高中数学试题三角函数单元测试题

n
C.y = 2cos(2x + 4 )
x n
D.y = 2cos (2 + 4)
4.函数y = 2sin(3x —；)图象的两条相邻对称轴之间的距离是
姓名： 班级： 考场： 一、选择题(本大题共 10小题，每小题5分，共 1•下列函数中，最小正周期为 A.y = sin2x C.y = sin 2x + cos2x 三角函数单元测试题
座位号: n 的偶函数是 50分) x
B.y = cos2 _ 1 — tan 2x D.y =i r tan 2； 2 .设函数 y = cos(sinx)，贝U A.它的定义域是［—1,
C.它的值域是［—cos1, 3.把函数y = cosx 的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半, 1 : cosl ] B.它是偶函数
D.它不是周期函数 纵坐标扩大到原来的两倍, n 然后把图象向左平移 4个单位.则所得图象表示的函数的解析式为 A.y = 2sin2x B.y =— 2sin2x 5. 6.
2n B.孑
若sin a+ cos a= m ,且一,'2 < m v — 1,贝U a 角所在象限是
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
C. n
4 n D 4T
3 n
函数y = |cotx| • nx (0v x < — 且x f)的图象是
(
7. cos'x
设y= ，则下列结论中正确的是
1 + sinx
A. y有最大值也有最小值C.y有最小值但无最大值
B.y有最大值但无最小值D.y既无最大值又无最小值
函数y= sin (n —2x)的单调增区间是
3 n n
A. : k n—V , k n+~ : (k€ Z)
8 8
n 5 n
B. :k T T" , k nr V 】(k€ Z)
8 8
n
16. 关于函数f(x)= 4sin(2x + 3 )(x € R)有下列命题：
①由f(X 1) = f(x 2)= 0可得X 1 — X 2必是n 的整数倍;
n
②
y = f(x)的表达式可改为 y = 4cos(2x — §)；
③y = f(x)的图象关于点(一n , 0)对称; ④y = f(x)的图象关于直线 x =— n 对称.
6
其中正确的命题的序号是 ______________ .
三、解答题(本大题共 5小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. (本小题满分12分)如图为函数 y = Asin( 3x+Q (A >0, w >0)的图象的一部分，试求该 函数的一个
解析式•
18. (本小题满分 14分)已知函数 y = (sinx + cosx)2 + 2cos 2x.(x € R)
(1) 当y 取得最大值时，求自变
量
x 的取值集合.
⑵该函数图象可由y = sinx(x € R)的图象经过怎样的平移和伸缩
n C. [ k n — 8 ,
k 灶 3n : (k € Z)
D. : k 计 3n, k n+ ¥ : (k € Z)
9 .已知 0w x < n 1
且一2 v a v 0，那么函数 f(x)= cos 2x — 2asinx — 1
的最小值是
A.2a + 1
B.2a — 1
C. — 2a — 1
D.2a
10.求使函数 y = sin(2x + B )+寸3 cos(2x + ®为奇函数，且在［0,才 值为 ］上是增函数的 B 的一个
” 5 n A 亍
二、填空题(本大题共
r 4 n 2 n B. 5
C. §
6小题，每小题5分，共30分)
11 .函数 _ cosx
y = 1 + 2cosx 的值域是
12.函数 ,cosx
y
= lg (1 + tanx )的定义域是 ----------------- x , y €[ 0, n ,且满足 |sinx|= 2cosy — 2,则 13. 如果
14. ____________________ 已知函数y = 2cosx , x €［ 0, 2n ］和y = 2，则它们的图象所围成
的一个封闭的平面图形 的面积是
15. ____________________________________________ 函数 y = sinx + cosx + sin2x 的值域
x =
变换得至U?
19. (本小题满分14分)已知函数f(x) = log 1 (sinx—cosx)
2
(1 )求它的定义域和值域；(2)求它的单调减区间；
(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期
20. （本小题满分15分）某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠（如图），为降低成本，必须
尽量减少水与水渠壁的接触面•若水渠横断面面积设计为定值的倾
斜角a应为多少时，方能使修建的成本最低？
21. （本小题满分15分）已知函数f（x）= sin（3x+枷3>0, 0W皆n是R上的偶函数，其图
3 n n
象关于点M（~4 , 0）对称，且在区间］o, 2 ］上是单调函数，求 $和3的值.
5 n 5 n — 5 n —
2 n
sin (3 + 0)= 0•若取 0=— y ,贝y y = 3 sin(2x — — )=— 3 sin(2x —§ ),
它与y = •. 3 sin(2x —扌)的图象关于x 轴对称，故求解错误！因此，将点的坐标代入函数 y = J 3 sin(2x + 0)后，如何确定 0,要看该点在曲线上的位置 •如：M 在上升的曲线上，就相当于 五 2 n
点法”作图中的第一个点，故 亍+ 0= 0；而N 点在下降的曲线上，因此相当于 五点法”作图
中的第三个点，故5n +0= n,由上可得0的值均为一手.
18. (本小题满分 14分)已知函数 y = (sinx + cosx)2 + 2cos 2x.(x € R)
(1)当y 取得最大值时，求自变量
x 的取值集合•
⑵该函数图象可由y = sinx(x € R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 【解】 y = 1 + sin2x + 2cos 2x = sin2x + cos2x + 2 = .2 sin(2x + 才)+ 2.
n
(1)要使y 取得最大值，则sin(2x + [ )= 1. 即卩：2x+ ; = 2k n x = k nF ： (k € Z)
4 2 8
•••所求自变量的取值集合是 {x | x = k n+n , k € Z}.
