山东省泰安市2021年中考数学试卷(word版+答案+解析)

山东省泰安市2021年中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题选对得4分.）（共12题；共48分）
1.下列各数：﹣4，﹣
2.8，0，|﹣4|，其中比﹣3小的数是（）
A. ﹣4
B. |﹣4|
C. 0
D. ﹣2.8
2.下列运算正确的是（）
A. 2x2+3x3＝5x5
B. （﹣2x）3＝﹣6x3
C. （x+y）2＝x2+y2
D. （3x+2）（2﹣3x）＝4﹣9x2
3.如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图是（）
A. B. C. D.
4.如图，直线m∥n，三角尺的直角顶点在直线m上，且三角尺的直角被直线m平分，若∠1＝60°，则下列结论错误的是（）
A. ∠2＝75°
B. ∠3＝45°
C. ∠4＝105°
D. ∠5＝130°
5.为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求，了解学生的睡眠状况，调查了一个班50名学生每天的睡眠时间，绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示，则所调查学生睡眠时间的众数，中位数分别为（）
A. 7h，7h
B. 8h，7.5h
C. 7h，7.5h
D. 8h，8h
6.如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（）
A. 50°
B. 48°
C. 45°
D. 36°
7.已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）
A. k＞﹣1
4B. k＜1
4
C. k＞﹣1
4
且k≠0 D. k＜1
4
且k≠0
8.将抛物线y＝﹣x2﹣2x+3的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线必定经过（）
A. （﹣2，2）
B. （﹣1，1）
C. （0，6）
D. （1，﹣3）
9.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（）
A. 2 √3﹣2
B. 3﹣√3
C. 4﹣√3
D. 2
10.如图，在平行四边形ABCD中，E是BD的中点，则下列四个结论：
①AM＝CN；②若MD＝AM，∠A＝90°，则BM＝CM；③若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE；④若AB＝MN，则△MFN与△DFC全等．
其中正确结论的个数为（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
11.如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A、B、C、D、E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1：2.4．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为（参考数据：√3≈1.732）（）
A. 136.6米
B. 86.7米
C. 186.7米
D. 86.6米
12.如图，在矩形ABCD中，AB＝5，BC＝5 √3，点P在线段BC上运动（含B、C两点），连接AP，以点A为中心，将线段AP逆时针旋转60°到AQ，连接DQ，则线段DQ的最小值为（）
A. 5
2B. 5√2 C. 5√3
3
D. 3
二、填空题（本大题共6小题，满分18分。

