常微分方程第三版课后答案(00001)

常微分方程第三版课后答案
常微分方程 2.1
1.xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。

故它的特解为代入得
把即两边同时积分得：e e x
x y c y x x c y c y xdx dy y
2
2
,11,0,ln ,21
2
=====+==
,
0)1(.22
=++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特
解.
解：对原式进行变量分离得：。

故特解是
时，代入式子得。

当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x
y c y x y x c y c y x y dy dx x y
++=====++=+=+≠=+-
1ln 11
,11,001ln 1
,11ln 0,1112
3
y
xy dx dy x y 32
1++=
解：原式可化为：
x x y x x y x y
x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2
2
2
2
2
2
2
2
322
32
)1(1)1)(1(),0(ln 1ln 21ln 1ln 2
1
1
1,0111=++
=++
≠++-=+
+=+≠+•+=+）
故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然
.0;0;ln ,ln ,ln ln 0
110000
)1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：
10ln 1ln ln 1ln 1,0
ln 0
)ln (ln :931:8.
cos ln sin ln 0
7ln sgn arcsin ln sgn arcsin 1
sgn 11,)1(,,,6ln )1ln(2
11
11,11,,,0
)()(:5332
2
22
2
22
2
22
2
c dx dy dx dy x
y
cy u
d u
u dx x x y u dx x
y
dy x y ydx dy y x x c dy y
y y
y
dx dy c x y tgxdx ctgydy ctgxdy tgydx c
x x x
y
c
x x u dx
x x du x
dx
du dx
du
x u dx dy ux y u x y y dx dy x
c x arctgu dx
x du u u u dx du x u dx
du x
u dx dy ux y u x y x y x y dx dy dx x y dy x y e e e e e e e
e x y u
u x
y x u u x y
x
y
y x x
x
+===+=+-===-•-=--+-=-=+-===-=+•=+•=•=--=+===-+=+-=++
=++-++=++===+-==-++-+--
两边积分解：变量分离：。

代回原变量得：则有：令解：方程可变为：解：变量分离，得
两边积分得：解：变量分离，得：：也是方程的解。

另外，代回原来变量，得两边积分得：分离变量得：则原方程化为：
解：令：。

两边积分得：变量分离，得：则令解：
c
x y x arctg c
x arctgt dx dt dx dt dx dt dx dy t y x dx
dy c
dx dy dx
dy t
t y x e e e e e x y
x
y
y
x +=++==++=+==+=+===+-)(,1
11
1
1,.112
22)(代回变量得：两边积分变量分离得：原方程可变为：则解：令两边积分得：解：变量分离，
12．2)
(1y x dx dy += 解
c x y x arctg y x c x arctgt t dx dt t t t
dx dt dx dt dx dy t y x +=+-++=-=++=-==+)(1
11122
2，代回变量，两边积分变量分离，原方程可变为，则
令
变量分离
，则方程可化为：令则有令的解为解：方程组U U dX dU X U X Y Y X Y
X dX dY Y y X x y x y x y x y x y x dx dy U 21222'
22,31,313
1
,31;012,0121
212.
132
-+-=
=--=+=-==
-==+-=--+---=
.
7)5(721
772
17)7(,71,1,52
5,
14)5(22
c x y x c
x t dx dt t t t
dx dt dx dt dx dy t y x y x y x dx dy y x t +-=+--+-=----=--===---+-=
+-代回变量两边积分变量分离原方程化为：则
解：令
15．1
8)14()1(22+++++=xy y x dx dy
原方程的解。

，是
，两边积分得分离变量，
，所以求导得，则关于令解：方程化为c x y x arctg dx du u u dx du dx du dx dy x u y x y x xy y y x x dx
dy
+=++=++==+=+++++=+++++++=6)38
3232(9
414
9
4141412
)14(1818161222222 16．2
252
622y
x xy x y dx dy +-= 解：，则原方程化为，，令u y x
xy x y dx dy x xy y x y dx dy =+-==+-=32
322332322232]2)[(32(2)( 126326322
2
22+-=+-=x
u x u x
xu x u dx du ，这是齐次方程，令
c
x x y x y c x y x y c x x y x y c x z z dx x dz d
z z z z z x y x y z z z z z z z dx dz x dx dz x z z z dx dz x z dx du z x u 15337333533735
372
233222)2()3(023)2()3,)2()3112062312306)1.(..........1261263=+-=-===+-=+-=--+≠---==-===--+--=+=+-+==的解为时。

故原方程包含在通解中当或，又因为即（，两边积分的（时，变量分离当是方程的解。

或）方程的解。

即是（或，得当，，，，所以，则
17. y
y y x x xy x dx dy -+++=3
2
32332 解：原方程化为1
231
32;;;;;)123()132(2
2
22222222-+++=-+++=y x y x dx dy y x y y x x dx dy 令)1.......(1
231
32;;;;;;;;;;;;,22-+++===u v u v dv du v x u y 则
方程组，
，，）；令，的解为（111101230
132+=-=-⎩
⎨⎧=-+=++u Y v Z u v u v 则有⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
++==+=+z y z y dz dy y z y z 23321023032）化为，，，，从而方程（ 令
)2.( (232223322)
，，，，，所以，，则有t
t dz dt z t t dz dt z t dz dt z t dz dy z y t +-=++=++== 当
是原方程的解
或的解。

得，是方程时，，即222222)2(1022x y x y t t -=-=±==-当
c x y x y dz z dt t
t t 522222
2)2(12223022+-=+=-+≠-两边积分的时，，分离变量得 另外
c
x y x y x y x y 522222222)2(2+-=+-=-=原方程的解为，包含在其通解中，故，或
，这也就是方程的解。

