搞懂极点和零点

搞懂极点和零点
在我的学术⽣涯中，我注意到系统理论是最难教和最难学的课程之⼀。

这些极点和零点概念在课堂上都感觉很有意思，但是⼀旦学⽣想将它们与实验室中的物理电路联系起来，理论和实践之间就会出现鸿沟。

在这篇⽂章中，我将尝试找出关于极点和零点的物理感觉，使⽤运算放⼤器来控制它们在复平⾯中的位置，并利⽤电路的⾃然响应来说明极点/零点位置的影响。

单端⼝电路的⾃然响应
我们来看图1中的⽆源线性单端⼝电路，它包括电阻、电容和电感。

精品翡翠源头直供，⼀件也是批发价，⽀持鉴定
⼴告
图1：（a）⽆源单端⼝电路（b）⾃然（或⽆源）开路响应vn(t)。

如果我们施加⼀个测试电流I(s)，单端⼝电路将产⽣电压V(s)，使得V(s)=Z(s)/(s)，其中I(s)和V(s)是所施加电流和所产⽣电压的拉普拉斯变换，s是以sec-1为单位的复数频率。

阻抗Z(s)是s的有理函数形式，即分⼦多项式N(s)与分母多项式D(s)的⽐值：
展开剩余91%
公式N(s)=0的根被称为Z(s)的零点，表⽰为z1，z2，……；⽽公式D(s)=0的根被称为Z(s)的极点，表⽰为p1、p2、……。

极点和零点统称为根，也称为临界频率。

例如，阻抗：
当s=0时，其值为零；当s=-3±j4时，它具有复共轭极点对。

可以⽤根来表达它，即：
如果我们绘制|Z(s)|相对于s的幅度曲线，则可以直观理解零点和极点的含义。

所得到的曲线就好像在s平⾯上竖起的帐篷，在零点处接触s平⾯，⽽在极点处其⾼度变为⽆限。

图2：Z(s)=(10Ω)s/(s2+6s+25)的幅度图。

（通过在虚轴上计算|Z|获得的分布曲线图显⽰出单端⼝电路的交流响应。

）
为了找到极点的物理感觉，我们在s接近极点pk时施加电流I(s)，就可以⽤相当⼩的I(s)获得给定的电压V(s)。

s越接近极点pk，获得给定电压V(s)所需的电流I(s)越⼩。

在s→pk的极限状态下，即使电流为零，即开路，单端⼝电路也会获得⼀个⾮零的供电电压（见图1b）！这个电压称为⾃然响应或⽆源响应，因为单端⼝电路可利⽤储存在其电容和电感内部的能量来产⽣电压。

这些能量在电阻中消耗尽了，在⽆源单端⼝的情况下，它们将随时间呈指数级衰减。

实际上，系统理论预测到⾃然响应符合以下表达式：
其中a1，a2，......，是取决于存储能量的合适系数（以V为单位），Z(s)的极点是指数中时间常数的倒数。

那么Z(s)的零点呢？我们来看图3，它表⽰图1的两种情况。

现在施加的信号是电压V(s)，⽽响应是电流I(s)=[1/Z(s)]V(s)，这表明Z(s)的零点现在成为1/Z(s)的极点。

通过双重推理，在s→zk的极限状态下，即使施加零电压（短路），单端⼝电路也将提供⾮零电流（参见图3b）！该电流称为⾃然响应或⽆源响应，因为单端⼝电路利⽤储存在其电容和电感内部的能量来产⽣电流。

系统理论预测⾃然短路电流响应符合以下表达式：
其中b1，b2，......，是取决于存储能量的合适系数（以安培为单位），Z(s)的零点是指数中时间常数的倒数。

图3：（a）⽆源单端⼝电路（b）⾃然（或⽆源）短路响应in(t)。

总⽽⾔之，单端⼝电路的⾃然响应由其阻抗Z(s)的根控制：极点控制开路电压响应vn(t)，⽽零点控制短路电流响应in(t)。

在某种程度上，根就像是单端⼝电路的DNA。

例如，我们来看图4的单端⼝电路。

在t=0时，电容两端的电压为9V，顶部为正，t>0时它的⾃然响应是什么？可以看出单端⼝电路呈现的阻抗是：
显然，z1=–1/(R1C)=-1/(10ms)，p1=-1/[(R1+R2)C]=-1/(30ms)。

