用有限元解奇异摄动边值问题的移动网格算法
一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法
一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法
以《一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法》为标题，本文主要探讨了一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法。
首先研究了常微分方程的定义和基本性质，然后介绍了奇异摄动问题特殊性，从而确定了有限元研究的主要方向。
一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法，是一种将常微分方程方法的有效方法与有限元方法的结合，针对特殊情况在系统性的推导中应用有效方法，可以达到理论与实际相结合的效果，并较快地求解。
在实际应用中，一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法需要分解为一系列子问题，然后根据实际情况选择有效方法，将每个子问题分别解决。
除此之外，有限元方法还可以将多阶常微分方程简化为一阶问题，从而提高计算效率。
另外，一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法在空间精度和时间精度上都有很好的表现，时间精度得到了很大的改善，其主要原因是利用有效方法减少错误，进而提高计算效率。
最后，一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法是有效而稳健的解决方案。
在实际应用中，需要考虑合理的网格结构，确定有效的数值求解方案，以及合理的时间步长，在这些基础上可以做出满足要求的结果。
总之，一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法对于科学研究和工程应用都有重要的意义，有助于我们更好地解决实际问题。
因此，未来的研究还需要深入探讨，以期在更多计算领域得到更多实用的成果。
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有限元的网格划分技术
有限元的网格划分技术/p-35397638.html对于有限元分析来说，网格划分是其中最关键的一个步骤，网格划分的好坏直接影响到解算的精度和速度。
网格化有三个步骤：定义单元属性（包括实常数）、在几何模型上定义网格属性、划分网格。
定义网格的属性主要是定义单元的形状、大小。
单元大小基本上在线段上定义，可以用线段数目或长度大小来划分，可以在线段建立后立刻声明，或整个实体模型完成后逐一声明。
采用Bottom-Up方式建立模型时，采用线段建立后立刻声明比较方便且不易出错。
例如声明线段数目和大小后，复制对象时其属性将会一起复制，完成上述操作后便可进行网格化命令。
网格化过程也可以逐步进行，即实体模型对象完成到某个阶段就进行网格话，如所得结果满意，则继续建立其他对象并网格化。
网格的划分可以分为自由网格(free meshing)、映射网格(mapped meshing)和扫略网格(sweep meshing)等。
一、自由网格划分自由网格划分是自动化程度最高的网格划分技术之一，它在面上可以自动生成三角形或四边形网格，在体上自动生成四面体网格。
通常情况下，可利用ANSYS的智能尺寸控制技术（SMARTSIZE命令）来自动控制网格的大小和疏密分布，也可进行人工设置网格的大小（AESIZE、LESIZE、KESIZE、ESIZE等系列命令）并控制疏密分布以及选择分网算法等（MOPT 命令）。
对于复杂几何模型而言，这种分网方法省时省力，但缺点是单元数量通常会很大，计算效率降低。
同时，由于这种方法对于三维复杂模型只能生成四面体单元，为了获得较好的计算精度，建议采用二次四面体单元（92号单元）。
如果选用的是六面体单元，则此方法自动将六面体单元退化为阶次一致的四面体单元，因此，最好不要选用线性（一阶次）的六面体单元（没有中间节点，比如45号单元），因为该单元退化后为线性的四面体单元，具有过大的刚度，计算精度较差；如果选用二次的六面体单元（比如95号单元），由于其是退化形式，节点数与其六面体原型单元一致，只是有多个节点在同一位置而已，因此，可以利用TCHG命令将模型中的退化形式的四面体单元变化为非退化的四面体单元(如92号单元)，减少每个单元的节点数量，提高求解效率。
关于奇摄动robin边值问题的几个定理
关于奇摄动robin边值问题的几个定理随着科学技术的发展，奇摄动robin边值问题也受到了广泛的关注，并成为研究者们需要解决的一个重要问题。
该问题涉及了一些重要的数学定理，其中主要涉及到几个定理，其中最为重要的有Liouville定理，Caccioppoli定理和Rellich-Kondrachov定理，它们在解决奇摄动robin边值问题中均扮演重要角色。
首先，我们介绍Liouville定理，又称Liouville-Neumann定理。
它是一个把有限区域外部源的能量从内部传至外部的关系，其主要的表达式为：V(x)*u(x) = S(x)其中V(x)是robin边值中的一个常数，S(x)表示区域内部的源，u(x)表示u(x)的梯度；此外，当V(x)=0时，公式约化为：u(x) = 0这个定理可以有效地处理奇摄动robin边值问题，它实质上是在一个紧张的区域内求解某些不定方程的问题。
其次，我们来讨论Caccioppoli定理。
它的核心概念是利用一个所谓的Caccioppoli方程来描述传热方程的解，即：α2u2 +2u2 +2u2 = 0其中α，β，γ都是常数，其中α表示温度梯度，β表示声速梯度，γ表示吸收率。
由于Caccioppoli定理可以非常有效地求解不定方程，因此它被广泛用于奇摄动robin边值问题。
最后，我们来谈谈Rellich-Kondrachov定理。
它是一种利用函数间隙和函数梯度来描述某一单元的解的定理。
其主要表达式为：u(x) =u(x)其中λ是一个常数，它表示某一单元内的解的空间变形系数。
通过利用Rellich-Kondrachov定理，人们可以更有效地求解奇摄动robin边值问题。
综上所述，Liouville定理，Caccioppoli定理和Rellich-Kondrachov定理是研究奇摄动robin边值问题的重要理论基础，在解决问题时可以极大地提高计算效率，有助于我们进一步了解该问题。
一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应移动网格方法