）（共6题；共18分）
13.2021年5月15日7时18分，天问一号着陆巡视器成功着陆于火星，我国首次火星探测任务着陆火星取得圆满成功．探测器距离地球约3.2亿千米．数据3.2亿千米用科学记数法可以表示为________千米．
14.《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？”其大意是：“今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其一半的钱给甲，则甲的钱数为50；而甲把其2
3
的钱给乙，则乙的钱数也为50．问甲、乙各有多少钱？”设甲的钱数为x，乙的钱数为y，根据题意，可列方程组为________．
15.如图是抛物线y＝ax2+bx+c的部分图象，图象过点（3，0），对称轴为直线x＝1，有下列四个结论：
①abc＞0；②a﹣b+c＝0；③y的最大值为3；④方程ax2+bx+c+1＝0有实数根．其中正确的为________（将所有正确结论的序号都填入）．
16.若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为________．
17.如图，将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝2，则AD的长为________．
x上，点B1的横坐标为2，过点B1作B1A1⊥l，交x轴于点A1，以18.如图，点B1在直线l：y＝1
2
A1B1为边，向右作正方形A1B1B2C1，延长B2C1交x轴于点A2；以A2B2为边，向右作正方形A2B2B3C2，延长B3C2交x轴于点A3；以A3B3为边，向右作正方形A3B3B4C3，延长B4C3交x轴于点A4；…；照这个规律进行下去，则第n个正方形A n B n B n+1∁n的边长为________（结果用含正整数n的代数式表示）．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分.）（共7题；共78分）
19.
（1）先化简，再求值：(3a−1
a+1−a+1)÷a2−6a+9
a+1
，其中a＝√3+3；
（2）解不等式：1﹣7x−1
8>3x−2
4
．
20.为庆祝中国共产党成立100周年，落实教育部《关于在中小学组织开展“从小学党史，永远跟党走”主题教育活动的通知》要求，某学校举行党史知识竞赛，随机调查了部分学生的竞赛成绩，绘制成两幅不完整的统计图表．根据统计图表提供的信息，解答下列问题：
竞赛成绩统计表（成绩满分100分）
（1）本次共调查了________名学生；C组所在扇形的圆心角为________度；
（2）该校共有学生1600人，若90分以上为优秀，估计该校优秀学生人数为多少？
（3）若E组14名学生中有4人满分，设这4名学生为E1，E2，E3，E4，从其中抽取2名学生代表学校参加上一级比赛，请用列表或画树状图的方法求恰好抽到E1，E2的概率．
21.如图，点P为函数y＝1
2x+1与函数y＝m
x
（x＞0）图象的交点，点P的纵坐标为4，PB⊥x轴，垂足
为点B．
（1）求m的值；
（2）点M是函数y＝m
x （x＞0）图象上一动点，过点M作MD⊥BP于点D，若tan∠PMD＝1
2
，求
点M的坐标．
22.接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径，针对疫苗急需问题，某制药厂紧急批量生产，计划每天生产疫苗16万剂，但受某些因素影响，有10名工人不能按时到厂．为了应对疫情，回厂的工人加班生产，由原来每天工作8小时增加到10小时，每人每小时完成的工作量不变，这样每天只能生产疫苗15万剂．（1）求该厂当前参加生产的工人有多少人？
（2）生产4天后，未到的工人同时到岗加入生产，每天生产时间仍为10小时．若上级分配给该厂共760万剂的生产任务，问该厂共需要多少天才能完成任务？
23.四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．
（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；
（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△DGF是等腰直角三角形．
24.二次函数y＝ax2+bx+4（a≠0）的图象经过点A（﹣4，0），B（1，0），与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上一点，连接BP、AC，交于点Q，过点P作PD⊥x轴于点D．
（1）求二次函数的表达式；
（2）连接BC，当∠DPB＝2∠BCO时，求直线BP的表达式；
（3）请判断：PQ
QB
是否有最大值，如有请求出有最大值时点P的坐标，如没有请说明理由．
25.如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且BD
⌢=CD⌢．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．
答案解析部分
一、选择题（本大题共12小题，每小题选对得4分.）
1.【答案】A
【考点】有理数大小比较
【解析】【解答】解：-4＜-3
故答案为：A.
【分析】根据有理数大小的比较，找出比-3小的数。

2.【答案】D
【考点】完全平方公式及运用，平方差公式及应用，合并同类项法则及应用，积的乘方
【解析】【解答】解：A.2x2+3x3=2x2+3x3，运算错误；
B.（-2x）3=-8x3，运算错误；
C.（x+y）2=x2+y2+2xy，运算错误；
D.（3x+2）（2-3x）=4-9x2，运算正确。

故答案为：D.
【分析】根据合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式以及平方差公式的性质，分别运算，判断得到答案即可。

3.【答案】B
【考点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：由俯视图几何体中小正方体的个数，即可得到左视图中为图B
故答案为：B.
【分析】根据左视图以及俯视图的含义，判断得到答案即可。

4.【答案】D
【考点】三角形的外角性质，角平分线的性质，对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵m为三角尺直角的平分线，m∥n
∴∠2=180°-∠1-∠45°=180°-60°-45°=75°，结论正确；
∴∠3=∠2-30°=75°-30°=45°，结论正确；
∴∠4=180°-∠2=180°-75°=105°，结论正确；
∴∠5=180°-∠3=180°-45°=135°，结论错误。

故答案为：D.
【分析】根据角平分线、对顶角、平行线、三角形的外角的性质，计算得到答案，分别判断即可。

5.【答案】C
【考点】中位数，众数
【解析】【解答】解：根据题意可得，睡眠时间为7小时的人数最多
∴众数为7h
∴中位数为（7+8）÷2=7.5h
故答案为：C.
【分析】根据频数分布直方图，由众数以及中位数的含义，计算得到答案即可。

