【易错题】高三数学下期中一模试卷(及答案)(2)

【易错题】高三数学下期中一模试卷(及答案)(2)
一、选择题
1．已知点(),M a b 与点()0,1N -在直线3450x y -+=的两侧，给出以下结论：
①3450a b -+>；②当0a >时，+a b 有最小值，无最大值；③221a b +>；④当
0a >且1a ≠时，1
1b a +-的取值范围是93,,44⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
正确的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．已知正数x 、y 满足1x y +=，且
2211
x y m y x +≥++，则m 的最大值为（ ） A ．
163
B ．
13
C ．2
D ．4
3．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则
14
a b
+的最小值为（ ） A ．3
B ．
32
C ．2
D ．
52
4．数列{}{},n n a b 为等差数列，前n 项和分别为,n n S T ，若3n 2
2n n S T n +=，则7
7a b =（ ） A ．
41
26
B ．
2314
C ．
117 D ．
116
5．我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，...，9填入33⨯的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15 (如图）.一般地，将连续的正整数1，2，3，…，2n 填入n n ⨯的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n 阶幻方.记n 阶幻方的一条对角线上数的和为n N (如：在3阶幻方中，
315N =)，则10N =（ ）
A ．1020
B ．1010
C ．510
D ．505
6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*
21n n S a n N =-∈，则5
a 等于（ ）
A ．16-
B ．16
C ．31
D ．32
7．已知关于x 的不等式()22
4300x ax a a -+<<的解集为()12,x x ，则1212
a x x x x ++
的最大值是（ ） A
B
C
D
． 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95
495S S -=-，则n S 取最大值时的n 为 A ．4
B ．5
C ．6
D ．4或5
9．在数列{}n a 中，12a =，11
ln(1)n n a a n +=++，则n a =
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++
10．已知数列{}n a 的通项公式为()*21
log N 2
n n a n n +=∈+，设其前n 项和为n S ，则使5n S <-成立的自然数n ( )
A ．有最小值63
B ．有最大值63
C ．有最小值31
D ．有最大值31
11．等比数列{}n a 的前三项和313S =，若123,2,a a a +成等差数列，则公比q =（ ） A ．3或1
3
- B ．-3或
13
C ．3或
13
D ．-3或13
-
12．如果等差数列{}n a 中，3a +4a +5a =12，那么1a +2a +…+7a =（ ） A ．14
B ．21
C ．28
D ．35
二、填空题
13．数列{}n a 满足14a =，12n
n n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______.
14．在数列{}n a 中，“()n 12n a n N*n 1n 1n 1=
++⋯+∈+++，又n n n 1
1b a a +=，则数列
{}n b 的前n 项和n S 为______．
15．已知()()0f x kx k =>，若正数a 、b 满足()()()()f a f b f a f b +=，且
4a b f f k k ⎛⎫⎛⎫
+ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
的最小值为1，则实数k 的值为______． 16．若a>0,b>0,a+b=2，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是 (写出所有正确命题的编号)．①ab≤1；
； ③a 2+b 2≥2；④a 3+b 3≥3;11
2a b
+≥⑤. 17．已知函数()3a
f x x x
=++，*x ∈N ，在5x =时取到最小值，则实数a 的所有取值的集合为______.
18．不等式211x x --<的解集是 ．
19．若等比数列{}n a 的各项均为正数，且5
10119122a a a a e +=，则
1220ln ln ln a a a +++L 等于__________．
20．若log 41,a b =-则+a b 的最小值为_________.
三、解答题
21．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足37a =，999S =. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若()2
n n n a b n N *
=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . 22．设函数()1
12
f x x =+＋|x |(x ∈R)的最小值为a . (1)求a ；
(2)已知两个正数m ，n 满足m 2＋n 2＝a ，求
11
m n
+的最小值. 23．在ABC V 中内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2,7a b ==
，面积
3
2
S accosB =
. （1）求sin A 的值；
（2）若点D 在BC 上（不含端点），求
sin BD
BAD
∠的最小值.