Ｉ ｖ ＝ ｅ ｓ ｓ ｓ ｕ ｐＩ ｖ （ ） ｌ ＇Ｉ ＿ ＝ ２１ ％Ｉ Ｉ ｖ （ ）
进 一 步 记 ＝ ｍ ｉ ｎ “ ｆ （ ｓ ） ＋ Ｃ ， 下 面 给 出 问
题（ １ ） 中解 的一个 误差 估计 ：
定理 １ 如果 厂 （ ）＝一Ｆ （ ） 。 则问题 （ １ ） 存 在
估计中， 定 义最 大值 范数 和非 负范数 ：
且 ０＜ １ ＜ ＜１ ， ０＜ ２＜ ＜１ ．当 ａ ２ １ （ ）≠０时 ， 问 题 （ １ ） 为耦 合 的对 流 扩散 方 程 组．问题 （ １ ） 的解 在 边界 ＝０处 有 一个 厚 为 Ｏ（ ） 的边 界 层 ， 而 的
１ 连 续解 的 稳定 性 分 析
将Ｉ 司 越（ １ ） 写成 如 Ｆ 矩 阵形 式
。
求 解单 个 奇异 摄动 问题 Ｊ ．对 于含 有 多 个 参数 的
奇 异摄 动方 程组 ， 层 适 应 网格 方 法 的 研究 成 果 相 对 口 （ ） ： ＝口
：：
（ ） ，＋ Ａｕ （ ）＝ ， （ ） ，
文章编号 ： １ ０ ０ ０—５ ４ ６ ３ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ６— ０ ０ ０ １ —０ ５
一
类 奇 异 摄 动 对 流 扩 散 方 程组 的 自适 应 移 动 网格 方 法
陈艳萍 ，刘利斌
（ 华南师范大学数学科学 学院， 广东广州 ５ １ ０ ６ ３ １ ）
摘要 ： 针对一类奇异摄动对流扩散方程组 问题 ， 利用有 限差分方 法， 提 出 了求解这 类问题 的 自适 应移动 网格 方法 ， 并 给 出了移 动网格 的迭代 算法和一 阶后验误差估计． 数值实验验证 了所得 的理论估计． 关 键词 ： 对流扩散方程组 ；移动网格 ；奇异摄 动
有限元网格划分方法与基本原理
结构有限元分析中的网格划分技术及其应用实例结构有限元分析中的网格划分是否直接关系到解算的效果。
本文简述了网格划分应用的基本理论，并以空间自由曲面覆盖件和大型整体网络钢筋壳体产品的有限元分析中的网格划分为实例对象，详细讲述了空间自由和三维实体的网格划分基本理论及其在工程中的实际应用，非常具有现实意义和借鉴价值。
一、前言有限元网格划分是进行有限元数值模拟分析至关重要的一步，它直接影响着后续数值计算分析结果的精确性。
网格划分涉及单元的形状及其拓扑类型、单元类型、网格生成器的选择、网格的密度、单元的编号以及几何体素。
从几何表达上讲，梁和杆是相同的，从物理和数值求解上讲则是有区别的。
同理，平面应力和平面应变情况设计的单元求解方程也不相同。
在有限元数值求解中，单元的等效节点力、刚度矩阵、质量矩阵等均用数值积分生成，连续体单元以及壳、板、梁单元的面内均采用高斯（Gauss）积分，而壳、板、梁单元的厚度方向采用辛普生（Simpson）积分。
辛普生积分点的间隔是一定的，沿厚度分成奇数积分点。
由于不同单元的刚度矩阵不同，采用数值积分的求解方式不同，因此实际应用中，一定要采用合理的单元来模拟求解。
CAD软件中流行的实体建模包括基于特征的参数化建模和空间自由曲面混合造型两种方法。
Pro/E和 SoildWorks 是特征参数化造型的代表，而 CATIA 与 Unigraphics 等则将特征参数化和空间自由曲面混合造型有机的结合起来。
现有 CAD软件对表面形态的表示法已经大大超过了CAE软件，因此，在将 CAD实体模型导入CAE软件的过程中，必须将 CAD模型中其他表示法的表面形态转换到CAE软件的表示法上，转换精度的高低取决于接口程序的好坏。
在转换过程中，程序需要解决好几何图形（曲线与曲面的空间位置）和拓扑关系（各图形数据的逻辑关系）两个关键问题。
其中几何图形的传递相对容易实现，而图形间的拓扑关系容易出现传递失败的情况。
数值分析在奇异摄动问题中的应用
数值分析在奇异摄动问题中的应用数值分析在奇异摄动问题中的应用奇异摄动问题是指在数学、物理和工程等领域中遇到的具有奇异摄动项的微分方程或积分方程问题。
这类问题的解析解往往难以求得，因此需要借助数值方法来近似求解。
在这篇文章中，我们将介绍数值分析方法在奇异摄动问题中的应用。
一、奇异摄动问题的定义奇异摄动问题常常出现在具有尖锐边界或界面、小参数项或非光滑性质的物理现象中。
这些问题的方程中通常包含一个大的支配项和一个小的摄动项，而摄动项则会引起方程解的快速变化或尖锐结构。
奇异摄动问题的数值求解是相对困难的，因为传统的数值方法在这种情况下往往收敛缓慢甚至不收敛。
因此，需要采用特殊的数值技巧来应对这些问题。
二、常用的数值分析方法在奇异摄动问题的数值求解中，一些常用的数值分析方法包括：扩展网格方法、特殊差分格式和特殊边界条件方法等。
1. 扩展网格方法扩展网格方法是一种常用的数值方法，它通过在奇异区域增加网格密度来捕捉快速变化的解。
这种方法的核心思想是将整个计算区域划分为两个区域：一个是均匀网格区域，用于计算主要部分的解；另一个是扩展网格区域，用于计算奇异部分的解。
这样一来，我们就可以对不同区域采用不同的数值方法，从而提高求解的精度和效率。
2. 特殊差分格式特殊差分格式是另一种常用的数值方法，它通过引入特殊的差分格式来处理奇异摄动问题。
这种差分格式通常基于奇异摄动项的特殊性质，通过调整差分步长或权重来提高数值解的精度。
例如，可以采用高阶差分格式来减小截断误差，或者采用特殊的差分格式来处理快速变化的解。
3. 特殊边界条件方法在奇异摄动问题的数值求解中，选择合适的边界条件也是非常关键的。
一些特殊的边界条件方法可以帮助我们更好地处理奇异摄动项。
例如，可以使用非局部边界条件来考虑奇异区域的影响，或者使用特殊的数值技巧来处理边界处的尖锐结构。
三、数值分析在奇异摄动问题中的应用数值分析在奇异摄动问题中的应用非常广泛，涉及到许多领域，如流体力学、电磁学、热传导和化学反应等。
有限元计算单元网格划分
单元类型
• 对于梁结构，在两个节点之间可根据需要划分多个单元。 但要注意：如果想得到中间节点的挠度，需将梁结构划分 偶数等分。对于拉杆、拉索，在两个节点之间，一定不要 再划分单元，即两节点之间只用一个单元，如果划分几个 单元反而不能描述拉杆、拉索的真实变形。 • 对于面或体结构网格划分时，尽量采用高精度单元，不 采用常应变单元。如果为了模拟复杂边界，对于平面尽量 采用6节点三角形单元或8节点四边形单元，不采用3节点 三角形单元或4节点四边形单元；对于四面体尽量采用10 节点单元，不采用4节点单元；对于五面体尽量采用9节点 单元或15节点单元，不采用6节点单元；对于六面体尽量 20节点单元，不采用8节点单元。当然这些情况应该具体 问题灵活处理，并不是绝对固定的。
面或体转接部位的单元
• 几何模型圆角过渡处的单元划分，根据弧 长对应的圆心角和半径确定，对于半径为 3mm左右、圆心角大于90度的转接弧长， 通常至少要划分3～4个单元。