6.【答案】B
【考点】等边三角形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，切线的性质，直角三角形斜边上的中线【解析】【解答】解：
如图所示，连接DG和AD
∵BC为圆的切线
∴AD⊥BC
∵AD=AE，∠CDE=18°，∠ADC=90°
∴∠ADE=∠AED=90°-18°=72°
∴∠DAC=180°-72°-72°=36°
∵AB=6，AG=3
∴G为AB的中点
∴GD为直角三角形ABD斜边AB上的中线
∴GD=AG=AD
∴△AGD为等边三角形
∴∠GAD=60°
∴∠GAC=60°+36°=96°
∴∠GFE=96°÷2=48°
故答案为：B.
【分析】根据题意，由切线的性质结合圆的半径相等，计算得到∠DAC的度数，继而由直角三角形斜边上的中线的性质，证明△AGD为等边三角形，由等边三角形的性质求出∠GAD，最后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得到∠GFE的度数。

7.【答案】C
【考点】一元二次方程的定义及相关的量，一元二次方程的求根公式及应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，（2k-1）2-4×k×（k-2）＞0，k≠0
4k2+1-4k-4k（k-2）＞0
4k2+1-4k-4k2+8k＞0
4k+1＞0
4k ＞-1
k ＞-14
∴k ＞-14且k≠0
故答案为：C.
【分析】根据一元二次方程的含义、一元二次方程根的判别式，计算得到k 的取值范围。

8.【答案】 B
【考点】平移的性质，二次函数y=a （x-h ）^2+k 的性质
【解析】【解答】解：y=-x 2-2x+3
=-（x 2+2x+1）+4
=-（x+1）2+4
将抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位即可得到
y=-x 2+2
∴当x=-2时，y=-2；当x=-1时，y=1；当x=0时，y=2；当x=1时，y=1
故答案为：B.
【分析】根据题意，将抛物线的解析式化为顶点式，根据平移的性质得到平移后的抛物线，根据抛物线判断经过的点。

9.【答案】 C
【考点】圆内接四边形的性质，直角三角形的性质 【解析】【解答】解：
延长BC 和AD 交于点E
∵四边形ABCD 为圆的内接四边形，∠B=∠D=90°，∠BCD=120°
∴∠A=60°
∴∠E=90°-60°=30°
∴AE=2AB=4
在直角三角形CDE 中，tan ∠E=tan30°=√33=CD DE =1DE ∴DE=√3
∴AD=AE-DE=4-√3
故答案为：C.
【分析】根据题意，由圆内接四边形的性质，结合直角三角形的性质，计算得到AD 即可。

10.【答案】 D
【考点】三角形的面积，三角形全等及其性质，三角形全等的判定，平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 为平行四边形，E 为BD 的中点
∴△BEN ≌△DEM
∴BN=MD
∵AD=BC
∴AM=CN ，即①正确；
∵∠A=90°，
∴平行四边形ABCD 为矩形
∵M 为AD 的中点
∴AB=CD ，∠A=∠MDC=90°，AM=MD
∴△BAM ≌△CDM
∴BM=CM ，即②正确；
根据题意，S △MNC=12NC×h ，S △BNE=12BN×12h
∵MD=2AM
∴BN=2NC
∴S △MNC=S △BNE ，即③正确；
∵AB=MN
∴CD=MN
∴梯形NCMD 为等腰梯形
∴NC=CN ，MN=CD ，∠MNC=∠DCM
∴△MNC ≌△DCN
∴∠NMC=∠NDC
∵MN=DC ，∠MFN=∠DFC
∴△MFN ≌△DFC ，即④正确
故答案为：D.
【分析】根据平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式，分别判断每个答案即可。

11.【答案】 A
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：
过点D作DH⊥AB，延长DE交BC于点F
在直角三角形ADH中，∵AD=130，DH：AH=1:2.4
∴DH=50
∵四边形DHBF为矩形
∴BF=DH=50
在直角三角形EFB中，tan45°=BF
EF
∴EF=BF
tan45°
，在直角三角形EFC中，FC=EF×tan60°
∴CF=50
tan45°
×√3=50√3
∴BC=BF+CF=50+50√3=50+86.6=136.6
故答案为：A.
【分析】根据题意，由直角三角形的性质、矩形的性质，结合特殊角的锐角三角函数，计算得到答案即可。

