【精选高中试题】辽宁省六校协作体高二6月联考数学(理)试题Word版含答案

2016～2017学年度下学期省六校协作体高二年级6月联考
数学 理科
第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个选项
中,只要一项是符合题目要求的.
1.设集合A ={x |x 2−4x +3=0},B ={y |y =−x 2+2x +2,x ∈R },全集U =R ,则A ∩(∁
U B )=( )
A .∅
B .[1,3]
C .{3}
D .{1,3}
2.设复数z 满足1z =1+2i
1−i (i 是虚单位),则z 的共轭复数．．．．在复平面内对应的点在( ) A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
3.已知平面α及直线l ,则“∃直线m ⊂α,使得l ⊥m ”是“l ⊥α”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不
必要条件
4.将函数y =3sin (2x +π3)的图象向右平移π
3个单位长度后,再将所得图象上各点的
纵坐标不变,横坐标压缩到原来的1
2倍,最终所得图象对应的函数的最小正周
期为( ) A .π2 B .2π C .π6 D .5π
6
5.抛物线y =ax 2(a ≠0)的准线方程为( ) A .x =−a
4
B .y =−a 4
C .x =−1
4a
D .y =−1
4a
6.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边是a ,b ,c ,且a ⋅cosB +b ⋅cosA +2c ⋅cosC =0,则C =( ) A .60︒
B .120︒
C .30︒
D .150︒
7.已知非零向量a →,b →满足|a →|=3|b →|,a →在b →方向上的正射影是−32b →,则a →与b
→
的夹角是( ) A .
2π3 B .π3 C .5π6D .π6
8.右边程序框图的算法思想源于我国古代数学
名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行
该程序框图,若输入的a,b分别为28,36,则输
出的a=( )
A.3
B.2
C.3
D.4
9.若圆C:x2+y2−2ax+b=0上存在两个不同的点
A,B关于直线x−3y−2=0对称,其中b∈N,则
圆C的面积最大时,b=( )
A.3
B.2
C.1
D.0
10.从20名男同学和30名女同学中选4人去参加一个会议,规定男女同学至少
有1人参加,下面是不同的选法种数的三个算式:①C 1
20C
1
30C
2
48;②C
4
50
−C
4
20
−C 4 30;
③C 1
20C
3
30+C
2
20C
2
30+C
3
20C
1
30.则其中正确算式的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
11.定义在R上的可导函数f(x),f′(x)是其导函数.则下
列结论中错误的
．．．是( )
A.若f(x)是偶函数,则f′(x)必是奇函数
B.若f(x)是奇函数,则f′(x)必是偶函数
C.若f′(x)是偶函数,则f(x)必是奇函数
D.若f′(x)是奇函数,则f(x)必是偶函数
12.若对∀a∈[1
e2,1],∃b,c∈[−1,1],且b≠c,使λ+alna=2b
2e b=2c2e c(e是自然对数
的底数),则实数λ的取值范围是( )
A.(1
e,
2
e] B.(
1
e,2e] C.(
3
e,2e]D.(
3
e,
8
e2]
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题～第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题～第(23)题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分
13.随机取两个正实数x,y,满足x+y<2,则y>x2的概率是
14.已知双曲线C:x2
9
−
y2
4=1,点M与C的焦点不
重合,若M关于C的焦点的对称点分别为
A,B,线段MN的中点P在双曲线C的左支
．．
上(如右图所示),则|AN|−|BN|=________.
15.如图,正四面体ABCD的棱CD放置在水平面α内,且AB∥α,其俯视图的外轮
廓是边长为2的正方形,则与这个正四面体的6条棱都相切的球的表面积为________.
16.函数
f(x)=sinx(s
inx+cosx)−
1
2在区
(aπ
2,aπ)(0
<a<1)上有
且仅有一个
零点,则实
数a的取值
范围是
______
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.(本小题满分12分) 设S n是数列{a n}(n∈N *)的前n项和,且S n=a n+1,a1=2.
(1)求数列{a n}的通项公式;
(2)设b n=
n+2
n(n+1)S n
(n∈N *),T n表示数列{b n}(n∈N *)的前n项和,求
证:T n<1(n∈N *).
18.(本小题满分12分)
为了调查学生数学学习的
质量情况,某校从高二年级
学生(其中男生与女生的人
左视图
数之比为9:11)中,采用分层抽样的方法抽取n 名学生依期中考试的数学成绩进行统计.根据数学的分数取得了这n 名同学的数据,按照以下区间分为八组:
①[30,45),
②[45,60),
③[60,75),
④[75,90),
⑤[90,105), ⑥[105,120), ⑦[120,135), ⑧[135,150)
得到频率分布直方图如右.已知抽取的学生中数学成绩少于60分的人数为5人.(1)求n 的值及频率分布直方图中第④组矩形条的高度;
(2)如果把“学生数学成绩
不低于90分”作为是否达标的标准,对抽取的n 名学生,完成下列2⨯2列联表:
达标
未达标合计男生30________
女生____________合计____
____
____
. 据此资料,你是否认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有关? (3)若从该校的高二年级学生中随机抽取3人,记这3人中成绩不低于120分
的学生人数为X ,求X 的分布列、数学期望和方差.