24．如图，游客从某旅游景区的景点A 处下上至C 处有两种路径．一种是从A 沿直线步行
到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C ．现有甲、乙两位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为50/min m ．在甲出发2min 后，乙从A 乘缆车到B ，在B 处停留1min 后，再从B 匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为
130/min m ，山路AC 长为1260m ，经测量12cos 13
A =
，3cos 5C =．
（1）求索道AB 的长；
（2）问：乙出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？
（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？
25．在等比数列{}n b 中，公比为()01q q <<，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫⎨
⎬⎩⎭
.
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）设()31n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .
26．若n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列，24S =. （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设13
,n n n n b T a a +=
是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m T <对所有n N +∈都成立的最小正整数m .
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一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】 【详解】
∵点M (a ,b )与点N (0,−1)在直线3x −4y +5=0的两侧,
∴()()34530450a b -+⨯++<，即3450a b -+<，故①错误； 当0a >时,5
4
a b +>
，a +b 即无最小值，也无最大值，故②错误； 设原点到直线3x −4y +5=0的距离为d ,则2
2
513(4)
=
=+-d ,则22a b +>1，故③正确；
当0a >且a ≠1时,
1
1
b a +-表示点M (a ,b )与P (1,−1)连线的斜率． ∵当0a =,b =54时,5
1
194
114
b a ++==---,又直线3x −4y +5=0的斜率为34，
故
1
1b a +-的取值范围为93,,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故④正确.
∴正确命题的个数是2个. 故选B.
点睛：本题是常规的线性规划问题，线性规划问题常出现的形式有：①直线型，转化成斜截式比较截距，要注意z 前面的系数为负时，截距越大，z 值越小；②分式型，其几何意义是已知点与未知点的斜率；③平方型，其几何意义是距离，尤其要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
由已知条件得()()113x y +++=，对代数式22
11x y y x +++变形，然后利用基本不等式求出22
11
x y y x +++的最小值，即可得出实数m 的最大值. 【详解】
正数x 、y 满足1x y +=，则()()113x y +++=，
()()()()()()22
2
2
2
2
221212111111111111
y x y x y x x y y x y x y x y x +-+-⎡⎤⎡⎤----⎣⎦⎣⎦+=
+=+=+++++++++444444
141465
111111
y x x y y x x y x y =+-+++-+=+++-=+-++++++()()14441111525311311y x x y x y x y ⎛⎫⎛⎫
++=++++-=++-⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++⎝⎭⎝⎭
412533⎛≥⨯+-= ⎝， 当且仅当12
x y ==时，等号成立，即2211x y y x +++的最小值为13，则1
3m ≤. 因此，实数m 的最大值为1
3
. 故选：B. 【点睛】
本题考查利用基本不等式恒成立求参数，对代数式合理变形是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.
3．B
解析：B 【解析】
作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】
作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．
1411414143
()()(5)(5)6662
b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b =
=时等号成立，即14a b
+的最小值为3
2． 故选：B. 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．
4．A
解析：A 【解析】
依题意，113
713113713132412226
132a a a S b b b T +⋅===+⋅.
5．D
解析：D 【解析】
n 阶幻方共有2
n 个数，其和为(
)2221
12...,2
n n n n ++++=
Q 阶幻方共有n 行，∴每行的
和为
()
(
)
222
1
122
n n n n n
++=
，即(
)(
)2210
1
10101
,5052
2
n n n N N
+⨯+=
∴=
=，故选D.
6．B
解析：B
【分析】
令1n =，由11a S =可求出1a 的值，再令2n ≥，由21n n S a =-得出1121n n S a --=-，两式相减可得出数列{}n a 为等比数列，确定出该数列的公比，利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 【详解】
当1n =时，1121S a =-，即1121a a =-，解得11a =；
当2n ≥时，由21n n S a =-，得1121n n S a --=-，两式相减得122n n n a a a -=-，得
12n n a a -=.