，两边积分得分离变量得
，则原方程化为令解）（
并由此求解下列方程可化为变量分离方程，经变换证明方程
c y x x y dx x du u
u u u x u u u u
x y x y x dx dy y x xdy dx y x y u xy xy f dx
dy
y x +==--=+-+====+==+=+=++==+=≠==+=+=+==--==
+=-+==+===
4ln 142241)22(1dx du u xy (2) 0.
x ,c
2故原方程的解为原
也包含在此通解中。

0y ,c 2
即,c 2两边同时积分得：dx x 12u du 变量分离得：),(2u x 1dx du 则方程化为u,xy 令1dx dy y x 时，方程化为0s xy 是原方程的解，当0y 或0x 当:(1)解程。

故此方程为此方程为变u)(uf(u)x 11)(f(u)x u 1)y(f(u)dx du f(u),1dx du
y 1得：
y dx du dx dy x 所以,dx dy
dx dy x y 求导导得x 关于u,xy 证明：因为22).
2()1(.1)(18.222
22
2
2
2
2
2
2
22
2
4
22
3
3
22
2
22
222x y
x y x y x y
x u u u
u y x
19. 已知f(x)⎰≠=x
x f x dt x f 0
)(,0,1)(的一般表达式试求函数.
解：设f(x)=y, 则原方程化为⎰=x
y
dt x f 0
1)( 两边求导得
'12
y y
y -
= c
x y y c x dy y dx dx dy y +±==+-==
-21
;;;;;121;;;;;;;;;;;;1;;;;;;;;;;233所以两边积分得代入
把c
x y +±
=21⎰
=
x
y
dt x f 0
1
)(
x
y c c x c c x c x dt c
t x
21,02)2(;;;;;;;;;;2210
±
==+±=-+±+±=+±⎰
所以得
20.求具有性质 x(t+s)=)
()(1)
()(s x t x s x t x -+的函数x(t),已知x’(0)存在。

解：令t=s=0 x(0)=
)0(1)0()0(x x x -+=)
0()0(1)
0(2x x x - 若x(0)≠0 得x 2=-1矛盾。

所以x(0)=0. x’(t)=)(1)(0(')()(1[))
(1)((lim )()(lim
22t x x t x t x t t x t x t t x t t x +=∆-∆+∆=∆-∆+) ))(1)(0(')
(2t x x dt
t dx +=
dt x t x t dx )0(')(1)(2=+ 两边积分得arctg
x(t)=x’(0)t+c 所以x(t)=tg[x’(0)t+c] 当t=0时 x(0)=0 故c=0 所以 x(t)=tg[x’(0)t]
习题2.2
求下列方程的解 1．
dx
dy
=x y sin + 解： y=e ⎰dx (⎰x sin e ⎰-dx
c dx +)
=e x [-21
e x -(x x cos sin +)+c]
=c e x -2
1
(x x cos sin +)是原方程的解。

2．
dt
dx
+3x=e t 2 解：原方程可化为：
dt
dx
=-3x+e t 2 所以：x=e ⎰
-dt
3 (⎰e t 2 e -⎰-dt
3c dt +)
=e t 3- (51
e t 5+c)
=c e t 3-+5
1
e t 2 是原方程的解。

3．dt ds =-s t cos +2
1
t 2sin
解：s=e ⎰-tdt cos (t 2sin 2
1
⎰e dt dt ⎰3c + )
=e t sin -(⎰+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin )
=1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。

4．
dx dy n x x e y n
x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n
n x dx x n
+⎰⎰=⎰-
)(c e x x n += 是原方程的解.
5．dx dy +1212--y x x
=0 解：原方程可化为：dx dy =-121
2+-y x x
⎰=-dx x x e y 21
2(c dx e dx x x
+⎰-221)
)21
(ln 2+=x e )
(1
ln 2⎰+--c dx e x x =)1(1
2x ce x + 是原方程的解.
6． dx dy 23
4xy x x += 解：dx dy 23
4xy x x +=
=23y x +x y
令x y
u = 则 ux y = dx dy =u dx du
x + 因此：dx du
x u +=2u x
21
u dx du
=
dx du u =2
c x u +=331
c x x u +=-33 （*）
将x y
u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.
3
3
3
2
()2
1()227.(1)12(1)12(),()(1)1
(1)(())
1
(1)dx P x dx x P x dx dy
y
x dx x dy
y
x dx x P x Q x x x e e x e Q x dx c x +--=++=+++==++⎰⎰==+⎰⎰++⎰⎰P(x)dx 23
2解：方程的通解为：
y=e =(x+1)(*(x+1)dx+c) =(x+1)((x+2
3
2
2
1
(1)()
21
1,()(())
dy y x c dy y
dx x y dx x y dy
y y Q y y y
e y
Q y dy c -+++==+=⎰⎰==⎰⎰+⎰⎰2243
P(y)dy P(y)dy P(y)dy 1)dx+c)
=(x+1) 即：2y=c(x+1)+(x+1)为方程的通解。

8. =x+y 解：则P(y)= e 方程的通解为：
x=e e 23
3
1
*)
22y dy c y y cy
y ++⎰ =y( =即 x= +cy是方程的通解 ，且y=0也是方程的解。