附1:“2⨯2列联表a b c d ”的卡方统计量公式:K 2
=(a +b +c +d )(ad −bc )2(a +b )(c +d )(a +c )(b +d )
附2:卡方(K 2
)统计量的概率分布表:P (K 2≥k )…0.0500.0100.001…
k …3.8416.63510.828…
19.(本小题满分12分)
如图七面体
ABCDEFG
中,面
A
D
F G M
N
P E
ABCD ,ADEF ,
ABGF 都是正方形.M ,N 分别是棱FG ,DE 的中点.(1)求证:直线MN ∥平面CEG ;
(2)在线段GC (包括端点)上是否存在点P ,
使直线MP 与平面CEG 所成的角恰好是30︒?若存在,求GP :GC 的数值;若不存在,请说明理由.
20.(本小题满分12分)
长度为22的线段MN 的两个端点分别在直线l 1:y =2x 和l 2:y =−2x 上滑动,P 是MN 的中点.动点P 的轨迹是曲线E . (1)求曲线E 的方程;
(2)已知曲线E 与x 轴的负半轴交于点A ,过A 作两条直
线L 1,L 2,且L 1,L 2与曲线E 的异于A 的交点分别为B ,C .设L 1,L 2的斜率分别是k 1,k 2,若k 1k 2=1,求证:由B 、C 确定的直线l 经过定点.
21.(本小题满分12分)
已知函数f (x )=(12x 2−ax )lnx −1
4x 2+ax (常数a >0).
(1)讨论f (x )的单调性;
(2)设f ′(x )是f (x )的导函数,求证:f ′(x )<4e x −3−alnx .
请考生在22、23两题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目下方的方框涂黑. 22.(本小题满分10分)选修4−4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中,直线l 过点P (−1,2)且与直线l ′:x +3y −1=0垂直.以O 为极点,Ox 为极轴建立极坐标系(长度单位与直角坐标的长度单位一致),在极坐标系下,曲线C :ρ=4sin θ.
(1)求直线l 的参数方程．．．．,曲线C 的直角坐标方程．．．．．．
;
(2)设直线l与曲线C交于A,B两点,求
1
|PA|+
1
|PB|的值.
23.(本小题满分10分)选修4−5:不等式选讲
设函数f(x)=2|x+1|+|2x−3|.
(1)解不等式f(x)≤7;
(2)若f(x)≥a+|4x−6|对任意x∈R恒成立,求实数a的取
值范围.
2016～2017学年度下学期省六校协作体高二年级6月联考
数学 理科(参考答案)
一、二题答案:
17.(1) S n =a n +1……①
S n +1=a n +2……②
②−①Þa n +1=a n +2−a n +1Þa n +2=2a n +1Þa n +1=2a n (n ≥2) 取①中n =1Þa 2=2
故当n ≥2时,a n =a 23n −2=2n −1
从而a n =2n−1，n≥22，n=1
……6分
(2) S n =a n +1=2n
Þb n =2n n+2=n·2n−11−·2n 1
故T n =b 1+b 2+…+b n =1·201−2·211+2·211−3·221+…+n·2n−11−·2n 1= 1−·2n 1
<1……12分
18.(1) “成绩少于60分”的频率n 5=(15001+3751
)·15Þn =100……2分
④的高度=组距[75，90）内的频率
=300=1/125……4分
(2) 按照“男生”和“女生”分层抽样
在容量为100的样本中,“男生”人数=9+119
´100=45,“女生”人数
=9+1111
´100=55 “达标”即“成绩不低于90分”的频数=(501
+601
+1001
+3001
)´15´100=75
据此可填表如下:10025
……6分
据表可得卡方统计量K 2=´´´´´455575253010−45152=33100
=3.030<3.841
故有不足95%的把握认为“学生性别”与“数学成绩达标与否”有
关
可以认为它们之间没有关联……8分
(3) “成绩不低于120分”的频率=(1001
+3001
)´15=51
因高二年级的学生数远超过样本容量,故从该年级抽取任意1人的
概率都可认为是51
从而X ～B (3,51
),则 P (X =0)=30(51)0(54)3=12564, P (X =1)=3
1
(51
)1(54
)2=12548
P (X =2)=32(51
)2(54
)1=12512
,
P (X =3)=33(51)3(54)0=1251
故X 的分布列为: 1251
……10分
数学期望E (X )=3´51=53
……11分
方差
D (X )=3´51
´(1−51
)=2512
……12分
19.(1) 取CE 中点Q
ÞÞÞÞÌËGQ 面CEGMN 面CEG ÞMN ∥面CEG ……6分
(2) 易知AB ,AD ,AF 两两垂直,如图建系A −xyz
设
B (a ,0,0),则
C (a ,a ,0),E (0,a ,a ),G (a ,0,a ),M (2a
,0,a ) 则→CE
=(−a ,0,a ),→CG
=(0,−a ,a )
设面CEG 的法向量为→n
