2020年全国高考数学题型预测及答案详解 精品

2020年高考数学题型预测（一）数学试卷(理科)
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1．设A ，B 是两个非空集合，定义A ×B=}|{B A x B A x x ∉∈且，已知
},0,2|{},4|{2>==-==x y y B x x y y A x 则A ×B=
（ ）
A ．),2(]1,0[+∞
B ．),2()1,0[+∞
C ．[0，1]
D ．[0，2]
2．
2
3
(1)i -的值为
（ ）
A ．
32i
B ．3
2i - C ．i D ．i - 3．若n
x
x )1(+的展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为
（ ）
A ．10
B ．20
C ．30
D ．120
4．若221()12,[()](0)x g x x f g x x x -=-=≠，则1
()2
f = （ ）
A ．1
B ．3
C ．7
D ．15
5．设随机变量ξ服从正态分布(0,1)N ，若(1)P p ξ>=，则(10)P ξ-<<= （ ）
A ．
1
2
p + B ．1p - C ．12p -
D ．
1
2
p - 6．已知A （－1，2），B （2，1），则)1,1(-=a AB 按平移后得到的向量的坐标为 （ ） A ．（3，－1） B ．（－3，1） C ．（4，－2） D ．（－2，0）
7．把函数sin(2)4
y x π
=+的图象向右平移
8
π
个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短到 原来的1
2
，则所得图象的解析式为
（ ）
A ．3sin(4)8
y x π
=+
B ．sin(4)8
y x π
=+
C ．sin 4y x =
D ．sin y x =
8．设e <x <10，记a =ln(ln x )，b =lg(lg x )，c =ln(lg x )，d =lg(ln x )，则a ，b ，c ，d 的大小关系（ ） A ．a <b <c <d B ．c <d <a <b C ．c <b <d <a D ．b <d <c <a 9．已知函数)0( log )(2>=x x x f 的反函数为，，且有2)()()(1
1
1
=⋅---b f
a f
x f
若a ，b>0
则
b
a 4
1+的最小值为 （ ）
A ．2
B ．4
C ．6
D ．9
10．两个实数集合A={a 1, a 2, a 3,…, a 15}与B={b 1, b 2, b 3,…, b 10}，若从A 到B 的是映射f 使B
中的每一个元素都有原象，且f (a 1)≤f (a 2) ≤…≤f (a 10)<f (a 11)<…<f (a 15), 则这样的映射共 有 （ ）
A ．5
10C 个
B ．4
9C 个
C ．1015
个
D ．10
15105A ⋅
11.已知二面角βα--l 的大小为60°，m 、n 为异面直线，且βα⊥⊥n m ,，则m 、n 所
成的角为( )
（A ）30°
（B ）60°
（C ）90°
（D ）120°
12．如果以原点为圆心的圆经过双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的焦点，而且被该双曲线
的右准线分成弧长为2：1的两段圆弧，那么该双曲线的离心率e 等于 （ ） A ．5
B ．
2
5 C ．3 D ．2
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在答题卡上。

13．已知向量b a t b a 与，若)2,(),1,2(-=-=的夹角为钝角，则实数t 的取值范围是
14．若b x ax x x =--+→4
2
lim 222，则b 的值为 ． 15．已知函数*)( )(1:}{32)(11N n a f a a a x x f n n n ∈==+=+且满足，数列，则该数列
的通项公式a n 为
16．已知随机变量ηξ与，其中712+=ξη， 且ξη若,34=E 的分布列如右表：
则)2(≤ξP = .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共70分). 17．(本题10分)已知直线l 的倾斜角为.2tan -=αα且 （Ⅰ）求)6
sin(π
α+
的值；
（Ⅱ）求α
α
α2cos 1sin 2sin 2-+的值.
18．（本题满分12分）
袋中装有四个标号为2、3、4、5的均匀小球，从中有放回地摸球两次，记其标号依次为x ,y .
（Ⅰ）求使y x +3为偶数的概率；
（Ⅱ）记y x -＝ξ，写出ξ的分布列，并求出ξ的数学期望.
19．（本题满分12分）
如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. （Ⅰ）求证AE ⊥平面BCE ；
（Ⅱ）求二面角B —AC —E 的大小.
20．（本题满分12分）
设数列}{n a 满足*
211,1,2N n na a a a n n n ∈+-==+．
（Ⅰ）求432,,a a a ，并由此猜想n a 的一个通项公式，证明你的结论；
（Ⅱ）若1
1
+=
n n n a a b ，记n n b b b S +++= 21，求n n S ∞→lim ．
21．（本小题满分12分）
已知函数0)(23=+++=x d cx bx ax x f 在处取得极值，曲线)(x f y =过原点O （0，0）和点P （－1，2），若曲线)(x f y =在点P 处的切线l 与直线x y 2=的夹角为45°，且l 的倾斜角为钝角.
（Ⅰ）求)(x f 的解析式；
（Ⅱ）若)(x f 在区间[2m －1，m+1]上是增函数，求m 的取值范围. 22．（本小题满分12分）
已知定点A （1，0）和定直线1-=x 上的两个动点E 、F ，满足AF AE ⊥，动点P 满足OP FO OA EP //,//（其中O 为坐标原点）. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点B （0，2）的直线l 与（Ⅰ）中轨迹C 相交于两个不同的点M 、N ，若0<⋅AN AM ，
A E
B
C
D F
求直线l 的斜率的取值范围.
2020年高考数学题型预测（一）
三．解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明．证明过程和演算步骤．
17．解：2tan -=αα且的倾斜角为
直线l ππ
<<∴
a 2
…………2分
5
5
cos ,552sin -==
∴αα可得由同角三角函数关系式…………4分 （Ⅰ）6
sin
cos 6
cos
sin )6
sin(π
απ
απ
α+=+
…………6分
10
5
152215523552-=⨯-⨯=
…………8分 （Ⅱ）αα
αα
ααααααsin 2sin cos 2sin 2sin cos sin 22cos 1sin 2sin 2
22+=+=-+…………10分 055
22552552=⋅+-=
…………12分
18．解：（Ⅰ）欲使y x +3为偶数，则x 、y 同奇同偶，
∴2
1
442222=⨯⨯+⨯=
P .…………………………………………………6分
（Ⅱ）ξ的取值为0、1、2、3. ξ的分布列为
4
5
813412831410=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE .…………………12分 19． 证明:（1）
,,BF ACE BF AE ⊥∴⊥平面
D-AB-E ABCD ABE ∴⊥二面角为直二面角，平面平面，
BC AB BC ABE BC ,AE ⊥∴⊥∴⊥又，平面，
BF BCE BF BC=B BCE AE ⊂∴⊥又平面，，平面。