()()()1
9.,1
),()(())
01a
dx P x dx a
x P x dx P x dx a a dy
ay x a dx x x a
x P x Q x x x
e e x e e Q x dx c a a -+=++==⎰⎰==⎰⎰+==⎰为常数
解：（方程的通解为： y=1x+1
=x (dx+c)
x x 当 时，方程的通解为
y=x+ln/x/+c
当 时，方程01a a a ≠a 的通解为
y=cx+xln/x/-1
当 ，时，方程的通解为
x
1
y=cx +-
1-
3
3
3
1
()()()310.1
1(),()1
(())
(*)
dx P x dx x P x dx P x dx dy
x y x dx dy
y x dx x P x Q x x x
e e x
e e Q x dx c x x dx c c
x
c
x --+==-+=-=⎰⎰==⎰⎰++++⎰⎰33解：方程的通解为：
y=1
=x x =4x 方程的通解为：　y=4
()()()2
233
33
23
323233
2311.2()
2()
()2,()2(())
((2)p x xdx x p x p x x dy xy x y dx
xy x y dx
xy x
y dx xy x dx y z
dz
xz x dx P x x Q x x e dx e e e dx e dxQ x dx c e x -----+==-+=-+=--+==--+==-⎰⎰==⎰⎰+-⎰⎰23
-2
x dy 解：两边除以y dy dy 令方程的通解为：
z= =e 222)
1
1)1,0x x dx c ce y ce y +++++==22 =x 故方程的通解为：(x 且也是方程的解。

222
1
211
1()()2
2
2ln
1
12.(ln 2)424
ln 2ln 2ln 22
ln 2
ln (),()(())
ln 1(())(P x dx P x dx dx dx x x c x
y x ydx xdy x dy
x y
y dx x x
y dy x y y dx x x
dy x y dx x x
y z
dz x
z dx x x
x
P x Q x x x
z e e Q x dx c x
z e e dx c x x -------=++=-=-=-==-==-⎰⎰=+⎰⎰=-+=⎰⎰解： 两边除以 令方程的通解为：
222ln ())ln 1
424
ln 1
:()1,424x
dx c x x c
x x c x y x -+=++++=⎰方程的通解为且y=0也是解。

13
22
2(2)2122xydy y x dx
dy y x
y
dx xy x y
=--==-
这是n=-1时的伯努利方程。

两边同除以1
y ，
21
2dy y y dx x =-
令2y z = 2dz
dy
y dx dx =
22211dz y z
dx x x =-=- P(x)=2
x Q(x)=-1
由一阶线性方程的求解公式
22
()dx dx x x z e e dx c -⎰⎰=-+⎰
=2x x c +
22y x x c =+
14 23y dy
e x
dx x +=
两边同乘以y e 22()3y y
y dy
e xe e dx x +=
令y e z = y dz dy
e dx dx =
22
2233dz z xz z z dx x x x +==+ 这是n=2时的伯努利方程。

两边同除以2z 2213
1
dz
z dx xz x =+ 令1T z =
21dT dz dx z dx =- 231
dT T dx x x -=+
P （x ）=3x - Q(x)=21
x -
由一阶线性方程的求解公式
3
321()dx dx
x x T e e dx c x --⎰⎰=+⎰
=32
1()2x x c --+
=131
2x cx ---+
131
()12z x cx ---+=
13
1()12y e x cx ---+=
2
312y y x e ce x -+=
2312y
x x e c -+=
15 331
dy
dx xy x y =+
33dx
yx y x dy =+
这是n=3时的伯努利方程。

两边同除以3x 3321dx
y
y x dy x =+
令2x z -= 32dz
dx
x dy dy -=-
3222dz
y
y dy x =--=322yz y -- P(y)=-2y
Q(y)=32y -
由一阶线性方程的求解公式
223(2)ydy ydy z e y e dy c ---⎰⎰=-+⎰
=223(2)y y e y e dy c --+⎰
=221y y ce --++
2
22(1)1y x y ce --++= 222
22(1)y y y x e y ce e --++=
22222(1)y e x x y cx -+=
16 y=x e +0()x y t dt ⎰ ()x dy e y x dx
=+ x dy y e dx
=+ P(x)=1 Q(x)=x e 由一阶线性方程的求解公式
11()dx dx x y e e e dx c -⎰⎰=+⎰
=()x x x e e e dx c -+⎰
=()x e x c +
0()()x
x x
x e x c e e x c dx +=++⎰ c=1
y=()x e x c +
17 设函数ϕ(t)于-∞<t<+∞上连续，'ϕ(0)存在且满足关系式ϕ(t+s)=ϕ(t)ϕ(s)
试求此函数。

令t=s=0 得ϕ(0+0)=ϕ(0)ϕ(0) 即ϕ(0)=2(0)ϕ 故(0)0ϕ=或(0)1ϕ=
（1） 当(0)0ϕ=时 ()(0)()(0)t t t ϕϕϕϕ=+= 即()0t ϕ=
(t ∀∈-∞,+∞)
(2) 当(0)1ϕ=时 '0()()()lim t t t t t t ϕϕϕ∆→+∆-=∆=0()()()lim t t t t t ϕϕϕ∆→∆-∆ =0()(()1)lim t t t t ϕϕ∆→∆-∆=0(0)(0)()lim t t t t ϕϕϕ∆→∆+-∆
='(0)()t ϕϕ 于是'(0)()d t dt
ϕϕϕ= 变量分离得'(0)d dt ϕϕϕ= 积分 '(0)t ce ϕϕ= 由于(0)1ϕ=，即t=0时1ϕ= 1=0ce ⇒c=1
故'
(0)()t t e ϕϕ=
20.试证：
（1）一阶非齐线性方程（2 .28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；
（2）若()y y x =是（2.3）的非零解，而()y y x =是（2.28）的解，则方程（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数.
（3）方程（2.3）任一解的常数倍或任两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解. 证明：()()dy P x y Q x dx =+ （2.28） ()dy P x y dx = （2.3）
（1） 设1y ，2y 是（2.28）的任意两个解
则 11()()dy P x y Q x dx
=+ （1） 22()()dy P x y Q x dx
=+ （2） （1）-（2）得
()1212()()d y y P x y y dx
-=- 即12y y y =-是满足方程（2.3）
所以，命题成立。

