甘肃省兰州市兰大附中2024学年高二上数学期末检测模拟试题含解析
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所以命题 q 为真命题， q 为假命题，
所以 (p) q 为真命题， p q ， p (q) ， (p) (q) 为假命题.
故选：A. 4、B 【解题分析】求出圆心坐标和半径后，直接写出圆的标准方程.
【题目详解】由
x
x
1 y
2
得
x
y
1 1
，
即所求圆的圆心坐标为 (1,1) .
由该圆过点 (1, 0) ，得其半径为 1，
取得最小值，从而求得 Q 点的坐标.
【题目详解】设 OQ OP ，则 QA ＝ OA － OQ ＝ OA －λ OP ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
QB ＝ OB － OQ ＝ OB －λ OP ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以
QA
QB
＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝
故有①②④三个
故选:C 7、C 【解题分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案.
【题目详解】由题可知，圆的标准方程为 (x 1)2 ( y 2)2 9 ，
所以圆心为 1, 2 ，半径为 3，
故选 C .
8、A
【解题分析】由题目条件可得 z 1 2i 4 3i 5 ，即 z 5 ，然后利用复数的运算法则化简.
②若点 P 到点 A 的距离为 2 ，则动点 P 的轨迹是一个周长为 2 的圆
③若点 P 到直线 AB 的距离与到点 C 的距离之和为 1，则动点 P 的轨迹是椭圆
④若点 P 到平面 BAA1B1 的距离与到直线 CD 的距离相等，则动点 P 的轨迹是抛物线
A.1
B.2
C.3
D.4
7．圆 x2 y2 2x 4 y 4 0 的圆心坐标与半径分别是（ ）
21．（12 分）某城镇为推进生态城镇建设，对城镇的生态环境、市容市貌等方面进行了全面治理，为了解城镇居民对 治理情况的评价和建议，现随机抽取了 200 名居民进行问卷并评分（满分 100 分），将评分结果制成如下频率分布直方 图，已知图中 a，b，c 成等比数列，且公比为 2
（1）求图中 a，b，c 的值，并估计评分的均值（各段分数用该段中点值作代表）； （2）根据统计数据，在评分为“50～60”和“80～90”的居民中用分层抽样的方法抽取了 6 个居民．若从这 6 个居民中随 机选择 2 个参加座谈，求所抽取的 2 个居民中至少有 1 个评分在“80～90”的概率
（1）若 b 2 ，直线 l 与圆相交与 A、B ，求弦长| AB |
（2）若直线与圆无公共点求 b 的取值范围
20．（12
分）双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的离心率为
5 ，虚轴的长为 4.
（1）求 a, b 的值及双曲线 C 的渐近线方程；
（2）直线 y kx 2 与双曲线 C 相交于互异两点，求 k 的取值范围.
最小值时，点 Q 的坐标为（）
A.
1 2
,
3 4
,
1 3
B.
1 2
,
2 3,3 4源自C.4 3,
4 3
,
8 3
D.
4 3
,
4 3
,
7 3
3．命题 p :若 a b ，且 ab 0 ，则 ln a 0 ，命题 q :在 ABC 中，若 A B ，则 sin A sin B .下列命题中为真命题 b
甘肃省兰州市兰大附中 2024 学年高二上数学期末检测模拟试题
请考生注意： 1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答 案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
1 2i
【题目详解】因为 4 3i 5 ，所以 z 1 2i 4 3i 5 ，
则
z
5 1 2i
51 2i 1 2i1 2i
5 10i 5
1 2i
故复数 z 的虚部为 2 .
故选：A. 【题目点拨】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单. 9、A
【解题分析】确定矩形 ABCD 四边的距离均不小于的点 M 构成的区域，由几何概型面积型的公式计算可得结果. 【题目详解】若点 M 与矩形 ABCD 四边的距离均不小于1，则其落在如图所示的阴影区域内，
【题目详解】若点 P 总满足 PA BD ，又 AC BD ， C1C BD ， AC C1C C ，可得 BD 对角面 AC1，因此
点 P 的轨迹是直线 CC1 ，故①正确
.若点 P 到点 A 的距离为 2 ，则动点 P 的轨迹是以点 B 为圆心，以 1 为半径的圆（在平面 BCC1B1内），因此圆的周长
5．直线 2x 3y 6 0在 y 轴上的截距是
A. 2
B. 3
C. 3
D. 2
6．在如图所示的棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 在侧面 BCC1B1 所在的平面上运动，则下列四个命题
中真命题的个数是（ ）
①若点 P 总满足 PA BD ，则动点 P 的轨迹是一条直线
后两项之差组成新数列 2，3，4，新数列 2，3，4 为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，
其前 7 项分别为 2，3，5，8，12，17，23 则该数列的第 100 项为（ ）
A.4862
B.4962
C.4852
D.4952
2．已知 O 为坐标原点， OA ＝(1,2,3)， OB ＝(2,1,2)， OP ＝(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，则当 QA QB 取得
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数到与
一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列 1，3，6，10，前
D.
