高考数学经典易错题会诊与2020届高考试题预测(二)(含解析)

2
4． ( 典型例题 ) 若集合 M={y|y=2 -x } ， P={y|y= x 1 } ，则 M∩ P 等于 ( )
A ． {y|y ＞ 1} B ． {y|y ≥ 1}
C.{y|y>0} D
． {y|y ≥ 0}
[ 考场错解 ] 选 A 或 B
[ 专家把脉 ] 错误地认为是求函数 y=2-x 和 y= x 1 的定义域的交集．实际上是求两函
， y=g(x) ， 规 定 ： 函 数
h(x)=
f (x) g(x) f (x) g( x)
当x D f 且x Dg 当x D f且x Dg 当x D f 且x D g
(1) 若函数 f(x)= 1 ,g(x)=x 2 ，写出函数 h(x) 的解析式 ;
x1
(2) 求问题 (1) 中函数 h(x) 的值域． [ 考场错解 ] (1) ∵ f(x) 的定义域 Df 为(- ∞， 1) ∪ (1 ， +∞) ， g(x) 的定义域 Dg 为 R. ∴
1
集合 N．求 (1) 集合 M， N； (2) 集合 M∩ N． M∪ N.
[ 考场错解 ] (1) 由 2x-3 ＞ 0 解得 x＞ 3 ．∴ M={x|x ＞ 3 } ．由 1- 2 ≥ 0 得 x-1 ≤ x-3
2
2
x1
∴-1 ≤ -3 ．∴ N= ?．
(2) ∴ M∩ N=?． M∪ N={x|x> 3 } ．
数的值域的交集． [ 对症下药]
∵集合中的代表元素为 y，∴两集合表示两函数的值域，又∴
-x
M={y|y=2 }={y|y>0} ， P={y|y= x 1 }={y|y ≥ 0} ．∴ M∩ P={y|y ＞ 0} ，故选 C．
专家会诊 1. 对于含有字母的函数求定义域或已知其定义域求字母参数的取值范围，必须对字母
2
g ( 1) 0
1 或△ =4(1-a) 2+8a＜ 0 或
2(1 a) 1 2
g(1) 0.
解得： a∈?．
故 f(x) 在 [-1 ，1] 上不可能为单调函数．
[ 专家把脉 ] 上面解答认为 f(x) 为单调函数 ,f(x) 就只能为单调增函数， 其实 f(x) 还有
可能为单调减函数，因此应令 f ′ (x) ≥ 0 或 f ′ (x) ≤ 0 在[-1 ， 1] 上恒成立． [ 对症下药 ] f ′ (x)=e x(x 2-2ax)+e x(2x-2a)=e x[x 2+2(1-a)x-2a]
x1
的定义域为 B. (1) 求 A； (2) 若 B A，求实数 a 的取值范围．
A， g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a
≤ 1)
[ 考场错解 ] (1) 由 2- x 3 ≥ 0，得 x 1 ≥ 0，∴ x<-1 或 x ≥ 1，即 A=(- ∞， -1) ∪[1 ， +
x3
x1
∞] ． (2) 由 (x-a-1)(2a-x) ＞ 0 得(x-a-1)(x-2a)<0 当 a<1 时， a+1>2a，∴ B=(2a ， a+1),
h(x)=
x2 x1
1 x1 1
x ( ,1) (1, ) ( x 1) (x 1)
(2) 当 x≠ 1 时，h(x)= x2 =x-1+ 1 +2≥ 4．或 h(x)= 1 ∈ (- ∞，0) ∪(0 ，+∞) ． ∴
x1
x1
x1
h(x) 的值域为 (4 ， +∞ ) ，当 x=1 时， h(x)=1 ．综合，得 h(x) 的值域为 {1} ∪ [4 ， +∞ ] ．
[ 考场错解]
(1)
设 -1 ＜ x1 ＜ x2 ，
f(x 2)-f(x 1)=a x2+ x2 2 a x1 x1 2 ax2-a x1+ x 2 2 x1 2 ＞ 0．
x2 1
x1 1
x2 1 x1 1
∴ f(x) 在 (-1 ， +∞ ) 上是增函数．
(2) 设 x0 为方程 f(x)=0 的负数根，则有 ax0+ x0 2 =0．即 ax0= 2 x0 =-1+ 3 ，
g ( 1) 0
g (1) 0
解得， a∈?．
(2) 若 f(x) 在 [-1 ， 1] 上是单调递减函数，
则 f ′ (x) ≤ 0 在 [-1 ， 1] 上恒成立． ∴ ex[x 2+2(1-a)x-2a] ≤ 0 在 [-1 ， 1] 上恒成立． ∵ ex>0．∴ h(x)=x 2 +2(1-a)x-2a ≤ 0 在[-1 ， 1] 上恒成立．
[ 专家把脉 ] 以上解答有两处错误： 一是当 x ∈ Df 但 x Dg 时，应是空集而不是 x ≠ 1．二
