CB AB
B A π==
， 即sin sin sin sin 33
CA CB AD DB B A ππ==+
. 同理在CAD △和CBD △中，得
sin sin 3CD AD A π=，sin sin 3
CD DB
B π=， 所以
sin sin sin CA CD CD B A B =+，即sin sin CA CD CD B A
-=， 故
CA CD CD CA CB -=，即1CD CD
CB CA =+，
故
111CA CB CD
+=.
力、运算求解能力与空间想象能力；考查数形结合思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性.满分12分.
【解答】（1）依题意，四边形11ACC A 为等腰梯形，过1A ，1C 分别引AC 的垂线，垂足分别为D ，E ，则
()1111111
(21)2222
AD AC AC AA =
-=⨯-==，故160A AC ∠=︒. 在1ACA △中，2
2
2
2
2
1
1111
2cos 1221232
AC A A AC A A AC A AC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=， 所以222
11A C A A AC +=，故1
90AAC ∠=︒，即11A C AA ⊥. 因为1A C AB ⊥，1AB AA A ⋂=，且AB ，1AA ⊂平面11ABB A ，
所以111 AC ABB A ⊥平面， 因为1
11 AC ACC A ⊂平面， 所以1111ACC A ABB A ⊥平面平面平面.
（2）因为AB AC ⊥，1A C AB ⊥，1AC AC C ⋂=，且AC ，1
1AC ACC A ⊂平面，所以11 AB ACC A ⊥平面，结合（1）可知AB ，AC ，A 1D 三条直线两两垂直. 以A 为原点，分别以1,,AB AC DA 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A-xyz ，如图所示，则各点坐标为
(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,2,0)C ，110,2A ⎛ ⎝⎭，130,2C ⎛ ⎝⎭
.
由（1）知，30,,1)n AC ⎛==-=-为平面ABB A 的法向量.
(1,2,0)BC =-
，110,,22C C ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 设2(,,)n x y z =为平面11BCC B 的法向量，则
221,,n BC n C C ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩
故22120,10,2n BC x y n C C y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩
取2(23,n =， 所以121212311cos ,244
n n n n
n n ⋅-===
⨯ 设二面角1A BB C --的大小为θ，则sin θ=
=. 20.（本小题满分12分）
【命题意图】本小题主要考查直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性与创新性.满分12
分.
【解答】解法一：（
1）依题意，a =由椭圆的对称性可知，四边形1221A B A B 为菱形，其周长为=.
所以1b =
所以E 的方程为2
212
x y +=. （2）设(
)00,P x
y ，则220022y x =-，
直线1A
P
的方程为y x =，故C
⎛⎫
⎝， 由12A D PA ∥知1A D
的方程为y x =，故D
⎛⎫
⎝，
假设存在(,0)Q t
，使得3QC QD ⋅=，则
QC QD t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎝⎝
22
02022y t x =+- 22
02022x t x -=+-
21t =-
3=.
解得2t =±.
所以当Q 的坐标为(2,0)±时，3QC QD ⋅=
解法二（1）同解法一.
（2）当点P 与点B 1重合时，C 点即1(0,1)B ，而点D 即2(0,1)B -，假设存在(,0)Q t ，使得3QC QD ⋅=，则(,1)(,1)3t t -⋅--=，即213t -=，解得2t =±.
以下证明当Q 为(2,0)±时，3QC QD ⋅=
设()00,P x y ，则220022y x =-，
直线A 1P
的方程为y x =+
，故C ⎛⎫ ⎝. 由12A D PA ∥知A 1D
的方程为 y x =+
，故D ⎛⎫ ⎝，
所以QC QD t t ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅- ⎝⎝ 22
02022y t x =+- 2020242x x -=+- 41=-
3=.
说明：Q 只求出(2,0)或(2,0)-，不扣分.
21.（本小题满分12分）
【命题意图】本小题主要考查古典概型、概率分布列、等差数列、导数等基础知识；考查数据处理能力、推理论证能力、运算求解能力与创新意识；考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、必然与或然思想；考查数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现综合性、应用性与创新性.满分12分.