此外，a1=[20/(10+20)]9=6V且b1=9/10=0.9mA。

所以：
图4：找出（a）开路和（b）短路的⾃然响应。

单极点控制
在图5a的电路中，由vn表⽰的节点和地之间的阻抗为Z(s)=R||(1/sC)=R/(1+sRC)，因此在s=-
1/(RC)=-1/(1ms)时电路具有⼀个极点。

假设vn(0)=1V，我们可以得到：
图5：（a）基本电路（b）相同的电路，但可以控制极点。

⽆论怎样选择R和C的值，该电路的极点将始终为负。

我们希望找到控制它的⽅法，以便将其驱动为零甚⾄使其成为正的。

图5b⽰出的电路可以完成这项⼯作。

⾮反相放⼤器检测vn并输出电压：
(1 + R2/R1)vn = (1 + k)vn
k = R2/R1
其中R2代表电位器在其左端和游标之间的部分。

对于给定的元件值，从左端到右端改变游标将使k在0<k<2的范围内变化。

现在，R3上的电压为(1+k)vn–vn，即kvn，在右边是正的，表明R3将为C提供电流kvn/R3。

鉴于R从C中汲取电流vn/R，因此从C流出的净电流为iC=vn[1/R+1/(-
R3/k)]，表明C视R与⼀个负电阻–R3/k并联，净等效电阻Req=R||(–R3/k)]。

扩展后可以得到：对于给定的元件值，我们有Req=(10kΩ)/(1–k)，因此极点位置现在为s=-1/(ReqC)=-(1–
k)/(1ms)，公式（4）变为：
我们讨论⼀下电路作为游标设置函数的⼯作原理，使⽤图6中的PSpice电路来显⽰随后的⾃然响应类型。

当游标⼀直向左（k=0）时，R3上的电压降为零，因此R3带有零电流，C通过R放电，时间常数为1ms，如公式（4）所⽰；
将游标向右移动时，R3将电流提供给C，只要该电流⼩于R汲取的电流，C仍然会呈指数放电，但速度⽐k=0时要慢；
当游标处于中间（k=1）时，R3输出的电流等于R汲取的电流，电容的净电流为零，因此电容电压保持恒定；
将游标进⼀步向右移动（k>1），使得源电流⼤于汲取电流，因此C呈指数充电，从⽽产⽣不同的响应，直到运放饱和。