12.【答案】A
【考点】勾股定理，矩形的性质
【解析】【解答】解：
连接PQ
∵AB=5，BC=5√3
∴在直角三角形ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=30°
∴DQ最短，则DQ+PQ为四边形ABCD的角平分线
∴DQ=1
2√52+（5√3）2=5
2
故答案为：A.
【分析】根据题意，结合勾股定理，计算得到DQ的值即可。

二、填空题（本大题共6小题，满分18分。

）
13.【答案】 3.2×108
【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】解：3.2亿千米=320000000千米
∴320000000千米=3.2×108
【分析】根据题意，由科学记数法的含义，表示得到数字即可。

14.【答案】 {x +12y =5023
x +y =50 【考点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【解答】解：根据题意可得，{x +12y =5023
x +y =50) 【分析】根据题目中的等量关系，列出方程组即可。

15.【答案】 ②④
【考点】二次函数y=ax^2+bx+c 的图象，二次函数y=ax^2+bx+c 的性质
【解析】【解答】解：根据图象可得，a ＜0，c ＞0
∵对称轴x=-b 2a =1
∴b=-2a ＞0
∴abc ＜0，①错误；
∵对称轴为x=1，抛物线的一个根为3
∴另外一个根为-1
将x=-1带入抛物线可得
y=a-b+c=0，即②正确；
由图象，无法判断y 的最大值，即③错误；
∵ax 2+bx+c+1=0
∴ax 2+bx+c=-1
根据图象可得，抛物线与y=-1有两个不相等的实数根，即④正确。

【分析】根据题意，由二次函数的解析式和性质，判断得到答案即可。

16.【答案】 4
【考点】几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：阴影部分面积=12×4×4+π×22×12-2（12×2×2+π×22×14）
=8+2π-4-2π
=4
【分析】根据题意，由三角形的面积以及圆的面积，利用作差法计算得到答案即可。

17.【答案】 4+2 √2
【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可得，EB=EB ' ， ∠B=∠AB 'E=∠EB 'D=90°
∴Rt △EBF ≌Rt △EB 'D
∴BF=DB '
∵四边形ABCD 为矩形
∴∠C=∠CDB '=∠EB 'D=90°
∴四边形ECDB '为矩形
∴DB '=EC=2
∴BF=EC=2
由折叠的性质可得，BF=FG=2，∠FAG=45°
∠AGF=∠B=∠AGF=90°
∴AG=GF=2
∴AF=2√2
∴AB=AB '=2+2√2
∴AD=AB '+DB '=4+2√2
【分析】根据题意，由全等三角形的判定证明Rt △EBF ≌Rt △EB 'D ，继而由全等三角形的性质，证明得到答案即可。

18.【答案】 √52 ×( 32 )n ﹣1 【考点】探索数与式的规律，探索图形规律
【解析】【解答】解：
设y=12x 与x 轴的夹角为a ，过点B 1作B 1H ⊥x 轴于点H ∵点B 1的横坐标为2，点B 1在直线l 上，令x=2得y=1
OB 1=√OH 2+B 1H 2=√5
∴tana=B 1H OH =1
2
在直角三角形A 1B 1O 中，AB=OB 1×tana=√52 ， 即第一个正方形边长为√52
同理第2个正方形的边长为√52×32 ， 第3个正方形的边长为√52×（32）2 ， 第4个正方形的边长为√52
×（3
2）3
∴规律为第n 个正方形边长为√52×（3
2）n-1
【分析】根据一次函数上点的特征，根据直角三角形的性质，探究规律，求出答案即可。

三、解答题（本大题共7小题，满分78分.）
19.【答案】（1）解：原式＝[ 3a−1
a+1−(a−1)(a+1)
a+1
] ·a+1
(a−3)2
＝3a−1−a 2+1
a+1·a+1 (a−3)2
＝﹣a
a−3
，
当a＝√3+3时，原式＝﹣√3+3
√3+3−3=√3+3
√3
=−1−√3
（2）解：去分母，得：8﹣（7x﹣1）＞2（3x﹣2），
去括号，得：8﹣7x+1＞6x﹣4，
移项，得：﹣7x﹣6x＞﹣4﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣13x＞﹣13，
系数化1，得：x＜1
【考点】解一元一次不等式，利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】（1）根据题意，由完全平方公式以及平方差公式的性质，将整式化简得到答案即可；（2）根据不等式的基本性质，解出不等式的解即可。