所以，数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列，则4
51216a =⨯=，
故选：B. 【点睛】
本题考查利用n S 来求通项n a ，一般利用公式11,1
,2n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，同时也要注意等差数
列和等比数列定义的应用，考查运算求解能力，属于中等题.
7．D
解析：D 【解析】
：不等式x 2-4ax +3a 2＜0（a ＜0）的解集为（x 1，x 2），
根据韦达定理，可得：2
123x x a =，x 1+x 2=4a ，
那么：1212a x x x x ++=4a +13a
． ∵a ＜0， ∴-（4a +
13a ）
=3，即4a +
13a ≤
-3 故1212a x x x x ++
的最大值为3
-． 故选D ．
点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.
8．B
解析：B 【解析】
由{}n a 为等差数列，所以
95
532495S S a a d -=-==-，即2d =-， 由19a =，所以211n a n =-+， 令2110n a n =-+<，即112
n >
， 所以n S 取最大值时的n 为5， 故选B ．
9．A
解析：A 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：在数列{}n a 中，11ln 1n n a a n +⎛⎫-=+
⎪⎝⎭
112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+
12ln
ln ln 2121
n n n n -=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅++-- 12
ln(
)2121
n n n n -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-- ln 2n =+ 故选A. 10．A
解析：A 【解析】 【分析】
利用对数运算，求得n S ，由此解不等式5n S <-，求得n 的最小值. 【详解】 ∵()*2
1
log N 2
n n a n n +=∈+， ∴1232
2223log log log 31
42
n n S a a a a n n =++++⋯+=++⋯++2223
12log log 3422n n n +⎛⎫=⨯⨯⋯⨯= ⎪
++⎝⎭
， 又因为2
121
5log 6232232
n S n n <-=⇒<⇒>+， 故使5n S <-成立的正整数n 有最小值：63. 故选：A. 【点睛】
本小题主要考查对数运算和数列求和，属于基础题.
11．C
解析：C 【解析】
很明显等比数列的公比1q ≠，由题意可得：(
)2
31113S a q q =++=，①
且：()21322a a a +=+，即()2
11122a q a a q +=+，②
①②联立可得：113a q =⎧⎨=⎩或1
9
13a q =⎧⎪⎨=⎪⎩
，
综上可得：公比q =3或1
3
. 本题选择C 选项.
12．C
解析：C 【解析】
试题分析：等差数列{}n a 中，34544123124a a a a a ++=⇒=∴=，则
()()17412747727282
2
a a a a a a a +⨯+++=
=
==L
考点：等差数列的前n 项和
二、填空题
13．【解析】【分析】由题意得出利用累加法可求出【详解】数列满足因此故答案为：【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项解题时要注意累加法对数列递推公式的要求考查计算能力属于中等题 解析：22n +
【解析】 【分析】
由题意得出12n
n n a a +-=，利用累加法可求出n a .
【详解】
数列{}n a 满足14a =，12n n n a a +=+，*n N ∈，12n
n n a a +∴-=，
因此，
()()()211213214222n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++L L ()121242212
n n --=+
=+-.
故答案为：22n +. 【点睛】
本题考查利用累加法求数列的通项，解题时要注意累加法对数列递推公式的要求，考查计算能力，属于中等题.
