2019年中考数学专题复习卷 三角形(含解析)

三角形
一、选择题
1.在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】A
【解析】：∵在直角三角形中，勾为3，股为4，
∴弦为
故答案为：A．
【分析】根据在直角三角形中，勾是最短的直角边，股是长的直角边，弦是斜边，知道勾和股利用勾股定理，即可得出答案。

2.在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC=8，BD=10，那么BC的取值范围是（）
A.8<BC<10
B.2<BC<18
C.1<BC<8
D.1<BC<9
【答案】D
【解析】：如图
∵▱ABCD，AC=8，BD=10，
∴OB=BD=5，OC=AC=4
∴5-4＜BC＜5+4，即1＜BC＜9
故答案为：D
【分析】根据平行四边形的性质求出OB、OC的长，再根据三角形三边关系定理，建立不等式组，求解即可。

3.如图所示,∠A=50°,∠B=20°,∠D=30°,则∠BCD的度数为（）
A. 80°
B. 100°
C. 120°
D. 140°
【答案】B
【解析】如图，延长BC交AD于点E，
∵∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，
∴∠BCD=∠A+∠B+∠D，
∵∠A=50°，∠B=20°，∠D=30°，
∴∠BCD=50°+20°+30°=100°，
故答案为：B.
【分析】延长BC交AD于点E，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BCD=∠D+∠DEC，∠DEC=∠A+∠B，所以∠BCD=∠A+∠B+∠D，由已知可得∠BCD=50°+20°+30°=100°。

4.如图，BE∥AF，点D是AB上一点，且DC⊥BE于点C，若∠A=35°，则∠ADC的度数（）
A. 105°
B. 115°
C. 125°
D. 135°
【答案】C
【解析】：∵BE∥AF，∴∠B=∠A=35°．∵DC⊥BE，∴∠DCB=90°，∴∠ADC=90°+35°=125°．故答案为：C．【分析】由平行线的性质可得∠B=∠A=35°，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠ADC=90°+35°=125°。

5.如图，在Rt ABC中，∠ACB=900，BC=2．将ABC绕顶点C逆时针旋转得到△，使点B’落
在AC边上．设M是的中点，连接BM，CM，BCM的面积为（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
【答案】A
【解析】：过点M作MD⊥A B于点D
∴∠MDA=90°
∵M是B′C′ 的中点
∴A'M=A′B′
∵△ ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A ′B ′C ′
∴BC=B C=2，∠ACB=∠A CB=90°=∠MDA
∴MD∥AC
∴
∴MD=1
∴S△BCM=BC MD=×2×1=1
故答案为;A
【分析】过点M作MD⊥A ' B于点D，根据旋转的性质，可证得BC=B 'C=2，∠ACB=∠A ' CB ' =90°=∠MDA '，再根据平行线分线段成比例及线段中点的定义，可得线段成比例，求出MD的长，然后利用三角形的面积公式，求解即可。

6.如图，ABC中，正方形DEFG的顶点D，G分别在AB，AC上，顶点E，F在BC上．若△ADG、△BED、△CFG的面积分别是1、3、1，则正方形的边长为（）
A. B.
C. 2
D. 2
【答案】C
【解析】：过A作AM⊥BC于M，交DG于N，
设正方形DEFG的边长是a，AN=b，
∵四边形DEFG是正方形，
∴DG=GF=EF=DE=MN=a，DG∥BC，
∵S△ADG=1，S△BDE=3，S△FCG=1，
∴S△ADG=ab=1，即a=
S△BDE=BE⋅a=3，S△FCG=CF⋅a=1，
∴BE=3b，CF=b，
∴BC=3b+a+b=4b+a，AM=a+b
∴BC AM=（4b+a）（a+b）=4b2+5ab+a2
∴S△ADG+S△BED+S△CFG=1+3+1=5
∴ab=2，
∵S正方形DEFG=S△ABC−(S△ADG+S△BDE+S△CFG)=a2
BC AM-5=a2
（4b2+5ab+a2）-5=a2
∵ab=2
（4b2+10+a2）-5=a2
∴a=2b（取正），
∴2b2=2
解之：b=1（取正）
∴a=2×1=2
即正方形的边长是2，【分析】过A作AM⊥BC于M，交DG于N，设正方形DEFG的边长是a，AN=b，根据已知及三角形的面积公式，可得出ab=2，用含b的代数式分别表示出BE、CF、AM、BC的长，再根据S正方
=S△ABC−(S△ADG+S△BDE+S△CFG)=a2，得出a=2b，结合ab=2，求出a、b的值即可求解。