20.【答案】（1）50；72
（2）解：B组的人数为50×12%＝16（人），
则D组的人数为50﹣4﹣6﹣1﹣14＝16（人），
则优秀的人数为1600× 16+14
50
＝960（人）
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到E1，E2的结果数为2，
所以恰好抽到E1，E2的概率＝2
12＝1
6
．
【考点】用样本估计总体，扇形统计图，列表法与树状图法，分析数据的集中趋势
【解析】【分析】（1）根据E组的人数以及比例，计算得到调查的总人数，继而根据总人数，求出C所在的圆心角度数即可；
（2）根据样本估算整体，得到答案即可；
（3）根据题意，画出树状图，继而根据概率公式，计算得到答案即可。

21.【答案】（1）解：∵点P为函数y＝1
2
x+1图象的点，点P的纵坐标为4，
∴4＝1
2
x+1，解得：x＝6，
∴点P（6，4），
∵点P为函数y＝1
2x+1与函数y＝m
x
（x＞0）图象的交点，
∴4＝m
6
，
∴m＝24
（2）解：设点M的坐标（x，y），
∵tan∠PMD＝1
2
，
∴PD
DM ＝1
2
，
①点M在点P右侧，如图，
∵点P（6，4），
∴PD＝4﹣y，DM＝x﹣6，
∴4−y
x−6＝1
2
，
∵xy＝m＝24，
∴y＝24
x
，
∴2（4﹣24
x
）＝x﹣6，解得：x＝6或8，∵点M在点P右侧，
∴x＝8，
∴y＝3，
∴点M的坐标为（8，3）；
②点M在点P左侧，
∵点P（6，4），
∴PD＝y﹣4，DM＝6﹣x，
∴y−4
6−x ＝1
2
，
∵xy＝m＝24，
∴y＝24
x
，
∴2（4﹣24
x
）＝x﹣6，解得：x＝6或8，
∵点M在点P左侧，
∴此种情况不存在；
∴点M的坐标为（8，3）．
【考点】反比例函数的图象，反比例函数的性质，反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据P为直线上的一点，点P的坐标，即可得到点P的坐标，进而求出m的值即可；
（2）设出点M的坐标，根据点M在P点的位置，结合锐角三角函数的定义，根据点P的坐标求出x和y的值，得到答案即可。

22.【答案】（1）解：设当前参加生产的工人有x人，由题意可得：
16
8(x+10)=15
10x
，
解得：x＝30，
经检验：x＝30是原分式方程的解，且符合题意，
∴当前参加生产的工人有30人
（2）解：每人每小时完成的数量为：16÷8÷40＝0.05（万剂），设还需要生产y天才能完成任务，由题意可得：
4×15+（30+10）×10×0.05y＝760，
解得：y＝35，
35+4＝39（天），
∴该厂共需要39天才能完成任务
【考点】分式方程的实际应用，一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）根据题目中的等量关系，列出分式方程，解出方程的解即可；
（2）根据题意，列出方程，求出答案即可。

23.【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD 为矩形，
∴AB ∥CD,AB ＝CD,CB ⊥AE,
又∵AC ＝EC,
∴AB ＝BE,
∴BE ＝CD,BE ∥CD,
∴四边形BECD 为平行四边形
（2）证明：∵AB ＝AD,
∴矩形ABCD 是正方形，
∵EG ⊥AC,
∴∠E ＝∠GAE ＝45°,
∴GE ＝GA,
又∵AF ＝BE,
∴AB ＝FE,
∴FE ＝AD,
在△EGF 和△AGD 中，
{GE =GA
∠E =∠DAC =45∘EF =AD
,
∴△EGF ≌△AGD(SAS),
∴GF ＝GD,∠DGA ＝∠FGE,
∠DGF ＝∠DGA+∠AGF ＝∠EGF+∠AGF ＝∠AGE ＝90°,
∴△DGF 是等腰直角三角形
【考点】三角形全等及其性质，三角形全等的判定，平行四边形的判定与性质，矩形的性质
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，证明四边形BECD 为平行四边形；
（2）根据题意，由正方形的判定和性质，证明△EGF ≌△AGD ，继而由全等三角形的性质证明△DGF 为等腰直角三角形即可。