【解答】（1）设恰好有3个股东同时选择同一款理财产品的事件为A ，由题意知，5个股东共有45种选择，而恰好
有3个股东同时选择同一款理财产品的可能情况为()
323544C A A ⋅+种， 所以()
323544545()4128
C A A P A ⋅+==.
（2）①2021年全年该公司从协定存款中所得的利息为： 0.0168[(55050045010050)50]12++++++⨯ 5505011500.0014 4.692+⎡⎤=⨯+⨯=⎢⎥⎣⎦
（万元）. ②由条件，高新项目投资可得收益频率分布表
投资收益 t 3
20.020.13530000
x x x -++ 0 0.27x - P 0.6 0.2 0.2
所以，高新项目投资所得收益的期望为：
3
232()0.020.1350.600.20.20.270.000020.0120.02730000x E t x x x x x x ⎛⎫=-++⨯+⨯-⨯=-++ ⎪⎝⎭
所以，存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为： 326()0.000020.0120.0270.036(500)0.018 4.6912
L x x x x x x =-+++⨯-+⨯
+ 320.000020.01222.69(0500)x x x =-++. ()2 '()0.00006400L x x x =--
令'()0L x =，得400x =，或0x =.
由'()0L x >，得0400x <<；由'()0L x <，得400500x <<.
由条件可知，当400x =时，()L x 取得最大值为：(400)662.69L =（万元）.
所以当400x =时，该公司2021年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望取得最大值662.69万元.
22.（本小题满分12分）
【解答】解法一：（1）依题意，'()(2)e x
f x x x =+，则
当(,2)(0,)x ∈-∞-⋃+∞时，'()0f x >；当(2,0)x ∈-时，)'(0f x <
所以()f x 在区间(,2),(0,)-∞-+∞上单调递增，在区间(2,0)-上单调递减. 因为24(2)10e
f -=-<，(1)e 10f =-> 所以()f x 有且只有1个零点.
（2）令2()e (2ln )1x
F x x a x x =-+-，则
()2(2)e (2)'()(2)e (0)x x x x a a x F x x x x x x
+-+=+-=>. ①若0a ，则'()0F x >，()F x 为增函数，
111112ln 1ln 402222F a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=---< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，不合题意； ②若0a >，令2()e (0)x h x x x =>，易知()h x 单调递增，且值域为(0,)+∞，则存在00x >，使得020e x x a =，即
002ln ln x x a +=.
当()00,x x ∈时，'()0F x <，()F x 单调递减；
当()0,x x ∈+∞时，'()0F x >，()F x 单调递增.
()()02min 0000()e 2ln 1ln 1x F x F x x a x x a a a ==-+-=--，
令()ln 1a a a a ϕ=--，'()ln a a ϕ=-，
当01a <<时，'()ln 0a a ϕ=->；当1a >时，'()ln 0a a ϕ=-<；
所以()(1)0a ϕϕ=，
由()0F x 得()0a ϕ，所以1a =.
综上，a 的取值范围是{1}.
解法二：（1）同解法一.
（2）令2e x
t x =，当0x >时，0t >，
则ln 2ln t x x =+，故()(2ln )1ln f x a x x t a t +⇔-. 令()1ln F t t a t =--，则'()1a t a F t t t
-=-=， ①若0a ，则'()0F t >，()F x 为增函数，又(1)0F =，故当01t <<时，()0F t <，不合题意. ②若0a >，则当(0,)t a ∈时，'()0F t <；当(,)t a ∈+∞时，'()0F t >；
所以()F t 在区间(0,)a 上单调递减，在区间(,)a +∞上单调递增，
因为(1)0F =，所以
若1a >，则当(1,)t a ∈时()0F t <，不合题意；
若01a <<，则当(,1)t a ∈时()0F t <，不合题意；
若1a =，则()(1)0F t F =，符合题意. 综上，a 的取值范围是{1}.。