(教师用书)高中数学 第二章 推理与证明章末归纳提升课件 新人教A版选修1-2

如图 2－3(1)，在三角形 ABC 中，AB⊥AC，若 AD⊥BC， 则 AB2＝BD· BC；若类比该命题，如图 2－3(2)，三棱锥 A－ BCD 中，AD⊥平面 ABC，若 A 点在三角形 BCD 所在平面内 的射影为 M，则可以得到什么命题？命题是否为真命题并加 以证明．
(1) 图 2－3
2 2 2 ∴S2 ＋ S ＋ S ＝ S 1 2 3 4. 2 2 2 【答案】 S2 1＋S2＋S3＝S4
在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列，
那么位于表中的第 n 行第 n＋1 列的数是________．
【解析】
由题中数表知：第 n 行中的项分别为
n,2n,3n， …， 组成一等差数列， 所以第 n 行第 n＋1 列的数是： n2＋n. 【答案】
若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此 平面平行， EF⊄平面 BCD，BD⊂平面 BCD，EF∥BD， 小前提 EF∥平面 BCD. 结论 大前提
归纳推理
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，常见 的归纳推理题目主要涉及两个类型：数的归纳和形的归纳， 其求解思路如下： (1)通过观察个别对象发现某些相同性质； (2)由相同性质猜想得出一般性结论． 需特别注意一点，由归纳猜想得出的结论未必正确，常 需要严格的推理证明．
(2013· 南昌高二检测) 在平面上，我们如果用一 条直线去截正方形的一个角， 那么截下的是一个直角三角形， 若将该直角三角形按图标出边长 a，b，c，则由勾股定理有： a2＋b2＝c2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图 2－1 的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O －LMN，如果用 S1，S2，S3 表示三个侧面面积，S4 表示截面 面积，那么你类比得到的结论是________．
n2＋n
类比推理
类比推理是由两类对象具有类似特征和其中一类对象的 某些已知特征推出另一类对象也具有这些特征的推理．显然 其特征是由特殊到特殊的推理，常见的类比情形有：平面与 空间类比，向量与数的类比，不等与相等类比，等差数列同 等比数列的类比等等． 需注意一点，由类比推理得出的结论也未必正确，也需 要严格证明．
PA′· PB ′· PC′ ，然后由体积公式证明． PA· PB· PC VPPA′· PB′· PC′ A′B′C′ 【规范解答】 (1) ＝ . VPPA · PB · PC ABC
(2)过 A 作 AO⊥平面 PBC 于 O， 连接 PO， 则 A′在平面 PBC 内的射影 O′落在 PO 上，
(2)
【解】
命题是：三棱锥 A－BCD 中，AD⊥平面 ABC，
2 若 A 点在三角形 BCD 所在平面内的射影为 M， 则有 S△ ABC ＝S
△BCM
· S△BCD，是一个真命题． 证明如下： 在图(2)中，连接 DM，并延长交 BC 于 E，连接 AE，则
有 DE⊥BC.
因为 AD⊥平面 ABC，所以 AD⊥AE. 又 AM⊥DE，所以 AE2＝EM· ED. 1 于是 S△ABC＝( BC· AE)2 2
பைடு நூலகம்
VPVA′A′B′C′ PB′C′ 从而 ＝ VPVAABC PBC 1 S · A′O′ 3 △PB′C′ ＝ 1 AO 3S△PBC· PB′· PC′· A′O′ ＝ ， PB· PC· AO A′O′ PA′ ∵ ＝ ， AO PA VPPA′· PB′· PC′ A′B′C′ ∴ ＝ . VPPA · PB · PC ABC
平行四边形的对边相等， ED 和 AF 为平行四边形的一组对边， 所以 ED＝AF.
大前提 小前提 结论
已知：在空间四边形 ABCD 中，点 E，F 分别是 AB，AD 的中点，如图 2－5 所示，求证：EF∥平面 BCD.
图 2－5
【证明】
三角形的中位线平行于底边，
大前提
点 E、F 分别是 AB、AD 的中点， 小前提 所以 EF∥BD. 结论
2
1 1 ＝(2BC· EM)· (2BC· ED) ＝S△BCM· S△BCD.
演绎推理
演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理， 在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确， 演绎推理的内容一般是通过合情推理获取． 演绎推理的形式一般为“三段论”的形式，即大前提、 小前提和结论．
图 2－1
【思路点拨】
由三角形三边的平方关系，猜想四个面
2 2 2 的关系也可能是平方关系，即 S2 ＋ S ＋ S ＝ S 1 2 3 4，然后按照这个
思路推证．
【规范解答】 1 由图象可得 S1＝ OM· ON， 2
1 1 S2＝ OL· ON，S3＝ OM· OL， 2 2
1 S4＝ ML· NL· sin ∠MLN 2 1 ＝ ML· NL· 1－cos2∠MLN 2 ML2＋NL2－MN2 2 1 ＝2ML· NL· 1－ 2ML· NL 1 ＝4· 4ML2· NL2－ML2＋NL2－MN22. ∵OM2＋ON2＝MN2， OM2＋OL2＝ML2， OL2＋ON2＝LN2， 1 ∴S4＝2 OM2· ON2＋OL2· ON2＋OM2· OL2 ，
如图 2－4 所示，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 上的点，∠BFD＝∠A，DE∥FA，求证：ED＝AF.
图 2－4
【思路点拨】 理的方法推出结论． 分别确定大前提、小前提，利用演绎推
【规范解答】
同位角相等，两条直线平行， 大前提 小前提 结论 大前提 小前提 结论
∠BFD 与∠A 是同位角，且∠BFD＝∠A， 所以 DF∥EA. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形， DE∥FA，且 DF∥EA， 所以四边形 AFDE 为平行四边形．
S△PA′B′ PA ′· PB′ 已知： 由图①有面积关系： ＝ . PA · PB S△PAB
图 2－2 VPA′B′C′ (1)试用类比的思想写出由图②所得的体积关系 VPABC ＝______________________. (2)证明你的结论是正确的．
【 思 路点 拨】
VP－A′B′C′ 由面 积关 系， 类 比推 测 ＝ VP－ABC