Hale Waihona Puke 高应力区的单元• 对高应力区，要进行网格细分应力稳定性 计算。即采用多次局部网格细分并进行计 算，当前、后两次计算结果满足所需的精 度要求时（通常要求小于0.03）确定网格。
• 总之，几何模型网格划分时，要在单元类 型、单元形态、单元大小、单元过渡和局 部应力稳定等方面下功夫，才能满足工程 上的精度要求，达到预期的结果。
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面或体单元形态
• 1）网格划分时，单元面内角度的变化用扭 曲度描述，它代表了单元面内的扭转和面 外翘曲程度。不同单元的扭曲度不同，其 值由经验确定。 • 2）网格划分时,单元各边之间的比例不能 太大，对于线性单元（例如：4节点四边形 单元、8节点六面体单元等）要求小于3； 对于二次单元（例如：8节点四边形单元、 20节点六面体单元等）要求小于10等等。
有限元网格划分原理
有限元网格划分原理
有限元网格划分原理是一种用于计算领域离散化的数值方法。
它将连续的领域划分为有限数量的小单元，每个小单元称为有限元。
这些有限元可被视为数学模型中的局部区域，其内部的物理过程可以被近似为线性或非线性的形式。
有限元网格划分原理的目标是将整个领域划分为足够多的有限元，以便能够准确地描述所研究的问题。
划分时需要考虑几何形状、边界条件、计算资源等因素，以获取一个高效且准确的离散模型。
通常，将整个领域划分为小单元可以更好地逼近真实物理过程，并提供对系统行为的详细理解。
在有限元网格划分过程中，首先确定领域的几何形状和边界条件。
然后，选择适当的离散化方法，将领域划分为小单元，如三角形、四边形、六边形或四面体。
每个小单元内的变量以形函数的形式进行逼近，形函数可根据问题的特点进行选择。
一旦完成网格划分，就可以在每个有限元中设置数学方程，在整个领域上建立一个代数系统。
该系统由一系列线性或非线性方程组组成，其中每个方程对应于一个小单元。
通过求解这些方程，可以获得在整个领域中变量的近似解。
有限元网格划分原理的核心思想是将复杂问题转化为简单的局部问题，并通过将领域划分为小单元来近似描述整个系统。
通过调整网格大小和形状，可以调整计算精度和效率。
因此，有限元网格划分原理是计算力学、结构力学、流体力学等领域中常用的数值方法之一。
一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法
一类四阶常微分方程奇异摄动问题
的有限元方法
一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法是一种处理数值解决常微分方程（ODEs）中可能出现的奇异摄动（singular perturbation）的方法。
它的应用主要集中在传热问题、流体力学问题、结构力学问题等等方面，其基本思想是用一种特殊的有限元方法来解决复杂的ODEs，也就是说，将复杂的ODEs分解成一组相对容易求解的子问题，然后使用有限元方法来解决这些子问题。
一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法主要包括以下步骤：
1. 求解低阶方程：首先对原方程作奇异摄动法分解，形成低阶方程，并使用有限元方法求解；
2. 求解高阶方程：然后对剩下的高阶方程进行处理，使其可以用有限元方法来求解；
3. 合并求解结果：最后，将低阶方程和高阶方程的求解结果合并，形成整体的解决方案。
一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法可以大大简化复杂的ODEs，提高解决效率。
另外，由于有限元
方法可以有效解决复杂的奇异摄动问题，因此它也可以应用于各种工程中，如水力学、热传导、机械力学等。
然而，由于有限元方法在求解ODEs时具有一定的局限性，因此在实际应用中，必须考虑到它存在的一些问题。
例如，由于有限元方法所使用的格点数量有限，因此可能会导致精度不够的问题；另外，由于有限元方法只能处理一定范围内的奇异摄动问题，因此较为复杂的问题可能会出现求解失败的情况。
因此，总而言之，一类四阶常微分方程奇异摄动问题的有限元方法是一种比较有效的方法，其应用可以大大减少解决复杂ODEs的难度，不过在实际应用中也要注意它的一些局限性。
有限元网格划分方法
早期采用人工网格划分，速度慢、工作量大、出错率高，对复杂 空间结构划分困难。 对平面问题和较规则空间问题，为了对网格形式进行人为控制， 半自动网格划分也可取。 对复杂空间结构宜自动网格划分，显著提高划分速度，减轻工作 强度。
一、半自动划分方法 人机交互进行，分析人员确定结点位置和形成单元，但结点坐 标、节点和单元编号等由计算机自动完成。 1.设置定义坐标系 根据局部结构特点，建立和选取适当坐标系描述节点坐标：直 角坐标、柱坐标、球坐标？ 2.定义节点 指定结点位置或由已有结点生成新结点。 3.定义单元 由节点或已有单元生成新单元。
二、网格疏密 网格疏密又称相对网格密度，指不同部位网格大小不同。 应力集中区(梯度变化较大处)应较密网格 计算精度不随网格数绝对增加，网格数应增加到关键部位。
132单元←→84单元 精度相当
网络有疏密时，要注意疏密之间的过渡。一般原则是网格尺 寸突变最少，以免畸形或质量较差的网络。
常见过渡方式： 1.单元过渡。用三角形过渡四边形、用四面体和五面体过渡六面 体。 2.强制过渡。用约束条件保持大小网格间的位移连续。这时大小 网格节点不可能完全重合，网格间有明显界面。 u u3 v v3 (1)多点约束等式 u2 1 , v2 1 2 2 (2)约束单元 3.自然过渡。大小网格间平滑过渡。其中网格会变形，质量降 低；网格尺寸越悬殊，过渡距离越近，网格质量影响越严重。
2．几何模型的建立与处理 (1)为使曲线某内点成为单元节点，曲线剪断。 (2)为使曲面某内线成为单元边，曲面剪断。 (3)为使实体某内面成为单元面，实体剪断
3．网格大小和疏密控制 (1)总体尺寸 (2)局部尺寸 设置离散偏差 设置曲线网格数 设置点附近网格尺寸
实体模型 曲面模型
改进的奇异摄动自适应移动网格方法
改进的奇异摄动自适应移动网格方法作者：李丽来源：《电脑知识与技术·学术交流》2008年第06期摘要：用等分弧长函数来控制网格剖分，用迎风有限差分格式来求解一类奇异摄动两点边值问题的自适应算法。
本文用了的数值试验证明了算法的可行性和高效性。