………6分 （2）（法一）连结AC 、BD 交于G ，连结FG ，
∵ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，∵BF ⊥平面ACE ，∴FG ⊥AC ，
∠FGB 为二面角B-AC-E 的平面角，由（1）可知，AE ⊥平面BCE ，∴AE ⊥EB ，又AE=EB ，AB=2，AE=BE=2，
在直角三角形BCE 中， BE=2，CE=222226,63
BC BE BC BE BF CE ⋅+====
在正方形中，BG=2，在直角三角形BFG 中，2
63sin 3
2
BF FGB BG
∠===
∴二面角B-AC-E 为6
arcsin
3
……………………………………………………12分 （法二）向量法：取AB 中点为O,连EO, ∵AE=EB，∴EO ⊥AB, ∴EO ⊥平面ABCD ， 以O 为原点，OE ，AB 所在直线分别为x ，y 轴，建立空间直角坐标系。

易知)0,0,1(1=n 为面 ABC 的一个法向量，设),,(2z y x n =为面ACE 的 法向量。

∵)0,1,1(=AE ，)2,2,0(=AC ， 则⎩⎨
⎧=+=+0
220
z y y x ，)1,1,1(2-=n ，
ξ
0 1 2 3
P
41 83 41 8
1
33,cos 11>=
<n n ，∴二面角B-AC-E 为3
3arccos . 20 解：（Ⅰ）由,21=a 得3112
12=+-=a a a ， 由,32=a 得41222
23=+-=a a a 由,43=a 得51332
34=+-=a a a
由此猜想1+=n a n ，………………………………………………………4分 下面用数学归纳法证明
（1）当1=n 时，111+=a ，猜想成立。

（2）假设当k n =时，猜想成立，即1+=k a k …………………………………6分 那么当1+=k n 时，
1)1(21)1()1(12
21++=+=++-+=+-=+k k k k k ka a a k k k
所以，当1+=k n 时，猜想也成立。

由（1）（2）知，对于任意*
N n ∈都有1+=n a n 成立。

…………………………8分
（Ⅱ）∵1+=n a n ，∴2
1
11)2)(1(1+-+=++=
n n n n b n ，
2
1
2121114131312121+-
=+-+++-+-=
+++=n n n b b b S n n ， 21
)2121(lim lim =+-=∞→∞→n S n n n . …………………………………………12分 21 解：（I ）∵曲线)(x f y =过原点，
,
)(0,23)(.
02的极值点是且x f x c bx ax x f d =++='=∴
.0,0)0(=∴='∴c f
…………4分
∵过点P （－1，2）的切线l 的斜率为,23)1(b a f -=-'
⎩⎨
⎧==∴⎩⎨⎧-=-=+-⎩⎨⎧-=-'=-=-'∴=
-'-=-'∴=-'+-'-.
3,1323,2,3)1(,2)1(.
3
1
)1(,3
1
)1(,3)1(,
1|)
1(21)
1(2|b a b a b a f f f l f f f f 得由舍去的倾斜角为钝角由夹角公式得
233)(x x x f +=∴
…………8分
（II ）),2(363)(2
+=+='x x x x x f
.
20,0)2(3,0)(-<>∴>+>'x x x x x f 或即令
⎩⎨
⎧+<-≥-⎩⎨⎧+<--≤+∴+∞⊆+---∞⊆+-∴+-∴+∞--∞∴1
1201211221);,0[]1,12[]2,(]1,12[,
]1,12[)();,0[]2.()(m m m m n m m m m m m m x f x f 或或上是增函数在和的增区间为 .22
1
3<≤-≤∴m m 或
…………12分
21 解：（1）设121)(,1(),,1(),,(y y F y E y x P --、2y 均不为0）
由),1(,//1y E y y OA EP -=即得………………………………2分 由,//2x
y
y OP FO -=得 即),1(x
y
F -
-………………………………4分 由AF AE ⊥得
)0(440),2(),2(022121≠=⇒-=⇒=⋅-⇒=⋅x x y y y y y AF AE
∴动点P 的轨迹C 的方程为)0(42
≠=x x y ……………………6分
（Ⅱ）设直线l 的方程),4
(),,4(),0(222
2
121y y N y y M k kx y ≠+= 联立得084422
2
=+-⎩⎨
⎧=+=y ky x x
y kx y 得消去
,8
,42121k
y y k y y ==
+∴………………………………8分 且.2
1
03216<>-=∆k k 即
212
2
21222121)14)(14(),14(),14(y y y y y y y y AN AM +--=-⋅-=⋅∴
1)(4
1162122122
221+++-=y y y y y y
k k k k k k
12
18)1616(4142
2+=++--=
.012,0<<-∴<⋅k AN AM Q ………………………………12分。