2012-2013学年北京市西城区(南区)八年级(下)期末数学试卷

2012-2013 学年北京市西城区（南区）八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）下列函数中，不是一次函数的是（）
A．y＝﹣x+4 B．y＝ C．y＝ D．y＝
2．（3分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．
C． D．
3．（3 分）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
4．（3分）正方形具有而矩形没有的性质是（）
A．对角线互相平分B．每
条对角线平分一组对角
C．对角线相等
D．对边相等
5．（3 分）下列各点中，在双曲线y＝﹣上的点是（）
A．（﹣2，3）B．（4，3）C．（﹣2，﹣6）D．（6，﹣2）6．（3 分）甲、乙、丙、丁四名学生10 次小测验成绩的平均数（单位：分）和方差如下表：
选手甲乙丙丁
平均数92 92 92 92
方差 3.6 1.2 1.4 2.2 则这四人中成绩最稳定的是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
7．（3 分）如图，在▱ABCD 中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E，则BE 等于（）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
8．（3分）一次函数y＝2x﹣3 的图象不经过的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限9．（3分）某人驾车从A 地上高速公路前往B 地，中途在服务区休息了一段时间．出发时油箱中存油40 升，到B 地后发现油箱中还剩油4 升，则从出发后到B 地油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数的大致图象是（）
A．B．
C．D．
10．（3 分）如图，A，B 是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S，则（）
A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞4
11．（3 分）如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，∠A＝90°，AD＝DC＝4，AB＝1，BC 的
长度是（）
A．5 B．4 C．7 D．6
12．（3 分）如图，△ABC 中，BC＝18，若BD⊥AC 于D，CE⊥AB 于E，F、G 分别为BC、DE 的中点，若ED＝10，则FG 的长为（）
A． B．9 C．10 D．无法确定
二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分．）
13．（3 分）已知一组数据为：10；8，10，10，7，则这组数据的方差是．14．（3 分）已知一次函数y＝2x+1，则它的图象与坐标轴围成的三角形面积是．
15．（3 分）若＝，则＝．
16．（3 分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，则y1 y2（选填“＞”“＝”“＜”）．
17．（3 分）菱形的两条对角线长分别为6 和8，则这个菱形的周长为．
18．（3 分）等腰梯形ABCD 中，E、F、G、H 分别是各边的中点，则四边形EFGH 的形状是．
19．（3 分）如图，函数y＝ax﹣1 的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2 的解集
是．
20．（3 分）如图，菱形ABCD 中，AB＝4，∠A＝120°，点M、N、P 分别为线段AB、AD、BD 上的任意一点，则PM+PN 的最小值为．
三、解答题（本大题共7 小题，共40 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．21．（6 分）已知直线y＝kx+b 与x 轴交于点B（2，0），并经过点A（﹣1，3），求出直线表示的一次函数的解析式．
22．（6 分）如图，在平行四边形ABCD 中，E、F 分别在AD、BC 边上，且AE＝CF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE 是平行四边形．
23．（6 分）如图，一次函数y＝kx+b 与反比例函数y＝的图象交于A（2，1），B（﹣1，n）两点．
（1）求m 的值；
（2）结合图象直接写出不等式的解集．
24．（5 分）如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB，CD 的延长线分别交于E，F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A，E，C，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．
25．（5 分）已知：在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且OB＝2OC．