图6：PSpice电路显⽰不同k值的⾃然响应，假设电容最初充电电压为1V。

图7描绘了随k变化的极点位置。

图7：极点轨迹是k的函数。

极点对控制
在图8a的电路中，⼲扰产⽣⾃然响应vn(t)的阻抗是:
D(s)的阶数表明我们现在有⼀个⼆阶系统。

对于这样的系统，D(s)通常以更⽅便的形式表达:
其中ζ称为阻尼⽐，ω0称为⽆阻尼固有频率。

设D(s)=0，可以得到极点对：
⽐较公式（8）和（9），我们发现图8a的电路具有：ζ=1.5和ω0=1/(RC)=1/(1ms)。

代⼊公式（10）得到极点对p1=-1/(0.3818ms)，p2=-1/(2.618ms)，表⽰vn(t)由⼀对指数衰减组成，因为电阻消耗了存储在电容中的电能。

为简单起见，假设图8a的RC对完全相同。

可以看出，⽆论我们怎样选择元件值，该电路的极点将始终为负实数。

图8：（a）基本电路（b）相同的电路，但可以控制极点。

我们希望可以找到⽅法来控制它们在复平⾯上的位置，以便将它们放置在虚轴上，甚⾄使它们溢出到复平⾯的右半部分。

图8b⽰出了可完成这项⼯作的电路。

其中最左边的电容被提升离地，由⼀个⾮反相放⼤器驱动，该放⼤器检测到vn并输出电压(1+R2/R1)vn=(1+k)vn，k如公式（5）所⽰。

对于给定的元件值，从左端到右端改变游标将使k在0<k<3的范围内变化。

这样做的⽬的是想通过改变k值，使运算放⼤器通过最左边电容注⼊的能量改变甚⾄超过电阻消耗的电能。

使⽤熟悉的电路分析技巧，我们发现⼲扰产⽣⾃然响应vn(t)的阻抗为：
表明2-k=2ζ，或：
ω0=1/(RC)=1/(1ms)。

我们来讨论电路随游标设置变化的⼯作原理，同样，使⽤图9a的PSpice 电路来显⽰随后的⾃然响应类型，如图9b所⽰。

随着游标⼀直向左滑动（k=0），可以得到ζ=1。

公式（10）得到重合的极点对p1=p2=-
1/(1ms)。

在这种情况下，系统理论预测该类型的⾃然响应为：
其中a和b是适合的系数，取决于t=0时存储在电容中的能量。

如图9b所⽰，在初始浪涌之后，⾃然响应呈指数衰减⾄趋于零。

设k=2，得到ζ=0，所以公式（10）预测纯虚极点对p1,2=±j103，其中j是虚数单位(j2=-1)。

使⽤欧拉公式exp(jα)+exp(–jα)=2cosα，可以看出⾃然响应现在采⽤这种形式：
图9：PSpice电路显⽰对应于不同k值的⾃然响应，假设在t=0时，Ca充电到1V，Cb放电。

其中a和φ是适合的系数，取决于t=0时存储在电容中的能量。

其结果是持续振荡，也称为⽆阻尼振荡（因此称为ω0）。

物理上，运算放⼤器注⼊单端⼝电路的能量等于端⼝电阻消耗的能量，这让电容以某种乒乓⽅式交换能量。

●对于0<k<2，有1>ζ>0，所以现在公式（10）可以预测⼀对复共轭极点。

例如，当k=1.5时，
由公式（12）得到ζ=0.25，因此由公式（10）得到：
代⼊公式（2），合并，并再次使⽤欧拉公式，将得到⾃然响应公式：
其中a和φ是适合的系数，取决于t=0时存储在电容中的能量。

如图9b所⽰，对于k=1.5，电容仍然以乒乓⽅式开始交换能量，但是该能量逐渐被电阻消耗，从⽽产⽣阻尼振荡。

●将k提⾼到2以上，使运算放⼤器注⼊的能量超过端⼝电阻可以消耗的能量，引起发散振荡，如图9b中k=2.1所⽰。

振荡将持续增长到运算放⼤器饱和为⽌。

图10⽰出了随k变化的根轨迹。

总⽽⾔之，⽆源电路的极点位于复平⾯的左半部分。

为了使它们溢出到右半平⾯，我们需要⼀个有源元件，例如⽰例中的运算放⼤器，从⾃⼰的电源端获取能量并将其注⼊单端⼝电路。

右半平⾯的极点导致发散的响应，最终使放⼤器饱和。

?utm_source=weixin&utm_medium=social&utm_camp
图10：（a）作为k的函数的根轨迹（b）在阻尼响应状态下的极点对。

⼀个流⾏应⽤
我们的电路控制极点对位置的能⼒可⽤于产⽣持续的正弦波。

为此，它需要满⾜两个条件。

●为了可以⾃⼰启动，电路的初始配置必须使其极点对位于复平⾯的右半部分（k>2.0）。

图11：在虚轴上放置并保持⼀对极点，以产⽣正弦波。

即使两个电容最初都放电，运算放⼤器的⼀点噪声输⼊就⾜以触发不断增长的振荡。

●⼀旦振荡达到所需幅度，就必须采取⼀些机制进⾏⼲预，以防⽌其进⼀步增长，并将其保持在该幅度。

这需要将极点对放置在虚轴（k=2.0）上，并⾃动保持极点在其上，不管元件⽼化和漂移，或者任何其它⼲扰。

在图11a中，电源接通时，两个⼆极管仍然关闭，因此k=R2/R1=22/10=2.2，表明振荡增加。

随着振荡的增加，⼆极管在交替的半周期内逐渐导通，所以k=[R2||(R3+rd)]/R1，其中rd是动态⼆极管电阻（rd随⼆极管电流⽽减⼩）。

在rd<<R3的极限情况下，我们将得到k=
(22||100)/10=1.8，表⽰电路可在1.8<k<2.2的范围内调整k的值，这包括k=2.0时持续振荡达到所需幅度的情况。

假如由于某种原因实际幅度超过期望值，rd将减⼩并导致k降⾄2.0以下，从⽽抵消幅度上升。

相反，如果幅度降⾄所需值以下，rd将增加并使k上升到2.0以上，从⽽抵消幅度下降。

总之，只有k=2.0时电路才能找到它的“和平”状态。

“啊，这就是负反馈的魔⼒！”我的⼀名学⽣这样感慨，他毕业后去了卢卡斯电影公司⼯作。

- END -。