3 2
,
1 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．函数 f (x) 2x2 1的图象在点 (1, 1) 处的切线方程为___________.
14．执行如图所示的程序框图，则输出的 S＝__.
15．在等比数列an中， a1 2 ， a4 128 ，若数列bn满足 bn log2 an ，则数列bn的前 20 项和为________
所以 an an an1 an1 an2 a2 a1 a1
n 1 n 2 1 2 n 11n 1 2 n n 1 2, n 2.
2
2
所以 a100
100 99 2
2
4952
.
故选：D
2、C
【解题分析】设 OQ OP ，用 表示出 QA,QB ，求得 QA QB 的表达式，结合二次函数的性质求得当 4 时，QA QB 3
2
3
4 3
2
1 3
.
所以当
λ＝
4 3
时，
QA
QB
取得最小值，此时
OQ
＝
4 3
OP
＝
4 3
,
4 3
,
8 3
，
即点
Q
的坐标为
4 3
,
4 3
,
8 3
.
故选：C
3、A
【解题分析】根据不等式 性质及对数函数的单调性判断命题 p 的真假，根据大角对大边及正弦定理可判断命题 q 的
真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.
2 ，则椭圆T 的离心率为（）
A. 6 3
B. 3 3
C. 2 2
D. 3 2
12．已知直线 l : y x 1，椭圆 C : x2 y2 1 ．若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的坐标为（ ） 3
A.
1 4
,
3 4
B.
3 4
,
1 4
C.
1 2
,
3 2
16．已知函数 f (x) ln x x 1的图象上有一点 P(m, 2) ，则曲线 y f (x) 在点 P 处的切线方程为______.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12 分）求适合下列条件的曲线的标准方程：
（1） a 4，b 5 ，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程； （2）焦点在 y 轴上，且焦点到准线的距离是 2 的抛物线的标准方程
A. 3
B. 2
10
5
C. 3
D. 4
5
5
10．将一张坐标纸折叠一次，使点 2, 0 与 6,8 重合，求折痕所在直线是（）
A. x y 6 0
B. x y 6 0
C. x y 6 0
D. x y 6 0
11．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几
乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k(k 0 且 k 1) 的点的轨迹是圆，
后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆 T
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0), A, B 为椭圆T
长轴的端点， C, D 为椭圆T
短轴的端
ME 点， E ， F 分别为椭圆T 的左右焦点，动点 M 满足 MF 2, MAB 面积的最大值为 4 6, MCD 面积的最小值为
的 【题目详解】解：若ab，且ab 0，则0 a ， b
当 a b 0 时， a 1，所以 ln a 0 ，
b
b
当 0 a b 时， 0 a 1，所以 ln a 0 ，
b
b
综上命题 p 为假命题，则 p 为真命题，
在 ABC 中，若 A B ，则 a b ，
由正弦定理得 sin A sin B ，
22．（10
分）已知双曲线
C 的方程为
2y2 a2
2x2
1（ a
0 ），离心率为
2.
（1）求双曲线 C 的标准方程；
（2）过 E(0,1) 的直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点，求 EM EN 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D
故圆的方程为 (x 1)2 ( y 1)2 1 .
故选：B.
【题目点拨】本题考查了圆的标准方程，属于基础题. 5、D 【解题分析】在 y 轴上的截距只需令 x=0 求出 y 的值即可得出. 【题目详解】令 x=0，则 y=-2，即直线在 y 周上的截距为-2， 故选 D. 6、C 【解题分析】根据线面关系、距离关系可分别对每一个命题判断.