（2） 由题意得：
()()dy x P x y dx = （3） ()()()()d y x P x y x Q x dx =+ （4） 1）先证y cy y =+是（2.28）的一个解。

于是 ()()34c ⨯+ 得 ()()()cdy d y cP x y P x y Q x dx dx +=++ ()()()()d cy y P x cy y Q x dx +=++ 故y cy y =+是（2.28）的一个解。

2）现证方程（4）的任一解都可写成cy y +的形式
设1y 是(2.28)的一个解 则 11()()dy P x y Q x dx =+ （4’） 于是 （4’）-（4）得 11()()()d y y P x y y dx -=- 从而 ()1P x dx y y ce cy ⎰-== 即 1y y cy =+ 所以，命题成立。

（3） 设3y ，4y 是（2.3）的任意两个解
则 3
3()dy P x y dx = （5）
4
4()dy P x y dx = （6）
于是（5）c ⨯得 3
3()cdy cP x y dx =
即 33()
()()d cy P x cy dx = 其中c 为任意常数
也就是3y cy =满足方程（2.3）
（5）±（6）得
3434()()dy dy P x y P x y dx dx
±=± 即 3434()()()d y y P x y y dx ±=± 也就是34y y y =±满足方程（2.3）
所以命题成立。

21.试建立分别具有下列性质的曲线所满足的微分方程并求解。

（5）
曲线上任一点的切线的纵截距等于切点横坐标的平方； （6） 曲线上任一点的切线的纵截距是切点横坐标和纵坐标的等差中项； 解：设(,)p x y 为曲线上的任一点，则过p 点曲线的切线方程为
'()Y y y X x -=- 从而此切线与两坐标轴的交点坐标为(,0),(0,')'y x y xy y -
- 即 横截距为 'y x y -
， 纵截距为 'y xy -。

由题意得：
（5） 2'y xy x -=
方程变形为
2dy x
y x dx
=- 1dy y x dx x =- 于是 11
()(())dx dx x x y e x e dx c -⎰⎰=-+⎰ ln ln (())x x e x e dx c -=-+⎰
1
(())x x x dx c -=-+⎰ 1
(())x x
dx c x
=-+⎰ ()x x c =-+ 2x cx =-+
所以，方程的通解为2y x cx =-+。

（6）'2
x y
y xy +-= 方程变形为
22dy y x x
dx =- 11
22
dy y dx x =-
于是 11
()221(())2
dx
dx x x y e e dx c -⎰⎰=-+⎰
11ln ln 2
2
1(())2
x x e
e dx c -=-+⎰
112
2
1
(())2
x x dx c -
=-+⎰
11
2
21(())2
x x dx c -=-+⎰
1122
()x x c =-+ 12
x cx =-+
所以，方程的通解为1
2
y x cx =-+。

22．求解下列方程。

（1）0')1(2=+--xy y x 解：1
1
11'22--
--=
x y x xy y )1
1(12122⎰+⎰--⎰=---c e x e
y dx
x x
dx
x x
=]/
1/111[/1/2
1222
12c dx x x x +----⎰
=]/
1/[/1/2
322
12
c x dx
x +--
-⎰
=c x x +-/1/2
（2） '3sin cos sin 0y x x y x --=
2sin sin cos cos dy y x dx x x x
=+ P(x)=1
sin cos x x
Q(x)=2sin cos x x
由一阶线性方程的求解公式
112
sin cos sin cos sin ()cos dx dx x x x x x y e e dx c x
-⎰⎰=+⎰
=
sin (sin )cos x
xdx c x +⎰ =sin (cos )cos x x c x
-+
=sin tgxc x -
习题2.3
1、验证下列方程是恰当方程，并求出方程的解。

1. 0)2()(2=-++dy y x dx y x 解： 1=∂∂y M ，x
N
∂∂=1 . 则
x
N y M ∂∂=∂∂ 所以此方程是恰当方程。

凑微分，0)(22=++-xdy ydx ydy dx x 得 ：C y xy x =-+233
1 2． 0)4()3(2=---dy x y dx x y
解： 1=∂∂y M ，1=∂∂x N
. 则
x
N
y M ∂∂=∂∂ . 所以此方程为恰当方程。

凑微分，0432=--+ydy dx x xdy ydx 得 C y xy x =+-232
3． 0])(1[]1)
([2
2
22=--+--dy y x x y dx x y x y 解： 3
422)(2)()1)((2)(2y x xy
y x y x y y x y y M -=-----=∂∂ 3
422)(2)()(2)(2y x xy
y x y x x y x x x N -=
-----=∂∂ 则
y
N
x M ∂∂=∂∂ . 因此此方程是恰当方程。

x y x y x u 1
)(2
2--=∂∂ （1） 2
2
)(1y x x y y u --
=∂∂ （2） 对（1）做x 的积分，则)(1
)
(22y dx x dx y x y u ϕ+--=⎰⎰ =---
y
x y 2
)(ln y x ϕ+ （3） 对（3）做y 的积分，则dy y d y x y y x y y u )
()(2)()1(2
2ϕ+
--+---=∂∂ =dy y d y x y xy )()(22
2ϕ+-+- =2
2
)(1y x x y -- 则11)
(21)(2)(1)(2
222222-=-+--=-----=y y x y xy x y y x xy y y x x y dy y d ϕ y y dy y
y -=-=⎰ln )11()(ϕ
y
x xy
x y y x y xy y x y y y x y x y u --=--+-=-+---=ln ln ln ln 222
故此方程的通解为C y
x xy
x y =-+
ln 4、 0)2(3)23(22232=+++dy y y x dx x xy
解：
xy y M 12=∂∂，xy x
N
12=∂∂ . x
N y M ∂∂=∂∂ . 则此方程为恰当方程。

