2018_19版高中数学第一讲三个正数的算术_几何平均不等式课件新人教版

＋bcx2＝a2x＋a2x＋bcx2≥3 3
a2x·a2x·bcx2＝32 3
2a2c b.
本课结束
证明
引申探究 b＋c－a c＋a－b a＋b－c
若本例条件不变，求证： a ＋ b ＋ c ≥3.
b＋c－a c＋a－b a＋b－c
证明
a＋b＋c
＝ba＋bc＋ac＋ac＋ba＋bc－3
3
≥3
ba·bc·ac＋3 3
ac·ab·bc－3＝6－3＝3，
当且仅当a＝b＝c时取等号.
对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均， 即a1＋a2＋n …＋an ≥ n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立.
(3)重要变形及结论
①abc≤a＋3b＋c3；②a3＋b3＋c3≥3abc；
③a1＋1b3＋1c≤3 abc≤ a＋3b＋c≤
证明
反思与感悟 证明不等式的方法 (1)首先观察所要证的式子结构特点及题目所给条件，看是否满足“一正、 二定、三相等”的条件.若满足即可利用平均不等式证明. (2)若题目不满足该条件，则可灵活利用已知条件构造出能利用三个正数 的基本不等式的式子.
跟踪训练2 已知x，y，z都是正数，且xyz＝1， 求证：(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27.
解答
达标检测
1.函数f(x)＝
1 x2
＋2x(x＞0)的最小值为
√A.3
B.4 C.5 D.6
解析 ∵x＞0，∴f(x)＝x12＋x＋x≥3 3 x12·x·x＝3， 当且仅当 x＝x12，即 x＝1 时等号成立.
120，则 f(x)＝4－x－21x2的最大值为
A.4－
规律与方法
1.求实际问题的最值一定要注意变量应在实际允许的范围内取值，在使用 三个正数的基本不等式定理求最值时，一定要注意检验等号是否成立. 2.求形如 y＝ax2＋bx(x＞0，a＞0，b＞0)的函数的最小值，关键是拆bx为bx＝2bx
＋2bx，则 y＝ax2＋bx＝ax2＋2bx＋2bx≥3 3 ax2·2bx·2bx＝323 2ab2.求形如 y＝ax＋ bcx2(x＞0，a＞0，bc＞0)的函数的最小值，关键是拆 ax 为a2x＋a2x，则 y＝ax
跟踪训练 1 求函数 y＝(1－3x)2·x0＜x＜13的最大值.
解
y
＝
(1
－
3x)2·x
＝
1 6
·(1
－
3x)·(1
－
3x)·6x≤
1 6
1－3x＋1－3x＋6x