关键词:奇异摄动；自适应网格；迎风有限差分格式；等分原则中图分类号：O241文献标识码：A文章编号：1009-3044(2008)06-10ppp-0cA Improved Adaptive Grid Method for a Singularly Perturbed ProblemLI Li(Information department of Hunan business college, Changsha 410205,China)Abstract: In this paper, the discrete solution are generated by an upwind finite difference scheme and the grid is formed by equidistributing a monitor function based on arc-length. A improved numerical experiment proved that the algorithm is feasible and efficient.Key words: singular perturbation problems; adaptive mesh; upwind finite difference; equidistribution principle.1 引言近年来，研究带边界层对流占优的对流扩散问题移动网格算法收敛性分析问题的网格构造主要有两种：特殊网格（如B-type meshes, S-type meshes）、自适应网格。
P—version间断有限元方法求解奇异摄动问题
第 ３ ３卷第 １ 期
２ ０ １ ３ 年 １月
云南师 范பைடு நூலகம் 学学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｙｕ ｎ ｎ ａ ｎ Ｎｏ ｒ ｍａ ｌ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ
Ｖｏ ｌ ＿ ３ ３ Ｎｏ ． １
Ｊ ａ ｎ ．２ ０ １ ３
Ｐ — ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ 间 断 有 限 元 方 法 求 解 奇 异 摄 动 问题
ｐ － ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ有 限元 方 法 的收敛 速度 是 ｈ — ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｏ ｎ有 限元方 法 的两倍 以上 。
＊
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ２ １ １ ２ ８
基金项 目： 国家 自然科 学基 金资助项 目（ １ １ １ ７ １ １ ０ ４ ） ； 贵州省科学技术基金资助项 目（ Ｌ Ｋｓ ［ ２ Ｏ ｌ Ｏ ］ Ｏ ５ ） ．
算量 剧增 ， 这 样 的 网格 令人 难 以接受 ． 因此 ， 数 值求 解 这类 奇 异摄 动 问题 极 富挑 战性 。 目前 对 于奇 异摄
动 问题 的边界层计 算 ， 存在两 种基 本 的处 理方 法 ： 第 一 种是 采用 局部 加 密 的方法 ， 如等 级 网格或 Ｓ ｈ ｉ ｓ ｈ ｋ ｉ ｎ
１ ９ ９ ６ 年， Ｓ ｃ ｈ ｗａ ｒ ｂ和 Ｓ ｕ ｒ ｉ 在文 ［ ７ ］ 中首 次对 带常 系数 的一维 奇 异 摄 动反 应 扩散 问题 提 出 了特殊 的分段
层适应网格上求解奇异摄动问题的粒子群算法
1引言近年来，在科学技术和工程领域中经常面临求解一些带小参数的奇异摄动问题。
如为了开采石油、天然气等资源需要研究地下多孔介质中的渗流问题；为预报天气状况需要求解描述大气运动的流体力学和热力学方程组等等。
奇异摄动问题描述的现象往往在局部区域具有奇异性，它的解含有边界层或内层，解或其导数在此区域内变化非常剧烈。
它的解除与变量有关外，还与摄动小参数有关。
若在均匀网格上利用数值方法求解奇异摄动问题，为了达到一定的计算精度，局部的奇异性会导致求解区域上的网格过细，造成不必要的计算时间和数据存储上的浪费。
并且均匀网格下求解在解的急剧变化区域会产生非物理振荡，得到不满意的结果。
层适应网格[1-3]是能有效求解奇异摄动问题的一种非均匀网格，包括Shishkin网格、Bakhvalov网格、Bakhvalov-Shishkin网格层适应网格上求解奇异摄动问题的粒子群算法周琴1，程立正21.湖南涉外经济学院信息与机电工程学院，长沙4102052.湖南师范大学计算与随机数学教育部重点实验室，数学与统计学院，长沙410081摘要：针对一类奇异摄动对流扩散问题，将粒子群算法与差分格式相结合，在Bakhvalov-Shishkin网格上进行求解。
对于Bakhvalov-Shishkin网格中的网格参数，采用粒子群算法进行优化，构造了求误差范数最小值的目标函数。
对两个算例进行了数值计算，实验结果表明，与选择固定的网格参数相比，采用粒子群算法计算能得到更好的数值结果，并且数值结果具有收敛性，验证了该方法的有效性和优越性。
关键词：粒子群算法；奇异摄动；Bakhvalov-Shishkin网格；网格参数文献标志码：A中图分类号：TP18；O241doi：10.3778/j.issn.1002-8331.1905-0134周琴，程立正.层适应网格上求解奇异摄动问题的粒子群算法.计算机工程与应用，2020，56（11）：46-50.ZHOU Qin,CHENG Lizheng.Particle swarm optimization algorithm for solving singular perturbed problems on layer adaptive puter Engineering and Applications,2020,56（11）：46-50.Particle Swarm Optimization Algorithm for Solving Singular Perturbed Problems on Layer Adaptive MeshZHOU Qin1,CHENG Lizheng21.School of Information,Mechanical and Electrical Engineering,Hunan International Economics University,Changsha 410205,China2.Key Laboratory of Computing and Stochastic Mathematics（Ministry of Education）,School of Mathematics and Statistics, Hunan Normal University,Changsha410081,ChinaAbstract：Particle swarm optimization algorithm is combined