=(x ,y ,z )
据→n ·→CE =→n ·→CG =0Þ−y+z=0−x+z=0,取→n
=(1,1,1) 设→GP =l →GC
则→MP =→MG +→GP =→MG +l →GC
=(2a
,0,0)+l(0,a ,−a )=(2a
,l a ,−l a )
据题意,sin 30°=××|n =l3+2421=21Þl=126
故存在点P ,且GP :GC =126
…………12分
20.(1) 设M (m ,m ),N (n ,−n ),P (x ,y ) 据|MN |=2Þ(m −n )2+2(m +n )2=8……①
因P 是MN 中点,故=2y m+n=2x Þ
y m+n=2x
……②
把②带入①得曲线E 的方程为x 2+4y2
=1……6分
(2) 易知A (−1,0),设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),且设直线l 的方程为y =kx +p
联立4x2+y2=4y=kx+p
Þ(k 2+4)x 2+2pkx +p 2−4=0Þk2+4p2−4
……③
又
k 1k 2=
x1+1
y1
×
x2+1
y2=
x1+1
kx1+p ×
x2+1
kx2+p =1Þ(k 2−1)x 1x 2+(pk −1)(x 1+x 2)+p 2−1=0……④
把③带入④Þ3p 2
+2kp −5k 2
=0Þp =−35
k 或p =k ,因直线l 不能过A 点,故
p =k 舍,取p =−35
k
此时直线l 的方程为y =k (x −35),故直线l 经过定点Q (35
,0)……12分 另证:
设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),且设直线L 1的方程为y =k (x +1),L 2的方程为
y =k 1
(x +1) 联立4x2+y2=4x+1
Þ(k 2+4)x 2+2k 2x +k 2−4=0Þx 1(−1)=k2+4k2−4
ÞB (4+k24−k2
,4+k28k
)
同理得C (4k2+14k2−1,4k2+18k
)
从而知直线BC 即直线l 的斜率k BC =k2+1−3k
,进而得直线l 的方程为y =
k2+1−3k x +k2+15k
故直线l 经过定点Q (35
,0)……12分
21.(1) f ′(x )=(x −a )lnx (x >0,a >0)
画出y =x −a (a >0)及y =lnx (x >0)的图象,它们的零点分别为a 和1
①当0<a <1时,f (x )在(0,a )↑,(a ,1)↓,(1,+∞)↑……2分
②当a =1时,f (x )在(0,+∞)↑……4分 ③当a >1时,f (x )在(0,1)↑,(1,a )↓,(a ,+∞)↑……6分
(2) 因f ′(x )=(x −a )lnx =xlnx −alnx
要证f ′(x )<4e x −3−alnx ,需证xlnx <4e (x >0)
法1. 即证x lnx <x2x−3(x >0)
设F (x )=x lnx (x >0),G (x )=x2x−3(x >0)
一方面,F ′(x )=x21−lnx (x >0)ÞF (x )在(0,e )↑,(e ,+∞)↓
则F (x )≤F (e )=e 1……① 另一方面,G ′(x )=x3x−3(x >0)ÞG (x )在(0,2)↓,(2,+∞)↑
则G (x )≥G (2)=e 1……②
据①②ÞF (x )≤G (x )
有因①的取等条件是x =e ,②的取等条件是x =2 故F (x )<G (x ),即x lnx <x2x−3
(x >0)成立,即f ′(x )<4e −alnx ……12分
法2. 先证lnx ≤e 1x (x >0)(差函数)
进而xlnx ≤e 1x 2(x >0)
再证e 1x 2≤4e (差函数或商函数)
说明等号不成立 故xlnx <4e (x >0)成立
22.(1) 直线l ′的法向量为(1,)
因l ⊥l ′,故l 的方向向量为(1,)
故直线l 的参数方程为t x=−1+t ……2分
曲线C :r =4sin qÞr 2=4r sin qÞx 2+y 2=4y 故曲线C 的直角坐标方程为x 2+y 2−4y =0……5分
(2) 把l 的参数方程
t x=−1+t 代入圆C 的直角坐标方程x 2+y 2−4y =0
得4t 2−2t −3=0Þ43
注意|PA |=2|t 1|,|PB |=2|t 2|,且t 1t 2<0 则|PA|1+|PB|1=21(|t1|1+|t2|1)=2|t1t2||t1|+|t2|=2|t1t2||t1–t2|=2|t1t2|t1+t22−4t1t2=313……10分
23.(1) 首先f (x )=23
故f (x )≤7Û①−4x+1≤7x<−1或②2或③2
其中①Û−23≤x <−1,②Û−1≤x ≤23,③Û23<x ≤2
综上,f (x )≤7的解集为[−23,2]…………5分
(2) 使a ≤2|x +1|−|2x −3|恒成立
设g (x )=2|x +1|−|2x −3|
因|g (x )|=|2|x +1|−|2x −3||≤|(2x +2)−(2x −3)|=5
故−5≤g (x )≤5
为使a ≤g (x )恒成立
则a ∈(−∞,−5]…………10分。