凑微分，036462232=+++dy y ydy x dx x dx xy
0)()()(33422=++x d x d y x d
得 ：C y y x x =++32243 5.(y
1sin y
x -2
x y cos x y +1)dx+(x 1 cos x y -2y x
sin y x +21y )dy=0 解： M=y
1
sin y
x -
2
x y cos x y +1 N=x 1 cos x y -2y x
sin y x +21y
y M ∂∂=-21y sin y x -3y x cos y x -21x cos x y +3x y sin x y
x N ∂∂=-21y sin y x -3y x cos y x -21x cos x y +3x y sin x
y
所以，
y M ∂∂=x N
∂∂，故原方程为恰当方程 因为y
1
sin y
x dx-2
x y cos x y dx+dx+x 1 cos x y
dy-2y x sin y x dy+21y dy=0 d(-cos y
x )+d (sin x
y
)+dx+d(-y
1)=0 所以，d(sin x
y -cos y x +x -y
1)=0
故所求的解为sin x y -cos y x +x -y
1=C
求下列方程的解：
6．2x(y 2x e -1)dx+2
x e dy=0
解：
y M ∂∂= 2x 2x e , x
N
∂∂=2x 2x e 所以，
y M ∂∂=x
N
∂∂，故原方程为恰当方程 又2xy 2
x e dx-2xdx+2
x e dy=0 所以，d(y 2
x e -x 2)=0 故所求的解为y 2
x e -x 2=C 7.(e x +3y 2)dx+2xydy=0 解：e x dx+3y 2dx+2xydy=0 e x x 2dx+3x 2y 2dx+2x 3ydy=0 所以，d e x ( x 2-2x+2)+d( x 3y 2)=0 即d [e x ( x 2-2x+2)+ x 3y 2]=0 故方程的解为e x ( x 2-2x+2)+ x 3y 2=C 8. 2xydx+( x 2+1)dy=0 解：2xydx+ x 2dy+dy=0
d( x 2y)+dy=0 即d(x 2y+y)=0
故方程的解为x 2y+y=C 9、()dx y x xdy ydx 22+=-
解：两边同除以 22y x + 得
dx y
x xdy
ydx =+-2
2 即，dx y x arctg d =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
故方程的通解为c x y x tg +=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛arg 10、()03=+-dy y x ydx 解：方程可化为：
ydy y
xdy
ydx =-2
即， ydy y x d =⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛
故方程的通解为：c y y
x +=22
1 即：()c y y x +=2
2 同时，y=0也是方程的解。

11、()01=+--xdy dx xy y
解：方程可化为：()dx xy xdy ydx +=+1
()()dx xy xy d +=1 即：
()dx xy xy d =+1 故方程的通解为：c x xy +=+1ln 12、()02=--xdy dx x y 解：方程可化为：
dx x xdy
ydx =-2 dx x y d =⎪⎭
⎫
⎝⎛- 故方程的通解为 ：x c x
y -= 即：()x c x y -= 13、()02=++xdy dx y x 解：这里x N y x M =+=,2 ，
x
N
y M ∂∂≠∂∂
x
N x N
y M 1=∂∂-∂∂ 方程有积分因子x e
dx
x =⎰=1
μ 两边乘以μ得：方程()022=++dy x dx y x x 是恰当方程 故方程的通解为：()()
c dy dx xy x y x dx xy x =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+∂∂-
++⎰⎰⎰222
22 c y x x =+33
3
即：c y x x =+233
14、()()[]()0cos sin cos =+++++dy y x x dx y x y x x 解：这里()()()y x x N y x y x x M +=+++=cos ,sin cos 因为
()()y x x y x x
N
y M +-+=∂∂=∂∂sin cos 故方程的通解为：
()()[]()()()[]c dy dx y x y x x y y x x dx y x y x x =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+++∂∂
-
+++++⎰⎰⎰sin cos cos sin cos 即：()c y x x =+sin
15、()()o dy x x x y dx x x x y =+++cos sin sin cos 解：这里x x x y N x x x y M cos sin ,sin cos +=-=
x
N y M ∂∂≠∂∂ 1=-∂∂-
∂∂M
x
N
y M 方程有积分因子：y dy e e =⎰=μ 两边乘以μ得： 方程()()0cos sin sin cos =++-dy x x x y e dx x x x y e y y 为恰当方程 故通解为 ：()()c dy dx x x x y e y N dx x x x y e y
y =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-∂∂-
+-⎰⎰⎰sin cos sin cos 即：()c x e y x e y y =+-cos 1sin
16、()()053243=+++xdy ydx y xdy ydx x 解：两边同乘以y x 2得：
()()
0532*******
=+++ydy x dx y x ydy x dx y x
(
)()
05324=+y x d y x d
故方程的通解为：c y x y x =+5324
17、试导出方程0),(),(=+dy Y X N dx Y X M 具有形为)(xy μ和
)(y x +μ的积分因子的充要条件。