的是（）
A. (p) q
B. p q
C. p (q)
D. (p) (q)
4．经过点 (1, 0) 且圆心是两直线 x 1 与 x y 2 的交点的圆的方程为（ ）
A. (x 1)2 y2 1
B. (x 1)2 ( y 1)2 1
C. x2 ( y 1)2 1
D. (x 1)2 ( y 1)2 2
【解题分析】根据题意可得数列 2，3，5，8，12，17，23，，满足： an an1 n 1(n 2) ， a1 2 ，从而利用累
加法即可求出 an ，进一步即可得到 a100 的值 【题目详解】2，3，5，8，12，17，23，后项减前项可得 1，2，3，4，5，6，
所以 an an1 n 1n 2, a1 2 ，
为 2 ，故②正确
点 P 到直线 AB 的距离 PB 与到点 C 的距离 PC 之和为 1，又 BC 1 ，则动点 P 的轨迹是线段 BC，因此③不正确
点 P 到平面 BAA1B1 的距离（即到直线 BB1 的距离）与到直线 CD 的距离（即到点 C 的距离）相等，则动点 P 的轨迹
是以线段 BC 的中点为顶点，直线 BC 为对称轴的抛物线（在平面 BCC1B1 内），因此④正确
18．（12 分）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC BC, AC BC CC1 2 ，E、F 分别是 A1B 、 B1C1 的中点
（1）求证： EF / / 平面 ACC1A1 ； （2）求证： EF 平面 A1BC 19．（12 分）已知圆 C : x2 ( y 1)2 9 与直线 l : y x b
A. 1, 2, 2
B. 1, 2, 2
C. 1, 2,3
D. 1, 2,3
8．已知复数 z 满足 z 1 2i 4 3i (其中 i 为虚数单位)，则复数 z 的虚部为（）
A. 2
B. 2i
C.1
D. i
9．把点 M 随机投入长为 5 ，宽为 4 的矩形 ABCD 内，则点 M 与矩形 ABCD 四边的距离均不小于1的概率为（）
所以 (p) q 为真命题， p q ， p (q) ， (p) (q) 为假命题.
故选：A. 4、B 【解题分析】求出圆心坐标和半径后，直接写出圆的标准方程.
【题目详解】由
x
x
1 y
2
得
x
y
1 1
，
即所求圆的圆心坐标为 (1,1) .
由该圆过点 (1, 0) ，得其半径为 1，
取得最小值，从而求得 Q 点的坐标.
【题目详解】设 OQ OP ，则 QA ＝ OA － OQ ＝ OA －λ OP ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，
QB ＝ OB － OQ ＝ OB －λ OP ＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，
所以
QA
QB
＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝2(3λ2－8λ＋5)＝
故有①②④三个
故选:C 7、C 【解题分析】将圆的一般方程化为标准方程，即可得答案.
【题目详解】由题可知，圆的标准方程为 (x 1)2 ( y 2)2 9 ，
所以圆心为 1, 2 ，半径为 3，
故选 C .
8、A
【解题分析】由题目条件可得 z 1 2i 4 3i 5 ，即 z 5 ，然后利用复数的运算法则化简.
②若点 P 到点 A 的距离为 2 ，则动点 P 的轨迹是一个周长为 2 的圆
③若点 P 到直线 AB 的距离与到点 C 的距离之和为 1，则动点 P 的轨迹是椭圆
④若点 P 到平面 BAA1B1 的距离与到直线 CD 的距离相等，则动点 P 的轨迹是抛物线
A.1
B.2
C.3
D.4
7．圆 x2 y2 2x 4 y 4 0 的圆心坐标与半径分别是（ ）
21．（12 分）某城镇为推进生态城镇建设，对城镇的生态环境、市容市貌等方面进行了全面治理，为了解城镇居民对 治理情况的评价和建议，现随机抽取了 200 名居民进行问卷并评分（满分 100 分），将评分结果制成如下频率分布直方 图，已知图中 a，b，c 成等比数列，且公比为 2
（1）求图中 a，b，c 的值，并估计评分的均值（各段分数用该段中点值作代表）； （2）根据统计数据，在评分为“50～60”和“80～90”的居民中用分层抽样的方法抽取了 6 个居民．若从这 6 个居民中随 机选择 2 个参加座谈，求所抽取的 2 个居民中至少有 1 个评分在“80～90”的概率
（1）若 b 2 ，直线 l 与圆相交与 A、B ，求弦长| AB |
（2）若直线与圆无公共点求 b 的取值范围
20．（12
分）双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的离心率为
5 ，虚轴的长为 4.