with difference schemes to solve a class of singularly perturbed convection-diffusion problems on Bakhvalov-Shishkin mesh.The particle swarm optimization algorithm is used to optimize the mesh parameter in Bakhvalov-Shishkin mesh,and the objective function for finding minimum value of the error norm is constructed.Two numerical examples are calculated.The experimental results show that the particle swarm optimization algorithm can obtain better numerical results than the fixed mesh parameter,and the numerical results are convergent,which verifies the effectiveness and superiority of this method.Key words：particle swarm optimization algorithm;singular perturbation;Bakhvalov-Shishkin mesh;mesh parameter基金项目：国家自然科学基金面上项目（No.11771138）；湖南省教育厅科学研究项目（No.18C1097）。
基于shishkin网格的奇异摄动问题的两网格方法
基于shishkin网格的奇异摄动问题的两网格方法
基于Shishkin网格的奇异摄动问题的两网格方法是一种有效的数值解决方案，用于解决复杂的奇异摄动问题。
它是一种基于网格的方法，可以有效地解决复杂的奇异摄动问题。
它的基本思想是将复杂的奇异摄动问题分解成一系列的简单的子问题，然后用两种不同的网格来解决这些子问题。
首先，使用Shishkin网格来解决奇异摄动问题。
Shishkin网格是一种特殊的网格，它可以有效地解决复杂的奇异摄动问题。
它的基本思想是将复杂的奇异摄动问题分解成一系列的简单的子问题，然后用Shishkin网格来解决这些子问题。
Shishkin网格可以有效地提高计算效率，减少计算时间，并且可以提供更高的精度。
其次，使用另一种网格来解决奇异摄动问题。
这种网格可以有效地提高计算效率，减少计算时间，并且可以提供更高的精度。
这种网格可以有效地提高计算效率，减少计算时间，并且可以提供更高的精度。
最后，基于Shishkin网格的奇异摄动问题的两网格方法可以有效地解决复杂的奇异摄动问题。
它可以有效地提高计算效率，减少计算时间，并且可以提供更高的精度。
此外，它还可以有效地解决复杂的奇异摄动问题，并且可以提供更高的精度。
综上所述，基于Shishkin网格的奇异摄动问题的两网格方法是一种有效的数值解决方案，可以有效地解决复杂的奇异摄动问题。
它可以有效地提高计算效率，减少计算时间，并且可以提供更高的精度。
因此，基于Shishkin网格的奇异摄动问题的两网格方法是一种有效的数值解决方案，可以有效地解决复杂的奇异摄动问题。
有限元数值模拟中的网格重划技术
第六章 有限元数值模拟中的网格重划技术在用有限元方法模拟形状复杂工件的大变形过程中，随着计算过程中变形量的增加，原始定义的计算网格会逐渐畸变。
若把已经畸变的网格作为求速度增量的参考状态，会导致不精确的解，甚至无法继续进行计算。
为了使计算顺利进行，最终得到满意的解，必须严格控制单元的变形程度和单元节点的疏密布置，防止出现计算特性不好的单元。
因此，在每一个加载结束后、下一个加载开始之前，必须进行网格畸变的判断，以便于在网格变形过程中及时对计算特性不好的网格进行重划。
网格重划技术是成功模拟大变形时必须解决的关键技术，其核心内容是新旧网格之间形状和信息的准确传递，网格重划技术一直是大变形有限元计算的研究的热点之一]84~81[。
在研究网格重划技术之前，先介绍一下单元质量的评定和网格自适应技术，它们是网格重划的基础。
6.1单元质量的评定及网格自适应技术理想的网格的单元应该是等边三角形、正方形、等边四面体和立方体。
但是对于任意的复杂的几何形状结构，试图用完全的理想的单元去离散和描述是徒劳的。
所幸的是，实际情况的要求并不如此的苛刻。
实际的单元只要与这些理想的单元形态足够的接近，就可以获得能够接受的分析结果。
评定单元几何形态质量的量化标准如下]71[：单元边长比(Aspect Ratio)：是单元最长边与最短边之比。
理想的单元边长比是1。
可接受的单元边长比的范围是：AR<3对线性单元，如三节点三角形、四节点四边形、四节点四面体或八节点六面体单元。
AR<10对二次单元，如六节点三角形、八节点四边形、十节点四面体或二十节点六面体。
此外，非线性分析对单元边长比的要求比线性分析高。
扭曲度（Distorsions ）：是单元在单元面内的扭转和单元的面翘曲程度的指标。
对三角形单元，扭曲度用相邻夹角与060之间的差别定义；对四边形单元，扭曲度用单元相邻边的角度与090之间的差别描述。
当单元面的节点不共面时，就发生面外翘曲。
一类奇异摄动问题的自适应移动网格算法
一类奇异摄动问题的自适应移动网格算法毛志;刘利斌【摘要】针对一类奇异摄动反应扩散方程组,提出了求解这类问题的自适应移动网格方法 .基于等分布原理,给出了网格控制函数及相应的网格生成算法.数值实验表明该自适应移动网格方法至少是一阶一致收敛的.【期刊名称】《湘潭大学学报：自然科学版》【年(卷),期】2019(000)001【总页数】8页(P64-71)【关键词】奇异摄动;反应扩散;移动网格算法;网格等分布【作者】毛志;刘利斌【作者单位】[1]铜仁学院大数据学院,贵州铜仁554300;[2]湘潭大学数学与计算科学学院,湖南湘潭411105;[3]南宁师范大学数学与统计学院,广西南宁530029;【正文语种】中文【中图分类】O241.8奇异摄动问题广泛应用于工程和应用数学的多个分支，包括弹性力学、量子力学、流体力学、化学反应、最优控制等.最经典的例子是包含大雷诺数的非定常黏性流体问题.这类问题所对应的微分方程的高阶导数项包含一个很小的参数.一般情况下，这类问题的精确解存在边界层或内点层，而且难以求出其准确解.因此，研究这类问题的近似方法显得尤其重要.近年来，对于奇异摄动问题的近似方法，主要包含两大类：渐近方法和数值方法.由于渐近方法可以探索奇异问题解的一些基本性质，对这一方法的研究受到了许多学者的青睐[1].