解：若方程具有)(y x +μ为积分因子，
x N y M ∂∂=∂∂)
()(μμ （)(y x +μ是连续可导） x N
x N y M y M
∂∂+∂∂=∂∂+∂∂μμμμ )(x N y M x N y M
∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂μμμ )1( 令 y x z +=
dz d x z dz d x μ
μμ=
∂∂⋅=∂∂，dz d y μμ=∂∂ . )(y
M
x N dz d N dz d M
∂∂-∂∂=-μμμ， )()
(y
M
x N dz d N M ∂∂-∂∂=-μμ ， N
M y
M x N d -∂∂-
∂∂=μμ ， dz y x dz )(+=ϕ 方程有积分因子)(y x +μ的充要条件是：N
M y
M
x N -∂∂-∂∂是y x +的函数，
此时，积分因子为⎰
=+dz
z e y x )()(ϕμ .
)2( 令y x z ⋅=
dz d y
x z dz d x μ
μμ=∂∂⋅=∂∂ ，dz d x y z dz d y μμμ⋅=∂∂⋅=∂∂ )(y
M
x N dz d Ny dz d Mx
∂∂-∂∂=-μμμ )()
(y
M
x N dz d Ny Mx ∂∂-∂∂=-μμ Ny
Mx y
M x N d -∂∂-
∂∂=μμ 此时的积分因子为⎰
=-∂∂-∂∂dz
Ny
Mx y
M
x N e xy )(μ
18. 设),(y x f 及
y
f
∂∂连续,试证方程0),(=-dx y x f dy 为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x 的积分因子.
证:必要性 若该方程为线性方程,则有
)()(x Q y x P dx
dy
+= , 此方程有积分因子⎰=-dx
x P e x )()(μ,)(x μ只与x 有关 .
充分性 若该方程有只与x 有关的积分因子)(x μ . 则0),()()(=-dx y x f x dy x μμ为恰当方程 , 从而
dx x d y y x f x )()),()((μμ=∂-∂ ,)
()
(x x y f μμ'-=∂∂ ,
)()()()
()()()()(x Q y x P x Q y x x x Q dy x x f +=+'-=+'-=⎰
μμμμ . 其中)
()
()(x x x P μμ'-
= .于是方程可化为0))()((=+-dx x Q y x P dy 即方程为一阶线性方程.
20.设函数f(u)，g(u)连续、可微且f(u)≠g(u),\，试证方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0
有积分因子u=(xy[f(xy)-g(xy)])1-
证：在方程yf(xy)dx+xg(xy)dy=0两边同乘以u 得：
uyf(xy)dx+uxg(xy)dy=0
则y uyf ∂∂=uf+uy y f ∂∂+yf y u ∂∂=)(g f xy f -+)(g f xy y f y
-∂∂-yf 2
22)()(g f y x y
g
xy
y f xy g f x -∂∂+∂∂+-
=2)(g f xy y f gy y g yf -∂∂-∂∂=2
)(g f x y xy
xy f g y xy xy g f -∂∂∂∂-∂∂∂∂ =
2
)
(g f xy
f
g xy g f
-∂∂-∂∂ 而x uxg ∂∂=ug+ux x g ∂∂+xg x u ∂∂=)(g f xy g -+)
(g f xy x g x
-∂∂- xg 2
22)()(g f y x x g
xy
x f xy g f y -∂∂-∂∂+- =
2)(g f xy x xy xy f xg x xy xy g xf
-∂∂∂∂-∂∂∂∂=2
)
(g f xy
f
g
xy g f -∂∂-∂∂ 故
y uyf ∂∂=x
uxg
∂∂，所以u 是方程得一个积分因子 21．假设方程（2.43）中得函数M （x,y ）N(x,y)满足关系
x
N
y M ∂∂-∂∂= Nf(x)-Mg(y),其中f(x),g(y)分别为x 和y 得连续函数，试证方程（2.43） 有积分因子u=exp(⎰dx x f )(+⎰dy y g )() 证明：M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
即证
x uN y uM ∂∂=∂∂)()(⇔u
y M ∂∂+M y u ∂∂=u x N ∂∂+N x
u
∂∂⇔
u(
y M ∂∂-x N ∂∂)=N x
u
∂∂- M y u ∂∂⇔u(y M ∂∂-x N ∂∂)=Ne ⎰⎰+dy y g dx x f )()(f(x)
-M e ⎰
⎰
+dy
y g dx x f )()(g(y)⇔u(
y M ∂∂-x
N
∂∂)=e ⎰⎰+dy y g dx x f )()((Nf(x)-Mg(y)) 由已知条件上式恒成立，故原命题得证。

22、求出伯努利方程的积分因子. 解：已知伯努利方程为：
()();,o y y x Q y x P dx
dy
n ≠+= 两边同乘以n y -，令n y z -=，
()()()(),11x Q n z x P n dx
dz
-+-=线性方程有积分因子： ()()()()dx
x P n dx x P n e e ⎰=⎰=---11μ，故原方程的积分因子为： ()()()()dx
x P n dx x P n e e ⎰
=⎰=---11μ，证毕！ 23、设()y x ,μ是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的积分因子，从而求得可微函数()y x U ,，
使得().Ndy Mdx dU +=μ试证()y x ,~μ
也是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的积分因子的充要条件是()(),,~U y x μϕμ
=其中()t ϕ是t 的可微函数。

证明：若()u μϕμ=~，则()()()()()()
()()()N u M u y
M y u M u y M y M u y M μϕμϕμμϕμϕμμϕμ'+∂∂=∂∂'+∂∂=∂∂=∂∂~
又()()()()()()()()()()y M M u N u y M M u N u x N x N u x N ∂∂=
'+∂∂='+∂∂=∂∂=∂∂μμϕμϕμμϕμϕμμϕμ
~~ 即μ
~为()()0,,=+dy y x N dx y x M 的一个积分因子。

24、设()()y x y x ,,,21μμ是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的两个积分因子，且≠21μμ常数，求证c =21μμ（任意常数）是方程
()()0,,=+dy y x N dx y x M 的通解。