是求 h(x) 的值域时，由 x ≠ 1 求 h(x)=x-1+ 1 +2 的值域应分 x>1 和 x<1 两种情况的讨论．
x1
[ 对症下药 ] (1) ∵ f(x) 的定义域 Df =(- ∞， 1) ∪ (1 ，+∞ ) ·g(x) 的定义域是 Dg=(- ∞， +
命题角度 2 函数单调性的应用 1． ( 典型例题Ⅱ ) 已知 a≥ 0，且函数 f(x)=(x 2-2ax)e x 在 [-1 ， 1] 上是单调函数，求 a 的
取值范围． [ 考场错解 ] ∵ f ′ (x)=e x(x 2-2ax)+e x(2x-2a)=e x[x 2+2(1-a)x-2a]
若 x＜1，则 x-1<0 ．∴ h(x)=-[-(x-1)-
1 ]+2 ≤ -2+2=0 ．当且仅当 x=0 时等号成立．
x1
当 x=1 时， h(x)=1 ． 综上，得 h(x) 的值域为 (- ∞， 0) ∪ {1} ∪ [4 ， +∞] ．
2． ( 典型例题 ) 记函数 f(x)= 2 x 3 的定义域为
2
2
x1
x3 0 x1
( x 3)( x 1) 0 x1
∴ x≥ 3 或 x<1．∴ N={x|x ≥ 3 或 x<1} ．
(2) ∴ M∩ N={x|x> 3 } ∩ {x|x ≥ 3 或 x>1}={x|x ≥ 3} ． M∪ N={x|x> 3 } ∪ {x|x ≥ 3 或
2
2
x>1}={x|x> 3 或 x<1} ．
∵B A，∴ 2a≥ 1 或 a+1≤ -1 ，即 a≥ 1 或 a
2
≤-2 ．而 a<1，∴ 1 ≤ a≤ 1 或 a≤ -2 ，
2
故当 B A 时，实数 a 的取值范围是 (- ∞， -2) ∪ [ 1 ， 1] ．
2
3．( 典型例题 ) 记函数 f(x)=lg(2x-3) 的定义域为集合 M，函数 g(x)= 1 2 的定义域为
a=1 时 B= ?，说
[ 对症下药 ] (1) 由 2- x 3 ≥ 0，得 x 1 ≥ 0，
x3
x1
∴x<-1 或 x≥ 1．即 A=(- ∞， -1) ∪ [1 ， +∞ ] ． (2) 由 (x-a-1)(2a-x) ＞ 0，得 (x-a-1)(x-2a)<0 ， 当 a=1 时， B= ?，∵定义域为非空集合，∴ a≠ 1．当 a<1 时， a+1>2a，∴ B=(2a ，a+1) ，
∵f(x) 在 [-1 ， 1] 上是单调函数．
(1) 若 f(x) 在 [-1 ， 1] 上是单调递增函数． 则 f ′ (x) ≥ 0 在[-1 ，1] 上恒成立，即 ex[x 2+2(1-a)x-2a] ≥ 0 在[-1 ，1] 上恒成立．∵ ex>0．∴
g(x)=x 2+2(1-a)x-2a ≥0 在 [-1 ，1] 上恒成立，则有 a 1 1或△ =4(1-a) 2+8a＜ 0 或 a 1 1
①
x0 1
x0 1
x0 1
∵x 0≠ -1 ，∴当 -1<x 0<0 时， 0<x0+1<1. 3 >3， -1+ 3 >2，而 1 ＜ ax0<1 与①矛盾．
又∵ f(x) 在 [-1 ，1]
上是单调函数， f ′ (x) ≥ 0 在 [-1 ， 1] 上恒成立 . 即 e x[x 2+2(1-a)x-2a ≥ 0 在 [-1 ，1] 上恒成立． ∵ ex>0，g(x)=x 2+2(1-a)x-2a ≥ 0 在 [-1 ， 1] 上恒成立．
2(1 a)
即
2
[ 专家把脉 ] 求集合 N 时解不等式 1- 2 ≥0 两边同乘以 (x-1) 不等号不改变方向，不
x1
符合不等式性质， 应先移项化为 f ( x) ≥ 0 的形式再转化为有理不等式，
g( x)
可能为非空集合．∴ N=? 显然是错误的．
求解， 另外定义域不
[ 对 症 下 药 ] (1) 由 2x-3 ＞ 0 ， 得 x ＞ 3 ． ∴ M={x|x ＞ 3 } ． 由 1- 2 ≥ 0 得
酌取值情况进行讨论，特别注意定义域不能 为空集。 2．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的 制约作用．
考场思维训练 1 若函数 y=lg(4-a · 2x) 的定义域为 R，则实数 a 的取值范围是 ( )
A． (0 ， +∞ ) B ． (0 ，2) C． (- ∞， 2) D ． (- ∞， 0)
答案： D 解析：∵ 4-ax20的解集为 R
a
4
x
在
R上恒成立
.