然而，在很多情况下，利用渐近方法求解奇异摄动问题的近似解往往比较复杂，且有些问题很难用渐近方法求出近似解.基于此，研究奇异摄动问题的数值方法更有意义.目前，层适应网格方法和自适应移动网格方法是数值求解奇异摄动问题的两大主要方法[2].层适应网格方法由于方法比较容易构造而受到很多学者的关注，但该方法必须事先知道边界层的相关信息.最近，为了优化这类网格，刘利斌等[3-4]首先利用群智能算法优化边界层的宽度，从而获得较优的数值结构.对于一般的奇异摄动问题，自适应移动网格方法越来越受到学者的青睐. 近年来，对于单个的奇异摄动问题，已有一系列的文献[5-14]研究了这类问题的自适应移动网格算法.而对奇异摄动微分方程组的自适应移动网格算法，其研究成果较少.本文将考虑如下奇异摄动反应扩散方程组(1)其中，0<ε≪1，0<μ≪1为两个小参数，γi(i=0,1)为给定的常数向量，且假设函数aij(x),fi(x)∈C2(0,1),i=1,2，且满足a11(x)>a12(x), a22(x)>a21(x),(2)a12(x)≤0, a21(x)≤0, x∈[0,1].(3)对某个确定的常数α，假设(4)在条件(2)～(4)下，问题(1)存在唯一解，且在x=0和x=1处分别存在宽度为O(εlnε)和O(μlnμ)的边界层.众所周知，在均匀网格下，利用标准的数值方法求解上述问题(1)很难得到满意的数值结果.为了获得可信的数值结果，许多学者构造了合适的层适应网格方法来数值求解这类问题. 当0<ε≤μ<<1时，基于Shishkin网格，Madden和Stynes[15]构造了几乎一阶一致收敛的迎风有限差分格式.Matthews等[16]在Shishkin网格下研究了问题(1)的迎风格式，并在0<ε=μ≪1，0<ε≪μ=1的情况下，证明了数值格式的收敛阶为O(N-1lnN)2.Xenophontos和Oberbroeckling[17]得到了几乎一阶一致收敛的有限元方法.最近，Linβ[18-21]分别在Shishkin和Bakhvalov网格下，获得了奇异摄动反应扩散方程组的数值方法.由于层适应网格方法的局限性，本文将重点讨论上述奇异摄动反应扩散方程组(1)的自适应移动网格方法.具体来说，首先选择作为网格控制函数，其中，是通过节点xi,Uj,i的分段线性插值函数，Uj,i(j=1,2,i=0,1,…,N)是问题(1)的数值解.然后，基于网格等分布原理，构造了数值求解问题(1)的网格生成算法.最后的数值实验验证了本文自适应移动网格算法是有效的，其数值结果进一步显示，对于不同摄动参数ε和μ，数值算法的收敛阶至少是1阶.1 离散差分格式与网格等分布1.1 差分格式的构造为了构造我们的数值方法，首先构造如下任意网格ΩN={x0,x1,…,xN}，其中，0=x0<x1<…<xN=1. 对于i=1,2,…,N，令hi=xi-xi-1为网格步长，且对于i=1,2,…,N-1，令ћ对于任意的网格函数定义如下算子于是，对于上述奇异摄动问题(1)，我们可构造如下迎风有限差分格式(5)式中：Ui=U1,U2T为u(xi)的近似解，1.2 网格控制函数控制函数经常被用于数值求解奇异摄动微分方程的自适应移动网格方法中.目前，对于单个奇异摄动微分方程来说，众多学者构造了基于等分布原理的移动网格方法，即选择合适的控制函数M(x)，使得M(s)ds=M(s)ds, j=1,2,…,N-1.(6)在自适应移动网格算法的构造过程中，通常采用如下弧长控制函数式中，为分段连续的线性插值函数.类似地，对于奇异摄动反应扩散方程组，本文选择如下类似于弧长的控制函数式中，为xi,Uj,i的分片线性插值函数，j=1,2,i=0,1,…,N.因此，利用网格等分布原理，最关键的问题就是找到节点xi,Uj,i，使之满足(7)式中，j=1,2,i=0,1,…,N-1.为了获得满足等分布问题(7)的网格我们构造了如下的网格迭代算法：Step 1 初始化网格：给定初始网格Step 2 对于任意的k=0,1,…，假设网格已经给出，且假设在该网格下差分格式(5)的解为令且是点和沿分段线性插值曲线的最大弧长，进一步得到最大的总弧长为Step 3 设C0>1为给定的常数.如果满足如下条件则执行Step 5，否则执行Step 4.Step 4 网格生成：利用弧长等分布原理，构造新的网格使之满足式中，i=1,2,…N. 返回Step 4.Step 5 设和算法结束.2 数值实验与结果分析考虑如下奇异摄动反应扩散方程组由于方程的精确解未知，为了计算最大误差和收敛阶，我们利用如下式子估计其误差式中，UN和U2N分别表示差分格式(5)在N和2N个网格区间上计算得到的数值解.对于收敛阶，利用如下公式来计算当μ=1, ε=10-3,10-5,10-7,10-9及N=32,64,128,256,512时，我们首先列出了本文自适应移动网格算法的计算结果，如表1所示. 对于不同的μ,ε和N，表1给出了收敛阶和相应的算法迭代次数K，其中算法中的C0=1.1. 显然，由表1中的计算结果可以看出，随着ε趋向于0，本文的自适应移动网格算法的收敛阶为1阶，其主要原因是本文选了弧长控制函数作为网格生成算法的控制函数，见文献[6]. 值得一提的是，本文的自适应移动网格方法的优势在于不需要考虑各个摄动参数的大小及边界层的具体位置和宽度，而利用层适应网格方法需要给出摄动参数的大小及边界层的位置，具体可见文献[15].其次，当μ逐渐减小，且满足μ≥ε时，表2和表3分别列出了不同的μ, ε及N所对应的最大范数的误差，收敛阶及算法迭代次数.显然，随着N的逐渐增大，数值解的收敛阶也逐步增大，且大于1，其主要原因是本文采用的离散格式是二阶中心差分格式.Kopteva等在文献[6]中指出，对于奇异摄动反应扩散方程来说，基于弧长控制函数的自适应移动网格算法只有一阶收敛.对于反应扩散方程组来说，表2和表3的数值结果说明对于某些特殊的摄动参数，基于弧长控制函数的自适应移动网格算法的收敛阶超过1阶.当ε固定，μ逐渐减小，且满足μ≤ε时，表4也列出了不同的N所对应的数值结果.类似地，随着N的逐渐增大，数值解的收敛阶也逐步接近1.最后，当N=128,ε=10-9,μ=10-3时，图1给出了本文自适应移动网格算法求解问题(7)时算法的迭代过程. 显然，由图1的底部往上看，每迭代一次，网格点逐步从初始均匀网格向边界移动，且随着迭代次数的增加，C0的值逐渐趋近于1. 与此同时，图2给出了最后的计算网格.显然，如图1和图2所示，该问题的数值解在x=0和x=1两点均存在边界层，且在x=1点的网格点明显比x=0点的网格点要多些.