证明：因为21,μμ是方程()()0,,=+dy y x N dx y x M 的积分因子
所以o Ndy Mdx i i =+μμ ()2,1=i 为恰当方程 即 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂-∂∂=∂∂-∂∂x N y M y M x N
i i i μμμ，2,1=i 下面只需证2
1
μμ的全微分沿方程恒为零 事实上：
0212122122211
222
22212122
222111221=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛∂∂+∂∂-⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+∂∂=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛x N y
M x N y M N dx y M x N y M x N N dx dx y N M dx x dx y N M dx x dy y dx x dy y dx x d μμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμμ
即当c ≠21μμ时，c =2
1μμ
是方程的解。

证毕！
习题 2.4
求解下列方程 1、y y x '+='13 解：令
t p y dx dy 1=='=，则23311t t t t x +=⎪⎭
⎫
⎝⎛+=， 从而()()c t t c dt t c t t d t
c pdx y ++=++=++=+=⎰⎰⎰22
3231
223，
于是求得方程参数形式得通解为⎪⎩
⎪⎨⎧++=+=c
t t y t t x 2232
2
3. 2、()0133='--'y x y
解：令tx p y dx
dy =='=，则()()013
3=--tx x tx ，即t t t t x 1123-=-=， 从而c t t d t t t c pdx y +⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-⎪⎭⎫ ⎝
⎛-=+=⎰⎰1122
()c dt t t t +⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
-=⎰23121 c dt t t t +⎪⎭
⎫
⎝
⎛-
-=⎰2412 c t
t t ++-=12152
25，
于是求得方程参数形式得通解为⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧++-=-=c t t t y t
t x 121521252
.
3、y e y y ''=2 解：令
p y dx
dy
='=，则p e p y 2=， 从而()c e p d p
x p +=⎰21 ()
c dp e p pe p
p p ++=⎰
221
=()⎰++c dp pe e p p 2 ()c e p p ++=1，
于是求得方程参数形式的通解为()⎪⎩⎪⎨⎧=++=p
p
e
y y c
e p x 21, 另外，y=0也是方程的解.
4、()a y y 212='+, a 为常数 解：令
ϕtg y dx
dy
='=，则ϕϕϕ22
2cos 2sec 212a a tg a y ==+=， 从而()
c a
d tg c dy p
x +=+=⎰
⎰ϕϕ
2cos 21
1
c a c
d a ++-=+-=⎰⎰2
2cos 14cos 42ϕ
ϕϕ ()c a ++-=ϕϕ2sin 2，
于是求得方程参数形式的通解为()⎩
⎨⎧=++-=ϕϕϕ2
cos 22sin 2a y c
a x . 5、='+22y x 1 解：令
t p y dx
dy
cos =='=，则t t x sin cos 12=-=， 从而()c t td y +=⎰sin cos c dt t
c tdt ++=+=⎰
⎰2
2cos 1cos 2 c t t ++=2sin 4
12
1，
于是求得方程参数形式的通解为⎪⎩
⎪
⎨⎧++==c t t y t x 2sin 4121sin .
6、()()2221y y y '-=-'
解：令yt y ='-2，则11-='-yt y ，得t
t y 1+=，
所以()
()
dt t dt t t t t dt t t t t t t d yt dy y dy dx 222222*********-=--=--=⎪
⎭
⎫
⎝⎛+-⎪
⎭⎫
⎝⎛+=-='=-， 从而c t c dt t x +=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
=⎰1
12，
于是求得方程参数形式的通解为⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧+=+=t t y c t x 11，
因此方程的通解为c x c
x y -+-=
1
. 习题2.5
2．ydy
x
xdy ydx 2
=-
解：两边同除以2
x ，得： ydy x
xdy
ydx =-2
c y x y d
+-=22
1
即c
y
x y =+2
2
1 4．xy
x y dx
dy -=
解：两边同除以x ，得
x
y x y dx
dy -
=1
令u x y
= 则dx du x
u dx dy += 即dx
du
x
u dx dy +=u
u -=1
得到()2
ln 2
11y c u -=， 即
2
ln 21⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=y c y x
另外0=y 也是方程的解。

6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx
xdx y
xdy
ydx -=-2
得到c
x y x d +-=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛2
2
1
即c
x y x =+2
2
1
另外0=y 也是方程的解。

8.
32
x
y x y dx dy +=
解：令u x y
=
则：2
1
u x
u dx du x u dx dy +=+= 即2
1u x
dx du x = 得到2
2
x
dx
u du =
故c x u +-=-11
即2
11x
x c y += 另外0=y 也是方程的解。

10．
2
1⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=dx dy dx dy x
解：令p dx dy = 即
p
p x 2
1+=
而p dx dy =故两边积分得到
c p p y +-=
ln 2
12
因此原方程的解为
p
p x 21+=
，
c p p y +-=
ln 2
12。