14．【解析】【分析】运用等差数列的求和公式可得可得由数列的裂项相消求和化简可得所求和【详解】解：则可得数列的前n 项和故答案为【点睛】本题考查数列的前项和首先运用数列的裂项法对项进行分解然后重新组合最终达 解析：
4n
n 1
+ 【解析】 【分析】
运用等差数列的求和公式可得()n 11n
a n n 1n 122
=
⋅+=+，可得()n n n 1141
1b 4a a n n 1n n 1+⎛⎫=
==- ⎪++⎝⎭
，由数列的裂项相消求和，化简可得所求和． 【详解】 解：()n 12n 11n
a n n 1n 1n 1n 1n 122
=++⋯+=⋅+=++++， 则()n n n 1141
1b 4a a n n 1n n 1+⎛⎫=
==- ⎪++⎝⎭
， 可得数列{}n b 的前n 项和n 1111111S 4122334n n 1⎛
⎫=-
+-+-+⋯+- ⎪+⎝
⎭
14n 41n 1n 1⎛
⎫=-=
⎪++⎝⎭
． 故答案为4n
n 1
+． 【点睛】
本题考查数列的前n 项和，首先运用数列的裂项法对项进行分解，然后重新组合，最终达到求和目的，考查化简整理的运算能力，属于基础题．
15．9【解析】【分析】由求出满足的关系然后利用基本不等式求出的最小值再由最小值为1可得【详解】∵∴即∴当且仅当时等号成立∴故答案为：9【点睛】本题考查基本不等式求最值解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的
解析：9 【解析】 【分析】
由()()()()f a f b f a f b +=求出,a b 满足的关系，然后利用基本不等式求出
4()()a b
f f k k +的最小值，再由最小值为1可得k ． 【详解】
∵()()()()f a f b f a f b +=，()f x kx =,∴ka kb ka kb +=⋅，即11
k a b
+=， ∴4()()a b f f k k +111144()(4)(5)a b a b a b k a b k b a =+=++=++149(52)a b k b a k
≥+⨯=，当且仅当4a b b a
=时等号成立． ∴
9
1k
=，9k =． 故答案为：9． 【点睛】
本题考查基本不等式求最值．解题时需用凑配法凑出基本不等式所需的定值，然后才可用基本不等式求最值，同时还要注意等号成立的条件，等号成立的条件取不到，这个最值也取不到．
16．①③⑤【解析】【分析】【详解】对于①：因为所以所以故①项正确；对于②：左边平方可得：所以故②项错误；而利用特殊值代入②中式子也可得出②错误的结论；对于③：因为由①知所以故③项正确；对于④：故④项错误
解析：①③⑤ 【解析】 【分析】 【详解】 对于①：因为，，所以，所以，故①项正确； 对于②：左边平方可得：
，所以
，故②
项错误； 而利用特殊值，
代入②中式子，也可得出②错误的结论；
对于③：因为，由①知
，所以
，
故③项正确；
对于④：(
)3
3
22
()a b a b a ab b +=+-+2
2()
3a b ab ⎡⎤=⨯+-⎣⎦8686ab =-≥-2=,故
④项错误； 对于⑤
1a +1a =a b ab +=2ab
≥2，故⑤项正确； 故本题正确答案为：①③⑤.
17．【解析】【分析】先求导判断函数的单调性得到函数的最小值由题意可得取离最近的正整数使达到最小得到解得即可【详解】∵∴当时恒成立则为增函数最小值为不满足题意当时令解得当时即函数在区间上单调递减当时即函数 解析：[]20,30
【解析】 【分析】
先求导，判断函数的单调性得到函数的最小值，由题意可得x ()f x 达到最小，得到()()56f f ≤，()()54f f ≤，解得即可.
【详解】 ∵()3a
f x x x
=+
+，*x ∈N ， ∴()222
1a x a
f x x x
-'=-=， 当0a ≤时，()0f x '≥恒成立，则()f x 为增函数， 最小值为()()min 14f x f a ==+，不满足题意，
当0a >时，令()0f x '=，解得x =
当0x <<
()0f x '<，函数()f x 在区间(上单调递减，
当x ()0f x '>，函数()f x 在区间)
+∞上单调递增，
∴当x =
()f x 取最小值，又*x ∈N ，
∴x ()f x 达到最小， 又由题意知，5x =时取到最小值，
∴56<
<或45<≤，
∴()()56f f ≤且()()54f f ≤，即536356a a ++≤++且534354
a a
++≤++， 解得2030a ≤≤.
故实数a 的所有取值的集合为[]20,30. 故答案为：[]20,30. 【点睛】
本题考查了导数和函数的单调性关系，以及参数的取值范围，属于中档题.