表1 最大误差估计和收敛阶(μ=1)Tab.1 Errors and rates of021.89e-029.49e-034.76e-032.48e-03rNε,μ0.980.990.990.94K4333210-5ENε,μ4.04e-022.04e-021.03e-025.17e-032.85e-03rNε,μ0.990.990.990.86K9743310-7ENε,μ4.10e-022.08e-021.04-e025.24e-032.65e-03rNε,μ0.981.000.990.98K61198710-9ENε,μ4.10e-022.08e-021.04e-025.24e-032.77e-03rNε,μ0.981.000.990.92K1412121110EN4.10e-022.08e-021.04-e025.24e-032.85e-03rN0.981.000.990.89表2 最大误差估计和收敛阶(μ=10-3)Tab.2 Errors and rates of convergence(μ=10-3)εN=32N=64N=128N=256N=51210-3ENε,μ2.93e-012.02e-011.08e-015.85e-022.53e-02rNε,μ0.540.900.881.21K3533210-5ENε,μ2.33e-011.78e-019.86e-026.18e-022.65e-02rNε,μ0.390.850.671.22K6445410-7ENε,μ6.31e-014.82e-011.88e-014.94e-022.69e-02rNε,μ0.391.361.920.88K151174310-9ENε,μ8.65e-015.87e-012.28e-011.08e-013.21e-02rNε,μ0.561.361.071.75K212013105EN8.65e-015.87e-012.28e-011.08e-013.21e-02rN0.561.361.071.75表3 最大误差估计和收敛阶(μ=10-5)Tab.3 Errors and rates of convergence (μ=10-5)εN=32N=64N=128N=256N=51210-5ENε,μ2.13e-011.08e-019.74e-028.66e-022.97e-02rNε,μ0.980.140.171.54K6477610-7ENε,μ2.71e-012.17e-011.31e-013.56e-021.98e-02rNε,μ0.320.731.880.85K141284310-9ENε,μ4.29e-013.23e-012.22e-018.12e-021.95e-02rNε,μ0.410.541.452.06K1611128410-11ENε,μ6.29e-011.24e-017.02e-025.62e-023.24e-02rNε,μ2.340.820.320.79K27181199EN6.29e-013.23e-012.22e-018.66e-023.24e-02rN0.960.541.361.42表4 最大误差估计和收敛阶(ε=10-3)Tab.4 Errors and rates of011.25e-019.15e-024.89e-022.18e-0210-7rNε,μ1.700.450.901.17K1151465ENε,μ3.89e-011.33e-018.42e-024.21e-022.39e-0210-9rNε,μ1.540.661.000.82K91025810ENε,μ3.93e-011.39e-018.41e-024.50e-022.48e-0210-11rNε,μ1.500.720.900.86K1012351013ENε,μ4.00e-011.39e-017.93e-014.52e-022.45e-0210-13rNε,μ1.520.810.810.88K1113461215EN4.00e-011.39e-019.15e-024.89e-022.45e-02rN1.530.600.900.99参考文献【相关文献】[1] 史娟荣，莫嘉琪．一类奇异摄动燃烧模型的渐进解[J]．应用数学和力学，2016，37(7)：691-698．[2] Roos H G, Stynes M, Tobiska L. Numerical methods for singularly perturbed differential equations[M]. Berlin: Springer-Verlag, 1996.[3] 刘利斌，欧阳艾嘉. 奇异摄动反应扩散方程数值模拟的粒子群优化算法[J]. 计算机应用，2014，34(4)：1080-1082，1093.[4] 刘利斌，孔祥盛，欧阳艾嘉. 含两个参数的奇异摄动问题的差分进化算法[J]. 计算机工程与应用，2016，52(4)：19-23.[5] 孙力楠，王安涛．自适应网格下齐次奇异摄动问题的一致收敛性分析[J]．兰州理工大学学报，2011，37(5)：131-136．[6] Kopteva N, Madden N, Stynes M. Grid equidistribution for reaction-diffusion problems in one dimension[J]. Numerical Algorithms, 2005, 40(3): 305-322.[7] Kopteva N. Maximum norm a posteriori error estimates for a 1D singularly perturbed semilinear reaction-diffusion problem[J]. IMA Journal of Numerical Analysis, 2007, 27(3): 576-592.[8] Chadha N M, Kopteva N. A robust grid equidistribution method for a one-dimensionalsingularly perturbed semilinear reaction-diffusion problem[J]. IMA Journal of Numerical Analysis, 2011, 31(1): 188-211.[9] Beckett G, Mackenzie J A. 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奇异摄动问题自适应网格方法
奇异摄动问题自适应网格方法
魏斌;黄涛
【期刊名称】《天水师范学院学报》
【年(卷),期】2006(26)2
【摘要】自适应网格方法是一种解决微分方程近似解的重要计算方法.它在边界层和内层问题上的近似解法的应用是很有效的.奇异摄动两点边值问题在数值上一般运用带指数边界层的自适应网格来解决.网格由一个等分控制函数产生,此函数以弧长的精确解为基础.
【总页数】2页(P15-16)
【作者】魏斌;黄涛