24.【答案】 （1）解：∵二次函数y ＝ax 2+bx+4（a≠0）的图象经过点A （﹣4，0），B （1，0），
∴ {a ·(−4)2+b ·(−4)+4=0a +b +4=0
， 解得： {a =−1b =−3
， ∴该二次函数的表达式为y ＝﹣x 2﹣3x+4
（2）解：如图，设BP 与y 轴交于点E ，
∵PD ∥y 轴，
∴∠DPB ＝∠OEB ，
∵∠DPB ＝2∠BCO ，
∴∠OEB ＝2∠BCO ，
∴∠ECB ＝∠EBC ，
∴BE ＝CE ，
设OE ＝a ，则CE ＝4﹣a ，
∴BE ＝4﹣a ，
在Rt △BOE 中，由勾股定理得：BE 2＝OE 2+OB 2
，
∴(4﹣a)2＝a 2+12 ，
解得：a ＝ 158 ，
∴E(0， 158 )，
设BE 所在直线表达式为y ＝kx+e(k≠0)，
∴ {k ·0+e =158k ·1+e =0 ，
解得： {k =−158
e =158
，
∴直线BP 的表达式为y ＝﹣ 158 x+ 158
（3）解： PQ QB 有最大值．
如图，设PD 与AC 交于点N ，
过点B 作y 轴的平行线与AC 相交于点M ，
设直线AC 表达式为y ＝mx+n ，
∵A(﹣4，0)，C(0，4)，
∴ {m ·(−4)+n =0
m ·0+n =4 ，
解得： {m =1n =4 ，
∴直线AC表达式为y＝x+4，∴M点的坐标为（1，5），∴BM＝5，
∵BM∥PN，
∴△PNQ∽△BMQ，
∴PQ
QB ＝PN
BM
＝PN
5
，
设P(a0，﹣a02﹣3a0+4)(﹣4＜a0＜0)，则N(a0，a0+4)，
∴PQ
QB ＝−a02−3a0+4−(a0+4)
5
＝−a02−4a0
5
＝−(a0+2)2+4
5
，
∴当a0＝﹣2时，PQ
QB
有最大值，
此时，点P的坐标为(﹣2，6)．
【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质，二次函数y=ax^2+bx+c的图象，二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据题意，利用待定系数法求出答案即可；
（2）利用勾股定理求出点E的坐标，继而用待定系数法求出答案即可；
（3）根据待定系数法求出AC的表达式，继而证明△PNQ∽△BMQ，根据相似三角形的性质，结合二次函数的性质求出答案即可。

25.【答案】（1）证明：如图1中，连接BC．
∵DC⌢=BD⌢,
∴∠DCB＝∠DBC,
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°,
∴∠E+∠DBC＝90°,∠ECD+∠DCB＝90°,
∴∠E＝∠DCE,
∴DE＝DC．
（2）解：如图2中，
∵CF＝CH,
∴∠CFH＝∠CHF, ∵∠AFO＝∠CFH, ∵BD⌢=CD⌢, ∴∠CAD＝∠BAD, ∴△AFO∽△AHC,
∴AF
AH ＝OF
CH
,
∴CF•AF＝OF•AH．
②解：如图3中，连接CD交BC于G.设OG＝x,则DG＝2﹣x．
∵CD⌢=BD⌢,
∴∠COD＝∠BOD,
∵OC＝OB,
∴OD⊥BC,CG＝BG,
在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣(2﹣x)2,
∴x＝7
4,即OG＝7
4
,
∵OA＝OB,
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG＝1
2
AC,
∴AC＝7
2
．
【考点】勾股定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）连接BC，根据圆周角定理，结合题意证明∠E=∠DCE即可；（2）①根据题意，证明△AFO∽△AHC，得到答案即可；
②设OG为x，继而利用勾股定理构建方程，求出答案即可。