（1）求 a, b 的值及双曲线 C 的渐近线方程；
（2）直线 y kx 2 与双曲线 C 相交于互异两点，求 k 的取值范围.
最小值时，点 Q 的坐标为（）
A.
1 2
,
3 4
,
1 3
B.
1 2
,
2 3,3 4源自C.4 3,
4 3
,
8 3
D.
4 3
,
4 3
,
7 3
3．命题 p :若 a b ，且 ab 0 ，则 ln a 0 ，命题 q :在 ABC 中，若 A B ，则 sin A sin B .下列命题中为真命题 b
甘肃省兰州市兰大附中 2024 学年高二上数学期末检测模拟试题
请考生注意： 1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答 案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
1 2i
【题目详解】因为 4 3i 5 ，所以 z 1 2i 4 3i 5 ，
则
z
5 1 2i
51 2i 1 2i1 2i
5 10i 5
1 2i
故复数 z 的虚部为 2 .
故选：A. 【题目点拨】本题考查复数的相关概念及复数的乘除运算，按照复数的运算法则化简计算即可，较简单. 9、A
【解题分析】确定矩形 ABCD 四边的距离均不小于的点 M 构成的区域，由几何概型面积型的公式计算可得结果. 【题目详解】若点 M 与矩形 ABCD 四边的距离均不小于1，则其落在如图所示的阴影区域内，
【题目详解】若点 P 总满足 PA BD ，又 AC BD ， C1C BD ， AC C1C C ，可得 BD 对角面 AC1，因此
点 P 的轨迹是直线 CC1 ，故①正确
.若点 P 到点 A 的距离为 2 ，则动点 P 的轨迹是以点 B 为圆心，以 1 为半径的圆（在平面 BCC1B1内），因此圆的周长
5．直线 2x 3y 6 0在 y 轴上的截距是
A. 2
B. 3
C. 3
D. 2
6．在如图所示的棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 在侧面 BCC1B1 所在的平面上运动，则下列四个命题
中真命题的个数是（ ）
①若点 P 总满足 PA BD ，则动点 P 的轨迹是一条直线
后两项之差组成新数列 2，3，4，新数列 2，3，4 为等差数列、这样的数列称为二阶等差数列．现有二阶等差数列，
其前 7 项分别为 2，3，5，8，12，17，23 则该数列的第 100 项为（ ）
A.4862
B.4962
C.4852
D.4952
2．已知 O 为坐标原点， OA ＝(1,2,3)， OB ＝(2,1,2)， OP ＝(1,1,2)，点 Q 在直线 OP 上运动，则当 QA QB 取得
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数到与
一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列．如数列 1，3，6，10，前
D.
3 2
,
1 2
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．函数 f (x) 2x2 1的图象在点 (1, 1) 处的切线方程为___________.
14．执行如图所示的程序框图，则输出的 S＝__.
15．在等比数列an中， a1 2 ， a4 128 ，若数列bn满足 bn log2 an ，则数列bn的前 20 项和为________
所以 an an an1 an1 an2 a2 a1 a1
n 1 n 2 1 2 n 11n 1 2 n n 1 2, n 2.
2
2
所以 a100
100 99 2
2
4952
.
故选：D
2、C
【解题分析】设 OQ OP ，用 表示出 QA,QB ，求得 QA QB 的表达式，结合二次函数的性质求得当 4 时，QA QB 3
2
3
4 3
2
1 3
.
所以当
λ＝
4 3
时，
QA
QB
取得最小值，此时
OQ
＝
4 3
OP
＝
4 3
,
4 3
,
8 3
，
即点
Q
的坐标为
4 3
,
4 3
,
8 3
.
故选：C
3、A
【解题分析】根据不等式 性质及对数函数的单调性判断命题 p 的真假，根据大角对大边及正弦定理可判断命题 q 的
真假，再根据复合命题真假的判断方法即可得出结论.
2 ，则椭圆T 的离心率为（）
A. 6 3
B. 3 3
C. 2 2
D. 3 2
12．已知直线 l : y x 1，椭圆 C : x2 y2 1 ．若直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的坐标为（ ） 3
A.