3

3
＝
841，
当且仅当 1－3x＝1－3x＝6x，即 x＝19时，ymax＝841.
解答
类型二 用平均不等式证明不等式 例 2 已知 a，b，c∈R＋.求证：a3＋b3＋c3＋a1bc≥2 3. 证明 ∵a3＋b3＋c3＋a1bc≥3abc＋a1bc≥2 3， 当且仅当 a＝b＝c，且 abc＝ 33时等号成立. ∴a3＋b3＋c3＋a1bc≥2 3.
解答
反思与感悟 利用三个正数的基本不等式解决应用问题的一般步骤 (1)理解题意，设变量.设变量时一般要把所求最大值或最小值的变量定为 函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大值或最小值 问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)验证相等条件，得出结论.
跟踪训练3 已知球的半径为R，球内接圆柱的底面半径为r，高为h，则 r和h为何值时，内接圆柱的体积最大？
A.2
√ B.3 C.4 D.6
解析 ∵ab2＝4a×b2×b2≤4a＋23b＋b23＝4a＋3 b3＝4×13＝4，
当且仅当 a＝b2＝1 时，等号成立.即 ab2 的最大值为 4.
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解析 答案
5.已知 a，b 为实数，且 a＞0，b＞0，则a＋b＋1aa2＋1b＋a12的最小值为 __9___.
B.y＝2＋x＋1x≥3 3 2·x·1x＝33 2，故 ymin＝33 2.
√C.y＝2＋x＋1x≥4，故 ymin＝4.
D.y＝x(1－x)(1－2x)≤133x＋1－x3＋1－2x3＝881，故 ymax＝881.
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解析 答案
4.设a，b∈R＋，且a＋b＝3，则ab2的最大值为
a2＋b2＋c2 3.
上式中 a，b，c 均为正数，等号成立的条件均为 a＝b＝c.
题型探究
类型一 用平均不等式求最值
例 1 (1)求函数 y＝(x－1)2(3－2x)1＜x＜32的最大值； 解 ∵1＜x＜32，∴3－2x＞0，x－1＞0.
又y＝(x－1)2(3－2x)
＝(x－1)(x－1)(3－2x)≤x－1＋x－31＋3－2x3＝133＝217，
a＋b 思考 类比基本不等式： 2 ≥ ab(a＞0，b＞0)，请写出 a，b，c∈R＋ 时，三项的均值不等式. 答案 a＋3b＋c≥3 abc.
梳理 (1)三个正数的算术—几何平均不等式(定理3)
a＋b＋c 如果 a，b，c∈R＋，那么 3 ≥
3 abc
，当且仅当 a＝b＝c 时，等
号成立.
(2)基本不等式的推广
证明 ∵1＋x＋y≥33 xy＞0,1＋x＋z≥33 xz＞0，
1＋y＋z≥33 yz＞0， ∴(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥273 xyz2. 又∵xyz＝1， ∴(1＋x＋y)(1＋x＋z)(1＋y＋z)≥27， 当且仅当x＝y＝z＝1时，等号成立.
证明
类型三 用平均不等式解决实际应用问题 例3 如图，将边长为1的正六边形铁皮(图①)的六个角各切去一个全等 的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器(图②).当这个 正六棱柱容器的底面边长为多少时，容积最大，并求出最大容积.
2 2
解析 ∵x＞0，
B.4－ 2
C.不存在
√D.52
∴f(x)＝4－x－21x2＝4－2x＋2x＋21x2≤4－3 3 2x·2x·21x2＝4－32＝52，
当且仅当2x＝2x＝21x2，即 x＝1 时，等号成立.
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解析 答案
3.已知x为正数，下列各选项求得的最值正确的是 A.y＝x2＋2x＋x43≥3 3 x2·2x·x43＝6，故 ymin＝6.
当且仅当x－1＝x－1＝3－2x，
即 x＝43∈1，32时，ymax＝217.
解答
(2)求函数 y＝x＋x－412(x＞1)的最小值. 解 ∵x＞1，∴x－1＞0，y＝x＋x－412 ＝12(x－1)＋12(x－1)＋x－412＋1
≥3 3 12x－1·12x－1·x－4 12＋1＝4，
当且仅当12(x－1)＝12(x－1)＝x－412，
即x＝3时等号成立.即ymin＝4.
解答
反思与感悟 (1)利用三个正数的算术—几何平均不等式定理求最值，可 简记为“积定和最小，和定积最大”. (2)应用平均不等式定理，要注意三个条件“一正，二定，三相等”同时 具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性， 获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等.
解析 因为a＞0，b＞0，
所以 a＋b＋1a≥3 3 a·b·a1＝33 b＞0，
①
同理可得 a2＋1b＋a12≥3 3 1b＞0，
②
由①②及不等式的性质，得a＋b＋1aa2＋1b＋a12≥33 b×3 3 1b＝9，
当且仅当a＝b＝1时，等号成立.
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解析 答案
第一讲 一 不等式
第3课时 三个正数的算术—几何平均不等式
学习目标 1.理解定理3. 2.能用定理3及其推广证明一些不等式. 3.会用定理解决函数的最值或值域问题. 4.能运用三个正数的算术—几何平均不等式解决简单的实际问 题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点 三项均值不等式