形DEFG
7.如图，点P为⊙O外一点,PA为⊙0的切线,A为切点,PO交⊙0于点B，∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为（）.
A. 3 B
.
C. 6
D. 9
【答案】A
【解析】：连接OA
∵PA为⊙0的切线
∴OA⊥AP
∵∠P=30°
∴OP=OB+BP=2OA=2OB=6
∴BP=3
故答案为：A
【分析】已知圆的切线。

因此连半径OA，可证得△OAP是直角三角形，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，就可求出BP的长。

8.如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠B=40°，AC边的垂直平分线交BC于点E，连接AE，则∠BAE的度数是（）
A. 45°
B. 50°
C. 55°
D. 60°
【答案】D
【解析】∵AB=AC，∠B=40°，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠BAC=180°﹣∠B﹣∠C=100°，
又∵AC边的垂直平分线交BC于点E，
∴AE=CE，
∴∠CAE=∠C=40°，
∴∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=60°．
故答案为：D．
【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C=40°，根据三角形的内角和定理得∠BAC=180°﹣∠B﹣∠
C=100°，根据线段的垂直平分线的性质可得AE=CE，所以由等腰三角形的性质可得∠CAE=∠C=40°，所以∠BAE=∠BAC﹣∠CAE=60°．
9.在矩形ABCD中，AC，BD相交于O，AE⊥BD于E，OF⊥AD于F，若BE：ED=1：3，OF=3cm，则BD的长是（）cm．
A. 6 B
10 D.
12
【答案】D
【解析】∵ABCD是矩形，
∴BO=OD=OA．
∵BE：ED=1：3，
∴BE=EO．
又AE⊥BD，
∴OB=OA=AB．
∴∠ABD=60°．
∴∠FDO=30°
∵OF⊥AD，OF=3，
∴OD=6．
∴BD=2•OD=12．故答案为：D．
【分析】先证得三角形ABO为等边三角形，从而解得∠BAO=60º，即∠ODA=∠OAD=30º，进而解直角三角形OFD求得OD=6，即可求得BD=12.
10.如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A＝35°,∠C＝24°,则∠D的度数是（）。

A. 24°
B. 59°
C. 60°
D. 69°
【答案】B
【解析】：∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，
又∵DE∥BC，
∴∠D=∠DBC=59°.
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角性质得∠DBC=∠A+∠C，再由平行线性质得∠D=∠DBC.
11.如图，等边三角形边长是定值，点是它的外心，过点任意作一条直线分别交，于
点，，将沿直线折叠，得到，若，分别交于点，，连接
，，则下列判断错误的是（）
A.
B. 的周长是一个定值
C. 四边形的面积是一个定值
D. 四边形
的面积是一个定值
【答案】D
【解析】：A、连结OA、OC，
∵点O是等边三角形ABC的外心，
∴AO平分∠BAC，
∴点O到AB、AC的距离相等，
由折叠得：DO平分∠BDB'，
∴点O到AB、DB'的距离相等，
∴点O到DB'、AC的距离相等，
∴FO平分∠DFG，
∠DFO=∠OFG=（∠FAD+∠ADF），
由折叠得：∠BDE=∠ODF=（∠DAF+∠AFD），
∴∠OFD+∠ODF=（∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，
同理可得∠EOG=60°，
∴∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG,
∴△DOF≌△GOF≌△GOE
∴OD=OG,OE=OF,
∠OGF=∠ODF=∠ODB,∠OFG=∠OEG=∠OEB，
∴△OAD≌△OCG,△OAF≌△OCE,
∴AD=CG,AF=CE,
∴△ADF≌△CGE.
故A不符合题意；
B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE,
∴DF=GF=GE,
∴△ADF≌△B'GF≌△CGE,
∴B'G=AD,
∴△B'FG的周长-FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），
故B不符合题意；
C、S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC=S△ABC（定值），
故C不符合题意；
D、S四边形OGB'F=S△OFG+S△B'GF=S△OFD+S△ADF=S四边形OFAD=S△OAD+S△OAF=S△OCG+S△OAF=S△OAC-S△OFG,
过点O作OH⊥AC于H，
∴S△OFG=,
由于OH是定值，FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化。