（1）试确定直线BC 的解析式；
（2）在平面内确定点M，使得以点M、A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标．
26．（6 分）如图，现有一张边长为4 的正方形纸片ABCD，点P 为AD 边上的一点（不与点A、点D 重合），将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H，折痕为EF，联结BP、BH．
（1）求证：∠APB＝∠BPH；
（2）求证：AP+HC＝PH；
（3）当AP＝1 时，求PH 的长．
27．（6 分）如图，在△ABC 中，AC＞AB，D 点在AC 上，AB＝CD，E、F 分别是BC、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，联结GD，判断△AGD 的形状并证明．
2012-2013 学年北京市西城区（南区）八年级（下）期末
数学试卷
一、选择题（本大题共12 小题，每小题3 分，共36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3 分）下列函数中，不是一次函数的是（）
A．y＝﹣x+4 B．y＝ C．y＝ D．y＝
【分析】直接根据一次函数的定义进行判断．
【解答】解：y＝﹣x+4，y＝x，y＝﹣3x 都是一次函数，而y＝为反比例函
数．故选：D．
【点评】本题考查了一次函数的定义：一般地，形如y＝kx+b（k≠0，k、b 是常数）的函数叫做一次函数．
2．（3 分）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴
对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不
是中心对称图形，故此选项错误；
故选：B．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后两部分重合．
3．（3 分）一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是（）A．四边形B．五边形C．六边形D．八边形
【分析】首先设此多边形是n 边形，由多边形的外角和为360°，即可得方程180（n﹣2）＝360，解此方程即可求得答案．
【解答】解：设此多边形是n 边形，
∵多边形的外角和为360°，
∴180（n﹣2）＝360，
解得：n＝4．
∴这个多边形是四边
形．故选：A．
【点评】此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为360°，n 边形的内角和等于180°（n﹣2）．
4．（3 分）正方形具有而矩形没有的性质是（）
A．对角线互相平分B．每
条对角线平分一组对角
C．对角线相等
D．对边相等
【分析】首先要知道正方形和矩形的性质，正方形是四边相等的矩形，正方形对角线平分对角，且对角线互相垂直．
【解答】解：A、正方形和矩形对角线都互相平分，故A 不符合题意，B、
正方形对角线平分对角，而矩形对角线不平分对角，故B 符合题意，C、
正方形和矩形对角线都相等，故C 不符合题意，D、正方形和矩形的对
边都相等，故D 不符合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查正方形对角线相互垂直平分相等的性质和长方形对角线平分相等性质的比较．
5．（3 分）下列各点中，在双曲线y＝﹣上的点是（）
A．（﹣2，3）B．（4，3）C．（﹣2，﹣6）D．（6，﹣2）
【分析】根据反比例函数中k＝xy 为定值进行解答即可．
【解答】解：A、∵（﹣2）×3＝﹣6≠﹣12，∴此点不在该函数的图象上，故本选项错误；
B、∵4×3＝12≠﹣12，∴此点不在该函数的图象上，故本选项错误；
C、∵（﹣2）×（﹣6）＝12≠﹣12，∴此点不在该函数的图象上，故本选项错误；
D、∵6×（﹣2）＝﹣12，∴此点在该函数的图象上，故本选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
6．（3 分）甲、乙、丙、丁四名学生10 次小测验成绩的平均数（单位：分）和方差如下表：
选手甲乙丙丁
平均数92 92 92 92
方差 3.6 1.2 1.4 2.2 则这四人中成绩最稳定的是（）
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】方差就是各变量值与其均值离差平方的平均数，反映了一组数据的波动情况．方差越小，射击成绩越稳定．
【解答】解：因为S 甲2＝3.6，S 乙2＝1.2，S 丙2＝1.4，S 丁2＝
2.2．所以S 甲2＞S 丁2＞S 丙2＞S 乙2，
所以射击成绩最稳定的是
乙．故选：B．
【点评】解答此题要注意：方差是各变量值与其均值离差平方的平均数，它是测算数值型数据离散程度的最重要的方法．
7．（3 分）如图，在▱ABCD 中，已知AD＝8cm，AB＝6cm，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E，则BE 等于（）
A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm
【分析】由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA＝∠DEC，而DE 平分∠ADC，进一步推出∠EDC＝∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE
＝CD，则BE 可求解．
【解答】解：根据平行四边形的性质得AD∥BC，
∴∠EDA＝∠DEC，
又∵DE 平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADE，
∴∠EDC＝∠DEC，
∴CD＝CE＝AB＝6，
即BE＝BC﹣EC＝8﹣6＝
2．故选：A．
【点评】本题直接通过平行四边形性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题．8．（3 分）一次函数y＝2x﹣3 的图象不经过的象限是（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】根据一次函数y＝ax+b（a≠0）的a、b 的符号判定该一次函数所经过的象限即可．
【解答】解：∵一次函数y＝2x﹣3 的k＝2＞0，b＝﹣3＜0，
∴一次函数y＝2x﹣3 经过第一、三、四象限，
即一次函数y＝2x﹣3 不经过第二象限．故选：
B．
【点评】本题考查了一次函数的图象，即直线y＝kx+b 所在的位置与k、b 的符号有直接的关系．k＞0 时，直线必经过一、三象限．k＜0 时，直线必经过二、四象限．b＞0 时，直线与y 轴正半轴相交．b＝0 时，直线过原点；b＜0 时，直线与y 轴负半轴相交．
9．（3分）某人驾车从A 地上高速公路前往B 地，中途在服务区休息了一段时间．出发时油箱中存油40 升，到B 地后发现油箱中还剩油4 升，则从出发后到B 地油箱中所剩油y（升）与时间t（小时）之间函数的大致图象是（）
A． B．
C．D．
【分析】根据某人驾车从A 地上高速公路前往B 地，中途在服务区休息了一段时间，休息时油量不再发生变化，再次出发油量继续减小，即可得出符合要求的图象．
【解答】解：某人驾车从A 地上高速公路前往B 地，油量在减小；
中途在服务区休息了一段时间，休息时油量不发生变化；再次出
发油量继续减小；
到B 地后发现油箱中还剩油4 升；
只有C 符合要求．
故选：C．
【点评】本题考查了利用函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
10．（3 分）如图，A，B 是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x 轴，AC ∥y 轴，△ABC 的面积记为S，则（）
A．S＝2 B．S＝4 C．2＜S＜4 D．S＞4
【分析】本题可根据A、B 两点在曲线上可设出A、B 两点的坐标以及取值范围，再根据三角形的面积公式列出方程，即可得出答案．
【解答】解：设点A 的坐标为（x，y），则B（﹣x，﹣y），xy＝2．
∴AC＝2y，BC＝2x．
∴△ABC 的面积＝2x×2y÷2＝2xy＝2×2＝
4．故选：B．
【点评】解决本题的关键是根据反比例函数关系式得到所求三角形的两直角边的积．11．（3 分）如图，在梯形ABCD 中，AB∥DC，∠A＝90°，AD＝DC＝4，AB＝1，BC 的长度是（）
A．5 B．4 C．7 D．6
【分析】过点B 作BE⊥DC，垂足为E，利用已知条件判定ADEB 是矩形，可得BE＝4，然后利用勾股定理即可求出BC，问题可解．
【解答】解：过点B 作BE⊥DC，垂足为E，
在直角梯形ABCD 中，AB∥DC，∠D＝90°，
∴ADEB 是矩形，
∴AD＝BE＝4，CE＝DC﹣DE＝DC﹣AB＝3，BE⊥CD，
∴在Rt△BEC 中，BC＝＝5，
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对直角梯形的性质和勾股定理的理解和掌握．此题有一定的拔高难度，属于中档题．
12．（3 分）如图，△ABC 中，BC＝18，若BD⊥AC 于D，CE⊥AB 于E，F、G 分别为BC、DE 的中点，若ED＝10，则FG 的长为（）
A．B．9 C．10 D．无法确定
【分析】连接EF、DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF＝DF＝BC，再根据等腰三角形三线合一的性质可得FG⊥ED，DG＝ED，然后利用勾股定理列式计算即可得解．
【解答】解：如图，连接EF、DF，
∵F 是BC 的中点，BD⊥AC，CE⊥AB，
∴EF＝DF＝BC＝×18＝9，
∵G 是ED 的中点，
∴FG⊥ED，DG＝ED＝×10＝5，
在Rt△DGF 中，FG＝＝＝2
．故选：A．
【点评】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，以及勾股定理，作辅助线是利用性质的关键．
二、填空题（本大题共8 小题，每小题3 分，共24 分．）
13．（3 分）已知一组数据为：10；8，10，10，7，则这组数据的方差是 1.6 ．【分析】结合方差公式先求出这组数据的平均数，然后代入公式求出即可．
【解答】解：平均数为：（10+8+10+10+7）÷5＝9，
S2＝[（10﹣9）2+（8﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（7﹣9）2]，
＝（1+1+1+1+4），
＝1.6，故答案