12.x y
xe dx dy e
=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-1
解：y x xe dx
dy
+=+1
令
u
y x =+
则 dx
du
dx dy =
+1
11-=-=u xe dx
du dx dy
即xdx e du u
=
c x e u +=
--2
2
1
故方程的解为 c x e y
x =++2
2
1 14．1++=y x dx dy 解： 令u y x =++1
则dx du
dx dy =
+1 那么u dx
du
dx dy =-=1
dx u du
=+1
求得： ()c
x u +=+1ln
故方程的解为()c x y x +=++1ln 或可写 为x
ce y x =++1 16．()y
e dx
dy x -=++211 解：令u e y
=- 则u y ln -=
()1211-=+-u dx
du
u x ()dx
x du u u 11
121+-=-
c x u u ++=-`
11
12
即方程的解为()c x y x e y
+=+2
18．()0
124322
=-+dy y x dx y x
解： 将方程变形后得
1
2432
2-=
y x y x dx dy
222
23412412y x y x y x y x dy dx -=-=
同除以2
x 得：
2
32
41
2y
y x dy dx x -=
令3
x z = 则2
4323y
y z dy dz -=
2
3
22
3
cy y z +=
即原方程的解为2
3
23
2
3
cy y x +=
19.X(04)(
2)
2
=+-x dx
dy
y dx
dy
解：方程可化为2y()(24)(
,4)()2
2
dx
dy x dx dy x y x dx
dy x dx dy +=
+=
令
[]
[]
c
e t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dy x e dx
dy
c x y x arctg xdx y x darctg xdx y x xdy ydx xdy y x x y y c y y x c y y
y x dy
y y y x d dy y y y xdy ydx y dy y xdy ydx dy y x ydx cy y x c y y
x y d y x d dy y x y
dx xy y e y xy x xy x
N
y M x x N x y M dy x y xydx dy y x y dx y x c
ye x c e y
x
y c e z y y e z y dy dz e z e dy dz y z e e z z e e z z ze e e z dy dx dy e z dx e dy dz
y z dy dx yz x z y x dy y
x
e dx e y p c x y c tg c d c d x d d dy p dy dx y y p dx dy dx dy y x c yc c c x c x x c x x y c
x p xdp pdx x y p xdp pdx p dp p x dx p p dp x xp dx p p dp p x x dx p p dx dp p x x p p dx dp p x p dx dp x p p x p x p x p x xp y p dx dy t t t
t dx dy
dy y y x
y x
z
z
z z z z z z z z z z z y
x y x +-+=++==+====-++===+-=-+-=+=+++-=+=+=-+=-=++-=-=-=-=-+=⎰-=-=-∂∂-∂∂-=∂∂=∂∂=-+=-+=+=+=+-=+-=+++=++-=+--+=+-=-=++====-
++±==++=+∂=+∂∂=+∂
∂=∂∂=
∂∂∂∂=∂==∂==∂-∂===⎥⎦⎤⎢⎣⎡
-+=+=+⋅===-±===-=∴=---=+-+-=-+--=--++=+=-==⎰⎰⎰----)1(,0
.25.2,0
)(.240),()11
1,1,)1(0
)1(.231
01,0)3(24282,6,20
)3(2032.22)(,)(,ln ln 1,111)1(,
)1()1(,0)1()1.(2110,1)sec cos cos cos sin sin 1sin ,cos 11(sin 1,sin 1
)(1.20.
42,2424,,
0,24,040)4()4(0)4()4(,0)22()22(,)22()22(2222,2224,22
2
2222
2
2222
2
23
223232422
3
44
224
2232
222222
2222222
222222232222得由解：令所以方程的解为解：方程可化为也是解。

另外即（所以方程的解为得两边同除以解：即所以方程的解为所以方程有积分因子解：所以方程的解为方程为则解：令也得另外由（所以方程的解为，）则解：令时当时当或求导得两边对则
c
y e y x e y de y x e d e e y x x N
y M x x N y x x y M dy y x dx y y x xy c
e t e t c dt e t y e t x c
e t e t c dt e t y pdx dy e t x t p dx dy x e dx
dy
x x x x x x t t t
t t t t
t dx dy
=+=+=+∂∂-
∂∂=∂∂++=∂∂=+++++-+=++=+=+-+=++==+====-+⎰⎰32322
2222232
223031,2,20
)()3
2.262
)1(2
)1(0.25所以方程的解为：得方程两边同乘所以方程有积分因子解：（，所以方程的解为：得由则解：令 27.
234
465
dy x y dx x y ++=
++
解： 令23u x y =+，4
2323
25
du dy u dx dx u +=+=++，则 722
25du u dx u +=+，
25
722
u du dx
u +=+， 917
1=22142
7
dx
u -
+， 两边积分得 223
9ln 2314(3)72
x y y x c ++
=-+
即为方程的通解。

另外，7220u +=，即222307
x y ++=也是方程的解。

28.
2222()dy
x
y x y y x dx
-=-
解： 两边同除以x ，方程可化为：
2
22()
dy y
xy y
x dx x
=+-
令y u x =，则
22222()du
x
u u ux u x x dx
+=+-
即
332()du
x u u dx
=-，
33
2du
x dx u u
=-
3111
(
)22(1)2(1)du x dx
u u u
+-=+-
两边积分得 4
2
11x ce u -
即 4
222x
x y cy e -=
为方程的解。

29. xy
dy y
e dx x
+= 解： 令xy
e
u
=，则
ln u
y x
=
，
2
ln x du
u
dy u dx dx x -=， 那么
221ln ln du u u u ux dx x x
-+=
即 2du
xdx u
= 两边积分得
212
xy
x e c -+=
即为方程的解。

30.
3322
52
422363dy x xy x dx x y y y -+=-+
解： 方程可化为
332252(422)(363)0x xy x dx x y y y dy -+--+=
42322363()()()0
d x x y dx x dy d y y +-++-=
两边积分得 426323x x y y x y c ++--= 即 4623(1)(1)
x x c x y ++=+-
为方程的解。

31.
2()()0
y xdx ydy x ydx xdy ++-=
解： 方程可化为 2320
y xdx y dy xydx x dy ++-=
两边同除以2
y ，得
2
()
x ydx xdy xdx ydx y -++
= 即 221()02dx d x y x dy
++= 令cos x ρθ=，sin y ρθ=，则
cos 0
d dctg ρρρθθ+= 即
2sin 0sin d d θ
ρρθ
-
= 两边积分得
1
sin c ρθ
=-+
将1sin
y
ρ
θ=代入得， c
y
ρ
ρ=-+
即 2222
(1)y c y ρ+=
故 222222
()(1)x y y c y ++=
32.
3
3101dy xy dx x y
++=+。