18．【解析】【分析】【详解】由条件可得 解析：{}|02x x <<
【解析】 【分析】 【详解】 由条件可得
19．50【解析】由题意可得=填50
解析：50 【解析】
由题意可得5
1011912a a a a e ==，
1220ln ln ln a a a ++⋅⋅⋅+=1050121920110ln()ln()ln 50a a a a a a e ===L ，填50.
20．1【解析】试题分析：由得所以（当且仅当即时等号成立）所以答案应填1考点：1对数的运算性质；2基本不等式
解析：1 【解析】
试题分析：由log 41,a b =-得1
04a b
=>， 所以11
2144a b b b b b
+=
+≥⋅=（当且仅当14b b =即12b =时，等号成立） 所以答案应填1.
考点：1、对数的运算性质；2、基本不等式.
三、解答题
21． （Ⅰ）21n a n =+，n *∈N （Ⅱ）25
52n n
n T +=- 【解析】
试题分析：（1）先根据条件列出关于首项与公差的方程组,解得首项与公差,代入等差数列通项公式即可（2）利用错位相减法求和, 利用错位相减法求和时，注意相减时项的符号变化，中间部分利用等比数列求和时注意项数，最后要除以1q -
试题解析：（Ⅰ）由题意得：1127
98
9992a d a d +=⎧⎪
⎨⨯+=⎪⎩
,解得132a d =⎧⎨=⎩ , 故{}n a 的通项公式为21n a n =+，*n N ∈ （Ⅱ）由（Ⅰ）得：21
2n n
n b +=
23435792122222
n n n T +=
++++⋯+ ①
234113572121222222n n n n n T +-+=+++⋯++ ② ①－②得：234113111
12122
22
2222n n n n T ++⎛⎫=++++⋯+- ⎪⎝⎭ 152522n n ++=- 故2552n n
n T +=-
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．(1)1a =；(2)22. 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：
（1）根据单调性求出()f x 的最小值，即可求出a 的值； （2）根据基本不等式的性质求出其最小值即可. 试题解析：
(1)f(x)＝
当x ∈(－∞，0)时，f(x)单调递减； 当x ∈[0，＋∞)时，f(x)单调递增； ∴当x ＝0时，f(x)的最小值a ＝1. (2)由(1)知m 2＋n 2＝1，则m 2＋n 2≥2mn ，得≥2，
由于m>0，n>0， 则＋≥2
≥2
，当且仅当m ＝n ＝时取等号. ∴＋的最小值为2.
23．（121
；（2）3 【解析】 【分析】
（1）由三角形面积公式得出60B ︒=，再由正弦定理即可得出sin A 的值；
（2）先由余弦定理得出AD ，再结合正弦定理以及二次函数的性质得出sin BD
BAD
∠的最
小值. 【详解】
（1
）由三角形面积公式得
1sin cos 22
ac B ac B =
，则tan B =()0,B π∈Q ，60B ︒∴=
由正弦定理sin sin a b A B
=
得，2sin sin a B A b === （2）由余弦定理得22222cos 230b a c ac B c c =+-⇒--=，解得1c =-（舍）或
3c =
设x BD =，则2DC x =-，()0,2x ∈
，由余弦定理得cos C =
=
2222cos AD DC AC DC AC ACD =+-⋅
∠2(2)7(2)14
x x =-+--⨯
239x x =-+
由正弦定理得sin sin BD AD BAD ABC ==
∠∠ 当32x =时，sin BD BAD ∠
3= 【点睛】
本题主要考查了利用正余弦定理解三角形，属于中档题. 24．（1）=1040AB m （2）35
37
（3）1250625[
,]4314（单位：m/min ） 【解析】 【分析】 【详解】
（1）在ABC ∆中，因为12cos 13
A =，3cos 5C =，
所以5sin 13A =，4
sin 5
C =， 从而
[]sin sin ()B A C π=-+sin()A C =+5312463
sin cos sin cos 13513565
A C C A =+=
⨯+⨯=
．
由正弦定理sin sin AB AC C B
=，得12604
sin 1040
63sin 565
AC AB C B =⨯=⨯=（m ）． （2）假设乙出发min t 后，甲、乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(10050)m t +，乙距
离A 处130t m ， 所以由余弦定理得
22212
(10050)(130)2130(10050)13
d t t t t =++-⨯⨯+⨯
2200(377050)t t =-+， 由于1040
0130
t ≤≤，即08t ≤≤， 故当35
min 37
t =
时，甲、乙两游客距离最短． （3）由正弦定理
sin sin BC AC
A B
=， 得12605
sin 500
63sin 1365
AC BC A B =
⨯=⨯=（m ）． 乙从B 出发时，甲已走了50(281)550⨯++=（m ），还需走710m 才能到达C ． 设乙步行的速度为/min vm ，由题意得5007103350v -≤