为：1.6．
【点评】此题主要考查了方差的有关知识，正确的求出平均数，并正确代入方差公式是
解决问题的关键．
14．（3 分）已知一次函数y＝2x+1，则它的图象与坐标轴围成的三角形面积是．【分析】求得函数与坐标轴的交点，然后根据三角形的面积公式即可求得三角形的面积．
【解答】解：一次函数的关系式是y＝2x+1，
当x＝0 时，y＝1；
当y＝0 时，x＝﹣，它的图象与坐标轴围成的三角形面积
是：×1×|﹣|＝．故答案是：．
【点评】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征．求线段的长的问题一般是转化为求点的坐标的问题解决．
15．（3 分）若＝，则＝．
【分析】对已知式子分析可知，原式可根据比例合比性质可直接得出比例式的值．【解答】解：根据＝得3a＝5b，则＝
．故答案为：．
【点评】主要考查了灵活利用比例的合比性质的能力．
16．（3 分）若A（x1，y1），B（x2，y2）是双曲线y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，则y1＜y2（选填“＞”“＝”“＜”）．
【分析】先根据函数解析式判断出函数图象所在的象限，再根据函数的增减性即可得出结论．
【解答】解：∵双曲线y＝﹣中k＝﹣3＜0，
∴函数图象的两个分支分别位于二四象限，在每一象限内，y 随x 的增大而增大，∵x1＜x2＜0，
∴A（x1，y1），B（x2，y2）位于第二象限，
∴y1＜y2．故
答案为：＜．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的
坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．
17．（3 分）菱形的两条对角线长分别为6 和8，则这个菱形的周长为 20 ．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分的性质，利用对角线的一半，根据勾股定理求出菱形的边长，再根据菱形的四条边相等求出周长即可．
【解答】解：如图所示，
根据题意得AO＝×8＝4，BO＝×6＝3，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，
∴△AOB 是直角三角形，
∴AB＝＝＝5，
∴此菱形的周长为：5×4＝
20．故答案为：20．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，利用勾股定理求出菱形的边长是解题的关键，同学们也要熟练掌握菱形的性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
18．（3 分）等腰梯形ABCD 中，E、F、G、H 分别是各边的中点，则四边形EFGH 的形状是菱形．
【分析】等腰梯形的对角线相等，所以可得四边形EFGH 四条边相等，根据四边相等的四边形为菱形，即可判断出四边形EFGH 的形状．
【解答】解；如图所示，
∵E，F，G，H 分别为各边中点，
∴HG∥DB，HG＝DB，EF∥DB，EF＝DB，
∴四边形EFGH 为平行四边形，
又AC＝BD，
∴EF＝EH＝HG＝GF，
∴四边形EFGH 为菱形．
故答案为：菱形．
【点评】本题考查了等腰梯形的性质，三角形中位线定理和菱形的判定定理的理解及运用，属于基础题．
19．（3 分）如图，函数y＝ax﹣1 的图象过点（1，2），则不等式ax﹣1＞2 的解集是 x＞
1 ．
【分析】根据已知图象过点（1，2），根据图象的性质即可得出y＝ax﹣1＞2 的x 的范围是x＞1，即可得出答案．
【解答】解：方法一∵把（1，2）代入y＝ax﹣1 得：2＝a﹣1，
解得：a＝3，
∴y＝3x﹣1＞2，
解得：x＞1，
方法二：根据图象可知：y＝ax﹣1＞2 的x 的范围是x＞1，
即不等式ax﹣1＞2 的解集是x＞1，
故答案为：x＞1．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的应用，主要考查学生的观察图形的能力和理解能力，能把一次函数与一元一次不等式结合起来是解此题的关键．
20．（3 分）如图，菱形ABCD 中，AB＝4，∠A＝120°，点M、N、P 分别为线段AB、AD、BD 上的任意一点，则PM+PN 的最小值为 2 ．
【分析】当PM⊥AB，PN⊥AD 时，PM+PN 的值最小，最小值＝AD 边上的高．
【解答】解：连接AC，过点A 作AE⊥BC 于点E，
∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB＝AD，
当PM⊥AB，PN⊥AD 时，
PM+PN 的值最小，最小值＝AD 边上的高，设这个高为AE，
•AB•PM+ •AD•PN＝AD•AE，
PM+PN＝AE，
∵菱形ABCD 中，AB＝4，∠A＝120°，
∴∠ABC＝60°，AB＝BC＝4，
∴△ABC 是等边三角形，
∴BE＝EC＝2，
∴AE＝＝2
．故答案为：2．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题及菱形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