4
x
0, a 0.
2
2
2 已知函数 f(x) 的值域是 [-2 ， 3] ，则函数 f(x-2) 的值域为 ( )
A ． [-4 ， 1]
B
． [0,5]
C． [-4 ， 1] ∪ [0 ， 5] D ． [-2 ， 3]
答案：D 解析： f(x-2) 的图象是把 f(x) 的图象向右平移 2 个单位 . 因此 f(x-2) 的值域不变 . 3 已知函数 f(x)=lg(x 2-2mx+m+2)
∞) ．所以， h(x)=
x2 ,
x1 1,
x ( ,1) (1, ). x 1.
(2) 当 x≠ 1 时， h(x)= x2 = x 2 1 1 =x-1+ 1 +2．
x1 x1
x1
若 x>1，则 x-1>0 ，∴ h(x) ≥ 2 ( x 1) 1 +2=4．
x1
当且仅当 x=2 时等号成立．
(1) 若该函数的定义域为 R，试求实数 m的取值范围． 答案：解析： (1) 由题设，得不等式 x 2-2mx+m+2>0对一切实数 ∴△ =（ -2m） 2-4(m+2)<0, 解得 -1<m<2.
x 恒成立，
(2) 若该函数的值域为 R，试求实数 m的取值范围． 答案：由题设，得不等式△ =（ -2m） 2-4(m+2) ≥ 0 解得 m≤ 1 或 m≥ 2.
高考数学经典易错题会诊与 2020 届高考试题预测 ( 二 )
考点 -2 函数 (1) 函数的定义域和值域 函数单调性的应用 函数的奇偶性和周期性的应用 反函数的概念和性质的应用 借助函数单调性求函数最值或证明不等式 综合运用函数奇偶性、周期性、单调性进行命题 反函数与函数性质的综合 经典易错题会诊 命题角度 1 函数的定义域和值域 1 ． ( 典 型 例 题 ) 对 定 义 域 Df 、 Dg 的 函 数 y=f(x)
当 a=1 时， B=? ．∴ B A．
∵B A，∴ 2a≥ 1 或 a+1≤ -1 ．即 a≥ 1 或 a≤ -2 而 a≤ 1，∴ 1 ≤ a≤ 1 或 a≤ -2 ．
2
2
故当 B A 时，实数 a 的取值范围是 (- ∞， -2) ∪ [ 1 ， 1].
2
[ 专家把脉 ] 由函数的概念知函数的定义域为非空集合，所以错解中 明函数不存在，因此 a=1 不适合．
x2 1
∵ x R,当u m 0时,
当 u-m=0 时上式仍成立，即有 u2-(m+n)u+(mn-16) ≤ 0.
( 8)2 4(u m)(u n) 0.
∴关于 u 的方程 u2-(m+n)u+mn-16=0 有两根 1 和 9，由韦达定理得 m n 1 9 解得 m=n=5.
mn 16 1 9
即为所求。
4
已知函数 f(x)=log
mx 2
3
8x n 的定义域为 R，值域为 [0 ，2] ，求实数 m， n 的值．
x2 1
答案：解析：∵ f(x)=log
mx2
3
8x
n 的值域是 [0 ， 2].
x2 1
∴ u=g(x)=
mx2 8 x
2
n 的值域为 [1 ，
x1
2
9]. 由 u= mx 8 x n 得（ u-m）x2 -8x+(u-n)=0.
则有 h( 1) 0
h(1) 0
10
a 3.
3 4a 0
4
∴当 a∈ [ 3 ， +∞ ] 时， f(x) 在[-1 ， 1] 上是单调函数．
4
2 ． ( 典型例题 ) 已知函数 f(x)=a x+ x 2 (a ＞1)
x1
(1) 证明：函数 f(x) 在 (-1 ， +∞ ) 上为增函数；
(2) 用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根．