【作者单位】宁波大红鹰职业技术学院,现代应用技术系,浙江,宁波,315175;宁波大红鹰职业技术学院,现代应用技术系,浙江,宁波,315175
【正文语种】中文
【中图分类】O175
【相关文献】
1.自适应网格下齐次奇异摄动问题的一致收敛性分析 [J], 孙力楠;王安涛
2.奇异摄动Volterra积分微分方程的自适应网格方法的一致收敛性分析 [J], 张永;包小兵;刘利斌;梁颖
3.奇异摄动Volterra积分微分方程的自适应网格方法的一致收敛性分析 [J], 张永;包小兵;刘利斌;梁颖
4.四阶奇异摄动边值问题在自适应网格上的一致收敛分析 [J], 岑仲迪;高怀毅
5.一类奇异摄动对流扩散方程组的自适应网格方法的收敛性分析 [J], 包小兵;方虹淋;刘利斌
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２ 移 动网格 方法
下面是用移动网格方法求解 问题 （） ２ 的算 １ 一（）
法 描述 ． Ｎ 为 网格 剖分 数． 设
第 １ ： 步 网格初 始化 ：
１ ｏ
时 的误差 ） 在移 动 网 格算 法 中 ， 值 解 误 差 的 收敛 ． 数
率随着 Ｎ 的增大接近于 ２表 明我们用移动网格算 ． 法求得的数值解是 ｓ 一致收敛的．
表 １ 移 动 网 格 算 法 求 解 的最 大 模 误 差
Ｎ ￡ １ｏ 一 ０ ｅ １一 一 ０ ｅ １ 一８ 一 Ｏ
３ ｅ ２ ２ ｅ ２； ２ ＝ ．７一
ｅ １ １ ｅ ｌ ＝ ．９— ；
ｅ ｇ １ 一 ２； ＝ ８Ｐ
－
Ｐ 一 （ ） 一 ｛ ） 在 网格 ｛ 上 的 解 ， ． 是 Ｘ） ｈ 一ｚ
为此 ， 与文［ ，］ １２一样， 采用一种移动网格算法 ， 所不 同的是 ， 算法 是基 于有 限 元方 法 而 不 是基 于有 限差 分法 的． 产生 的非 均匀 网格 有 固定数 目的节 点 ，
（） ５
１
从 而 ， 立 （ ） ５ 便 得到 问题 （ ） （ ） 联 ３ （） １ 一 ２ 的解 ． 是 关 这
收稿 日期 ：０ ８ ０ － １ ２０ － １ ９
基金项 目： 湖南省教育厅科研资助项 目（ ７ １ ） Ｏ ９
作者 简介 ： 杨继 明（９５ ， ， １７一）男 博士 ， 方向： 研究 偏微分方程数值方法理论及其应用
（ ） ０ ０一 ， （ ） ０ １＝ ．
分 片线 性 函数空 间． １ 一（ ） （ ） ２ 的有 限元 格 式是 ： 寻找
的数值 求解 ． 中 ￡ 一 常数 ， ＜￡ １ 假 定 Ｐ（ ） 其 为 Ｏ ． ｚ 充 分光 滑且存 在 常数 口和 卢使 得 Ｏ 户 ｚ ｐ成 ＜ａ （ ）
ａ ｗ， （ ）： （ ， ） ∑ｈ ． ｉ ， 一ｅ 硼 ＋ Ｈ１ ｗｆｆ ｐ
Ｉ ｌ ＝
Ｎ一１
域 其解 的导数 很 大 ， 的变化 剧烈 ． 解 在均 匀 网格 上用
很 多数值 方法 都不 能有 效 地逼 近 ， 出现 振 荡或 不 精 确 现象．
（ ）：一 ∑ｈ ｆｖ， ，， 州 ，ｆ
第３ 期
杨继 明： 用有限元解奇异摄动边值问题的移动网格算法
４ ７
于 Ｘ 和 的方程组 ，４５ 中已经证明了它的解是 ［ ，］ 存 在 的．
Ｉ。 —ｍ ） Ｎ （ 一 １， 『， 。ｄ ａ０ ｘ） ） 同时也给 出了收敛 （ Ｉ ｕ
率 （—ｌｇ （ ） 其 中 ｅ ｒ ｏ。 — ， Ｎ为 固定 ｓ下 剖 分 数 为 Ｎ
－
１ 离 散 和 网 格 等 分布
首 先 ， 虑任 意 网 格 一 ｛ ， ， … ， Ｎ ， 考 。 … Ｘ ） 其
中 Ｏ ｏ １ …＜ｚ 一１ 设 ｃ Ｈ３０ １ 是 ∞上 ＝ｘ ＜ ＜ Ｎ ． （ ，）
（） ２
ｅ＂ｘ ＋ｐ ｘ ｕ ｘ 一，， ｌ ０ １ （ ） ｕ（ ） （）（） ｚ ∈（ ， ） １
移 动 网格 算 法． 用的 网格 有 （ 采 Ｎ十１ 个 节点 并初 始 化 为 均 ＞ 网格 ， 节 点采 用 一种 迭代 算 法 来 自适 应 ） － － ／ 其 移动， 该算 法等分布 分 片线性数 值解 函数弧 长． 用数值 试 验证 实 了该方 法产 生的数 值解是 关于摄 动参 数
产生的非均匀网格有固定数目的节点其节点被初始化为均匀网格执行一种网格等分布参考36弧长控制函数的迭代算法来自适应移动使得更多的节点位于边界层内得到移动网格和相应问题1一2的精确数值解以适应问题的奇异摄动特性
第 １卷第 ３ ８ 期
２０ ０ ８年 ９月
湖 南 工 程 学 院 学 报 Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＨｕ ａ ｎ ｔ ｕ ｅｏ ｇ ｎ ｅ ｉｇ ｏ ｒ ａ ｎ ｎ Ｉ ｓ ｉ ｔ ｆＥｎ ｉ ｅ ｒ ｏ ｔ ｎ
其节 点被 初始 化 为均 匀 网 格 ， 执行 一 种 网格 等分 布
—ｚ ． 我们 选择 下列 弧长 控制 函数
Ｍ ： 一１ ２ ，ｉ ， ， ＝１… Ｎ （） ４ Ｎ
—
－
一
， 的离散 形式 ， 中 其
ｕ ￣
，
－
（ 参考Ｅ ，１ 弧长控制函数 的迭代算法来 自适应移 ａ６） 动， 使得更 多 的节 点位 于边界层 内 ， 到移 动 网格 和 得 相应 问题 （） （） １一 ２ 的精 确 数值 解 ， 以适 应 问题 的奇
异摄 动特 性．
Ｄ 一甜 一 Ｎ
ｔｉ ｔ
Ｎ
， ＋１ ‘ｆ
Ｄ ＋Ｄ 一
一— Ｄ
＋ ｕ Ｎ
ｉ
— — —
Ｄ
—
－
一
ｕ ￣
，
ｈｉ —ｉ￣ ｉｌ 一ｈ ＋ ｈ
－ —
， ‘ｉ
ｆ ＿ ａ
根据 网格 等分 布原理 ， 有 就
ｈｉ Ｍ 一
．
， ，＝ ｌ
ｉ １２ … ， ＝ ， ， Ｎ．
Ｖ １１ ． ． ｏ ． ８ Ｎ０ ３
Ｓ ｐ． ０ ８ ｅ ｔ２ ０
用 有 限 元 解 奇 异 摄 动 边 值 问 题 的移 动 网格 算 法
杨 继 明
（ 湖南工程学 院 理学院 ， 湖南 湘潭 ４ １０ ） １ １ ４
摘
要 ：考 虑一类 奇异摄 动边值 问题 ． 了对 其数值 求 解 ， 为 与文［ ，］ 同的是 ， 用基 于有 限元 方 法的 １２不 采
立．
∈ ， 使
ａ ｕ ） （ ， ） Ｖ ∈ ． （ Ｎ， 一 厂 ， （） ３
其 中双 线性形 式 和线性 泛 函定 义 为
Ｎ一 １
在 假设条 件 下 ， 问题 （） （） １一 ２ 有唯一 解． 解 在 其
右 边界 ｚ 一１处有 厚 为 ０（） ￡ 的边 界 层． 边界 层 区 在
ｓ一 致 收 敛 的 ．
关 键词 ：奇 异摄 动 ； 限元 ； 动 网格 ； 有 移 等分 布
中图分类 号 ：０１ １ ２ ５． １ 文 献标识 码 ：Ａ 文章 编 号 ：１ ７ —１ ９ ２ ０ ） ３ ０ ４ － ０ ６ １ １ Ｘ（ ０ ８ ０ － ０ ６ ３
０ 引 言
考虑 流体力 学 中一类奇 异摄 动边 值问题