三、解答题（本大题共7 小题，共40 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．21．（6 分）已知直线y＝kx+b 与x 轴交于点B（2，0），并经过点A（﹣1，3），求出直线表示的一次函数的解析式．
【分析】把点A、B 的坐标分别代入一次函数解析式，列出关于k、b 的方程组，通过解
方程组可以求得它们的值．
【解答】解：根据题意得：，
解得．
则y＝﹣x+2．即一次函数的解析式为：y＝﹣x+2．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式．待定系数法求一次函数解析式一般步骤是：
（1）先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y＝kx+b；
（2）将自变量x 的值及与它对应的函数值y 的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；
（3）解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．
22．（6 分）如图，在平行四边形ABCD 中，E、F 分别在AD、BC 边上，且AE＝CF．求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）四边形BFDE 是平行四边形．
【分析】（1）由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，对角相等，即可证得∠A＝∠C，AB＝CD，又由AE＝CF，利用SAS，即可判定△ABE≌△CDF；
（2）由四边形ABCD 是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AD∥ BC，AD＝BC，又由AE＝CF，即可证得DE＝BF，然后根据对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可证得四边形BFDE 是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴∠A＝∠C，AB＝CD，
在△ABE 和△CDF 中，
∵ ，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵AE＝CF，
∴AD﹣AE＝BC﹣CF，
即DE＝BF，
∴四边形BFDE 是平行四边形．
【点评】此题考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定．此题难度不大，注意数形结合思想的应用，注意熟练掌握定理的应用．
23．（6 分）如图，一次函数y＝kx+b 与反比例函数y＝的图象交于A（2，1），B（﹣1，n）两点．
（1）求m 的值；
（2）结合图象直接写出不等式的解集．
【分析】（1）把A 的坐标代入反比例函数的解析式即可求出m．
（2）根据A、B 的横坐标结合图象即可得出答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝的图象过点A（2，1），
∴代入得：m＝2×1＝2．
（2）∵A（2，1），B（﹣1，n），
观察图象可知，当﹣1＜x＜0 或x＞2 时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，∴不等式的解集是﹣1＜x＜0 或x＞2．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式，函数的图象的应用，主要考查学生的计算能力和观察图象的能力，用了数形结合思想．
24．（5 分）如图，矩形ABCD 中，O 是AC 与BD 的交点，过O 点的直线EF 与AB，CD 的延长线分别交于E，F．
（1）求证：△BOE≌△DOF；
（2）当EF 与AC 满足什么关系时，以A，E，C，F 为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．
【分析】（1）由矩形的性质：OB＝OD，AE∥CF 证得△BOE≌△DOF；
（2）若四边形EBFD 是菱形，则对角线互相垂直，因而可添加条件：EF⊥AC，
当EF⊥AC 时，∠EOA＝∠FOC＝90°，
∵AE∥FC，
∴∠EAO＝∠FCO，矩形对角线的交点为O，
∴OA＝OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE＝OF，根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
∴四边形EBFD 是菱形．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OB＝OD（矩形的对角线互相平分），
AE∥CF（矩形的对边平行）．
∴∠E＝∠F，∠OBE＝∠ODF．
∴△BOE≌△DOF（AAS）．
（2）解：当EF⊥AC 时，四边形AECF 是菱形．
证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴OA＝OC（矩形的对角线互相平分）．又∵
由（1）△BOE≌△DOF 得，OE＝OF，
∴四边形AECF 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
又∵EF⊥AC，