8
三角函数单元测试题答案
一、 选择题(本大题共 1. D 2. B 3. B 二、 填空题(本大题共 10小题，每小题 4. A 5. C 6.
6小题，每小题 5分，共50分) C 7. C 8. D 9. C 10. C
5分，共30分)
11.(-汽 3 八［1,
12.
n t
{x|—4 + 2k n< X V 2k n 或 2k n<X V 0 + 2k *k € Z)}
13. x = 0 或 n y = 0 14. 4 n
三、解答题(本大题共
17.(本小题满分12 函数的一个解析式 【解】 由图可得：A = '3 , T = 2 | MN | =
15. {y |— 4 w y w 1 + .；2 }
16 .②③
70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
3 > 0)的图象的一部分，试求该
5小题，共 分)如图为函数 y = Asin( 3x+沏(A > 0,
从而 3= 2j n = 2,故 y = ,'3 sin(2x + 0) 将 M (n , 0)代入得 sin (¥ + 0) = 0 取 0= —
守 得 y = .'3 sin(2x — ¥ 【评注】
本题若将N (5
n , 0) 代入 y = 3 sin(2x+ 妨
则可得:
(2) 变换的步骤是:
, - , _ n n
①把函数y= sinx的图象向左平移4个单位，得到函数y= sin(x+& )的图象；
1 n
②将所得的图象上各点的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y= sin(2x+4 )
的图象；
③再将所得的图象上各点的纵坐标伸长到原来的-'2倍(横坐标不变)，得函数y= ；2
n
sin(2x+ 4 )的图象；
④最后将所得的图象向上平移2个单位，就得到y=p2
sin(2x+ n )+2的图象.
【说明】以上变换步骤不唯一！
19. (本小题满分14分)已知函数f(x) = log 1(sinx—cosx)
2
(1 )求它的定义域和值域；(2)求它的单调减区间；
(3) 判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的一个周期
【分析】研究复合函数的性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性)应同时考虑内层函数与外层函数各自的特性以及它们的相互制约关系
【解】(1 )由题意得sinx —cosx>0,即承sin(x —；)>0
n n 5 n
从而得2k nV x — 4 V 2k n+ n所以函数的定义域为(2k n+ 4 , 2k n+匚)(k€ Z)
T 0 V sin(x—< 1,二0V sinx—cosx w返
1 1
即有log1 (sinx—cosx) > log 1 .'2 = —•故函数的值域是［— 2 , +m).
2 2
n n
(2)••• sinx—cosx= ,'2 sin (x—4 )在f(x)的定义域上的单调递增区间为( 2k n^4 , 2k n
3 n n 3 n
+ —) (k€ Z)，函数f(x)的递减区间为(2k 灶 4 , 2k n+ — ) (k€ Z).
⑶•/ f(x)的定义域在数轴上对应的点不关于原点对称, •••函数f(x)是非奇非偶函数.
(4) f(x+ 2 n = log 1[ sin(x+ 2 n—cos(x+ 2 "]= log 1(sinx —cosx) = f(x).
2 2
•函数f(x)是周期函数，2 n是它的一个周期
20. (
本小题满分15分)某村欲修建一横断面为等腰梯形的水渠(如图) ，为降低成本，必须尽量减少水与水渠壁的接触面•若水渠横断面面积设计为定值的倾
斜角a应为多少时，方能使修建的成本最低？
【分析】本题中水与水渠壁的接触面最小，即是修建的
成本最低，而水与水渠壁的接触面最小，实际上是使水渠横断面的周长最小.
【解】设水渠横断面的周长为y,则：
3 1 3 X3
(y—2x sn a) X+ 2X硏=m
即：y = m + 3 2i cos a (0 V aV 90 °.
3 sin a ' ‘
(0 ° aV 90 °最小,
T tsin a+ cos a= 2.
2 1
• sin( a+ 0 =——,(其中0 由tan 0=7 , 0€ (0 °90 °p t2+1 t
2
由一：W 1 得：t2>3 t> .3
.t2+ 1
当且仅当t = ;3，即tan片龙3,即卩0= 30°寸，不等式取等号，此时
3
=60°
【答】水渠侧壁的倾斜角a= 60 °寸，修建成本最低.
21. (本小题满分15分)已
知函数f(x) = sin( 3x+ 0)( 3>0, 0w皆n是R上的偶函数，其图象关于点M (34?, 0)对称，且在区间］0,才］上是单调函数，求0和3的值.
【解】由f(x)是偶函数，得f(x) = f( —x)
即sin( 3X+ 0) = sin( — 3x+ 0)
•••—cos 0sin 3x= cos 0sin 3x对任意x 者E成立.
且3> 0，二cos ©= 0,依题设0w 皆n 二
由f(x)的图象关于点M (3^ , 0)对称，得,
3 n 3 n 3 n
取x=0，得f(- )= —f(4),••• fq )= 0
3 n 3 3n •-f(7 )= sin(丁n 33n
+ 2 )= cos 4 = 0,又
3> 0
3 3n
_
n 4 = 2
2
k= 0, 1, 2,…，3= 3(2k+ 1), k= 0, 1, 2,…
当k = 0时,
2
3=3
,f(x)= sin £ x + )在区间］0,n】上是减函数;
当k = 1时,
n ‘
3= 2, f(x)= sin(2x+ 3 )在区间］0,彳］上是减函数;
3>乎,f(x) = sin(3x+ )在区间］0, n
2】上不是单调函数;
欲减少水与水渠壁的接触面，只要使水渠横断面周长y最小，即要使
2 —cos
a t=
sin a
sin( a+ 30°) = 1 a
2 所以，3= 3或3= 2.。