1 4
,
3 4
B.
3 4
,
1 4
C.
1 2
,
3 2
16．已知函数 f (x) ln x x 1的图象上有一点 P(m, 2) ，则曲线 y f (x) 在点 P 处的切线方程为______.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（12 分）求适合下列条件的曲线的标准方程：
（1） a 4，b 5 ，焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程； （2）焦点在 y 轴上，且焦点到准线的距离是 2 的抛物线的标准方程
A. 3
B. 2
10
5
C. 3
D. 4
5
5
10．将一张坐标纸折叠一次，使点 2, 0 与 6,8 重合，求折痕所在直线是（）
A. x y 6 0
B. x y 6 0
C. x y 6 0
D. x y 6 0
11．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几
乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数 k(k 0 且 k 1) 的点的轨迹是圆，
后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆 T
:
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0), A, B 为椭圆T
长轴的端点， C, D 为椭圆T
短轴的端
ME 点， E ， F 分别为椭圆T 的左右焦点，动点 M 满足 MF 2, MAB 面积的最大值为 4 6, MCD 面积的最小值为
的 【题目详解】解：若ab，且ab 0，则0 a ， b
当 a b 0 时， a 1，所以 ln a 0 ，
b
b
当 0 a b 时， 0 a 1，所以 ln a 0 ，
b
b
综上命题 p 为假命题，则 p 为真命题，
在 ABC 中，若 A B ，则 a b ，
由正弦定理得 sin A sin B ，
22．（10
分）已知双曲线
C 的方程为
2y2 a2
2x2
1（ a
0 ），离心率为
2.
（1）求双曲线 C 的标准方程；
（2）过 E(0,1) 的直线 l 交曲线 C 于 M、N 两点，求 EM EN 的取值范围.
参考答案
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1、D
故圆的方程为 (x 1)2 ( y 1)2 1 .
故选：B.
【题目点拨】本题考查了圆的标准方程，属于基础题. 5、D 【解题分析】在 y 轴上的截距只需令 x=0 求出 y 的值即可得出. 【题目详解】令 x=0，则 y=-2，即直线在 y 周上的截距为-2， 故选 D. 6、C 【解题分析】根据线面关系、距离关系可分别对每一个命题判断.
的是（）
A. (p) q
B. p q
C. p (q)
D. (p) (q)
4．经过点 (1, 0) 且圆心是两直线 x 1 与 x y 2 的交点的圆的方程为（ ）
A. (x 1)2 y2 1
B. (x 1)2 ( y 1)2 1
C. x2 ( y 1)2 1
D. (x 1)2 ( y 1)2 2
【解题分析】根据题意可得数列 2，3，5，8，12，17，23，，满足： an an1 n 1(n 2) ， a1 2 ，从而利用累
加法即可求出 an ，进一步即可得到 a100 的值 【题目详解】2，3，5，8，12，17，23，后项减前项可得 1，2，3，4，5，6，
所以 an an1 n 1n 2, a1 2 ，
为 2 ，故②正确
点 P 到直线 AB 的距离 PB 与到点 C 的距离 PC 之和为 1，又 BC 1 ，则动点 P 的轨迹是线段 BC，因此③不正确
点 P 到平面 BAA1B1 的距离（即到直线 BB1 的距离）与到直线 CD 的距离（即到点 C 的距离）相等，则动点 P 的轨迹
是以线段 BC 的中点为顶点，直线 BC 为对称轴的抛物线（在平面 BCC1B1 内），因此④正确
18．（12 分）如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AC BC, AC BC CC1 2 ，E、F 分别是 A1B 、 B1C1 的中点
（1）求证： EF / / 平面 ACC1A1 ； （2）求证： EF 平面 A1BC 19．（12 分）已知圆 C : x2 ( y 1)2 9 与直线 l : y x b
A. 1, 2, 2
B. 1, 2, 2
C. 1, 2,3
D. 1, 2,3
8．已知复数 z 满足 z 1 2i 4 3i (其中 i 为虚数单位)，则复数 z 的虚部为（）
A. 2
B. 2i
C.1
D. i
9．把点 M 随机投入长为 5 ，宽为 4 的矩形 ABCD 内，则点 M 与矩形 ABCD 四边的距离均不小于1的概率为（）