∴四边形AECF 是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．
【点评】本题利用了：1、矩形的性质，2、全等三角形的判定和性质，3、菱形的判定．
25．（5 分）已知：在平面直角坐标系中，点A（1，0），点B（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且OB＝2OC．
（1）试确定直线BC 的解析式；
（2）在平面内确定点M，使得以点M、A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标．
【分析】（1）易求B（4，0），C（0，2）．把它们的坐标分别代入直线BC 的解析式y＝kx+b（k≠0），列出关于k、b 的方程组，通过解该方程组即可求得它们的值；
（2）需要分类讨论：以AB 为边的平行四边形和以AB 为对角线的平行四边形．
【解答】解：（1）∵B（4，0），∴OB＝4，
又∵OB＝2OC，C 在y 轴正半轴上，
∴C（0，2）．
设直线BC 的解析式为y＝kx+b（k≠0）．
∵过点B（4，0），C（0，2），
∴，
解得，
∴直线BC 的解析式为y＝﹣x+2．
（2）如图，①当BC 为对角线时，易求M1（3，2）；
②当AC 为对角线时，CM∥AB，且CM＝AB．所以M2（﹣3，2）；
③当AB 为对角线时，AC∥BM，且AC＝BM．则|M y|＝OC＝2，|M x|＝OB+OA＝5，所
以M3（5，﹣2）．
综上所述，符合条件的点M 的坐标是M1（3，2），M2（﹣3，2），M3（5，﹣2）．
【点评】本题考查了一次函数综合题．期中涉及到了待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形的性质，平行四边形的判定与性质．解题时，注意分类讨论，以防错解或漏解．
26．（6 分）如图，现有一张边长为4 的正方形纸片ABCD，点P 为AD 边上的一点（不与点A、点D 重合），将正方形纸片折叠，使点B 落在P 处，点C 落在G 处，PG 交DC 于H，折痕为EF，联结BP、BH．
（1）求证：∠APB＝∠BPH；
（2）求证：AP+HC＝PH；
（3）当AP＝1 时，求PH 的长．
【分析】（1）根据翻折变换的性质得出∠PBC＝∠BPH，进而利用平行线的性质得出∠APB＝∠PBC 即可得出答案；
（2）首先证明△ABP≌△QBP，进而得出△BCH≌△BQH，即可得出AP+HC＝PH；
（3）设QH＝HC＝x，则DH＝4﹣x．在Rt△PDH 中，根据勾股定理列出关于x 的方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵PE＝BE，
∴∠EPB＝∠EBP，又
∵∠EPH＝∠EBC＝90°，
∴∠EPH ﹣∠EPB ＝∠EBC ﹣∠EBP ． 即∠BPH ＝∠PBC ． 又∵
四边形 ABCD 为正方形
∴AD ∥BC ，
∴∠APB ＝∠PBC ．
∴∠APB ＝∠BPH ．
（2）证明：过 B 作 BQ ⊥PH ，垂足为 Q ，
由（1）知，∠APB ＝∠BPH ，
在△ABP 与△QBP 中，
，
∴△ABP ≌△QBP （AAS ），
∴AP ＝QP ，BA ＝
BQ ． 又∵AB ＝BC ，
∴BC ＝BQ ． 又∵∠C ＝
∠BQH ＝90°，
∴△BCH 和△BQH 是直角三角形，
在 Rt △BCH 与 Rt △BQH 中，
∴Rt △BCH ≌Rt △BQH （HL ），
∴CH ＝QH ，
∴AP +HC ＝PH ．
（3）解：由（2）知，AP ＝PQ ＝1，
∴PD ＝3．
设 QH ＝HC ＝x ，则 DH ＝4﹣x ．
在 Rt △PDH 中，PD 2+DH 2＝PH 2，
即 32+（4﹣x ）2＝（x +1）
2，
解得x＝2.4，
∴PH＝3.4．
【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及全等三角形的判定与性质和勾股定理等知识，熟练利用全等三角形的判定得出对应相等关系是解题关键．
27．（6 分）如图，在△ABC 中，AC＞AB，D 点在AC 上，AB＝CD，E、F 分别是BC、AD 的中点，连接EF 并延长，与BA 的延长线交于点G，若∠EFC＝60°，联结GD，判断△AGD 的形状并证明．
【分析】连接BD，取BD 的中点H，连接HF、HE，利用中位线的性质及等腰三角形的性质，在△AFG 中找到各角之间的关系，继而可得△AGF 是等边三角形，推出∠AGD＝90°即可得出结论．
【解答】解：判断：△AGD 是直角三角形．证明：
连接BD，取BD 的中点H，连接HF、HE，
∵F 是AD 的中点，
∴HF∥AB，HF＝AB，
∴∠1＝∠3，
同理，HE∥CD，HE＝CD，
∴∠2＝∠EFC，
∵AB＝CD，
∴HF＝HE，
∴∠1＝∠2，
∴∠3＝∠EFC，
∵∠EFC＝60°，
∴∠3＝∠EFC＝∠AFG＝60°，
∴△AGF 是等边三角形，
∴AF＝FG，
∵AF＝FD，
∴GF＝FD，
∴∠FGD＝∠FDG＝30°，
∴∠AGD＝90°，即
△AGD 是直角三角形．
【点评】本题考查了三角形的中位线定理及等边三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出辅助线，利用三角形的中位线定理及平行线的性质建立各角之间的关系．。