-≤，解得1250625
4314
v ≤≤， 所以为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min ，乙步行的速度应控制在
1250625,4314⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
（单位：/min m ）范围内． 考点：正弦、余弦定理在实际问题中的应用. 【方法点睛】
本题主要考查了正弦、余弦定理在实际问题中的应用，考查了考生分析问题和利用所学知识解决问题的能力，属于中档题.解答应用问题，首先要读懂题意，设出变量建立题目中的各个量与变量的关系，建立函数关系和不等关系求解.本题解得时，利用正余弦定理建立各边长的关系，通过二次函数和解不等式求解，充分体现了数学在实际问题中的应用.
25．（1）12n
n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭ （2）()15352n
n T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭
【解析】 【分析】
（1）由公比01q <<结合等比数列的性质得出11
2b =，318b =，5132
b =，再确定公比，即可得出数列{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】
（1）因为公比为()01q q <<的等比数列{}n b 中，13511111,,,,,,50322082b b b ∈⎧⎫
⎨⎬⎩
⎭ 所以由135,,b b b 成等比数列得出，当且仅当11
2b =
，318b =，5132
b =时成立. 此时公比2
311
4b q b =
=，12
q = 所以12n
n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭
. （2）因为()1312n
n c n ⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭
所以123...n n T c c c c =++++
()1
2
3
1111258...312222n
n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∴()()2
3
1
1111125...343122222n
n n T n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⋅+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
∴()1231
11111123...31222222n n n T n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⨯+⨯+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦
()1
1
11113131222n n n -+⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⨯---⋅⎢⎥ ⎪
⎪⎝⎭
⎝⎭⎢⎥⎣⎦
5135
222
n
n +⎛⎫=-⋅
⎪⎝⎭ 故数列{}n c 的前n 项和()15352n
n T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭
【点睛】
本题主要考查了求等比数列的通项公式以及利用错位相减法求数列的和，属于中档题. 26．(1) 21n a n =- (2) m 的最小值为30. 【解析】
试题分析：第一问根据条件中数列为等差数列，设出等差数列的首项和公差，根据题中的条件，建立关于等差数列的首项和公差的等量关系式，从而求得结果，利用等差数列的通项公式求得数列的通项公式，第二问利用第一问的结果，先写出
()()3
311212122121n b n n n n ⎛⎫=
=- ⎪-+-+⎝⎭
，利用裂项相消法求得数列{}n b 的前n 项和，
根据条件，得出相应的不等式，转化为最值来处理，从而求得结果．
试题解析：（1）因为{}n a 为等差数列，设{}n a 的首项为1a ，公差为d ()0d ≠，所以 112141,2,46S a S a d S a d ==+=+．又因为124,,S S S 成等比数列，所以
()()2
111462a a d a d ⋅+=+．所以2
12a d d =．
因为公差d 不等于0，所以12d a =．又因为24S =，所以1
a 1,d 2==，所以
21n a n =-．
（2）因为()()3
311212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭
，
所以311111123352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭L 31312212
n T n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭． 要使20n m T <
对所有n N *∈都成立，则有
3
202
m ≥，即30m ≥．因为m N *∈，所以m 的最小值为30．
考点：等差数列，裂项相消法求和，恒成立问题．。