故D符合题意。

故答案为：D【分析】A、根据等边三角形ABC的外心的性质可知，AO平分∠BAC，根据角平分线的定理和逆定理得：FO平分∠DFG，由外角的性质可证明∠DOF=60°，同理可得∠EOG=60°，∠FOG=60°=∠DOF=∠EOG，可证明△DOF≌△GOF≌△GOE，△OAD≌△OCG,△OAF≌△OCE,可得AD=CG,AF=CE,从而得△ADF≌△CGE；
B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得DF=GF=GE,所以△ADF≌△B'GF≌△CGE,可得结论；
C、根据S四边形FOEC=S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC=S△ABC（定值），据此判断；
D、方法同C，将S四边形OGB'F=S△OAC-S△OFG,根据S△OFG=·FG·OH,FG变化，故△OFG的面积变化，从而四边形OGB'F的面积也变化，据此判断；
12.如图，在中，，.以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，
交于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，射线
交的延长线于点，则的长是（）
A.
B.1
C.
D.
【答案】B
【解析】：由射线CN的尺规作图的方法可知CN是∠BCD的平分线，则∠BCN=∠DCN．在□ABCD中，AB∥CD，∴∠E=∠DCN=∠BCN，
∴BE=BC=3，
∴AE=BE-AB=3-2=1.
故答案为：B.
【分析】首先由尺规作图的步骤可知这是作∠BCD的角平分线CN；由平行四边形的性质可得AB∥CD，则∠E=∠DCN=∠BCN，由“等角对等边”可知△BCE是等腰三角形即可求得AE的长度．
二、填空题
13.若一个等腰三角形的顶角等于50°，则它的底角等于________．
【答案】65°
【解析】：∵等腰三角形的顶角等于50°，∴它的底角为：（180°-50°）÷2=65°.
故答案为：65°.
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得出答案.
14.在△ABC中, AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADC的度数为________.
【答案】90º或130º
【解析】：∵AB=AC，∠BAC=100°
∴∠C=∠B=（180°-100°）÷2=40°
如图1，
当Rt△ABD的∠CAD=90°时
∠ADB=∠C+∠CAD=40°+90°=130°；
如图2，
Rt△ABD中∠ADB=90°
故答案为：90°或130°
【分析】根据等边对等角及三角形的内角和定理，可求出∠C的度数，再分情况讨论：当Rt△ABD的∠CAD=90°时，利用三角形外角的性质可求出∠ADB的度数；Rt△ABD中∠ADB=90°；即可求解。

15.如图，在边长为4的等边中，，分别为，的中点，于点，为
的中点，连接，则的长为________．
【答案】
【解析】连接DE，
∵D、E分别是AB、BC的中点，
∴DE∥AC，DE= AC
∵ΔABC是等边三角形，且BC=4
∴∠DEB=60°,DE=2
∵EF⊥AC，∠C=60°,EC=2
∴∠FEC=30°，EF=
∴∠DEG=180°-60°-30°=90°
∵G是EF的中点，
∴EG= .
在RtΔDEG中，DG=
故答案为：.
【分析】连接DE，根据三角形的中位线定理得出DE∥AC，DE= AC，根据等边三角形的性质由ΔABC是等边三角形得出∠DEB=60°,DE=2，根据含30º直角三角形的边之间的关系，及中点定义得出EF的长，进而判断出ΔDEG是直角三角形，根据勾股定理得出DG的长。

16.如图，四边形ABCD为菱形，E为对角线BD延长线上一点，BD＝4，DE＝1，∠BAE＝45°，则AB长为________．
【答案】
【解析】：连接AO交BD于O，作BM⊥AE于M，交AC于N．
∵∠BAE=45°，∠BMA=90°，∴∠MAB=∠MBA=45°，∴AM=BM，
∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠AOE=90°，设AM=BM=b，ME=a，
∵∠E=∠E，∠AOE=∠BME=90°，∴△AOE∽△BME，∴= ，∴= ，
∴a2+ab=15 ①
又∵a2+b2=25 ②
①×5﹣②×3得到：2a2+5ab﹣3b2=0，∴（a+3b）（2a﹣b）=0，
∴b=2a代入②得到a= ，∴b=2 ，∵AB= AM=2 ．故答案为2 ．
【分析】连接AO交BD于O，作BM⊥AE于M，交AC于N．根据三角形的内角和判断出∠MAB=∠MBA=45°，根据等边对等角得出AM=BM，根据菱形的性质得出AC⊥BD，∠AOE=90°，设AM=BM=b，ME=a，然后判断出△AOE∽△BME，根据相似三角形对应边成比例得出 O E∶ E M = A E∶ B E，从而得出关于a,b的方程，a2+ab=15 ①，根据勾股定理得出a2+b2=25 ②，①×5﹣②×3得到：2a2+5ab﹣
3b2=0，求解得出，a,b的值，根据等腰直角三角形边之间的关系由AB= AM得出答案。

17.如图，在△ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，AB=8，则DE的长为________。

【答案】4
【解析】：∵点D，E分别是BC，AC的中点
∴DE是△ABC的中位线
∴DE=AB=×8=4
故答案为：4
【分析】根据已知可得出DE是△ABC的中位线，再根据中位线定理，可求出DE的长。

18.如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，AC＝5cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于________cm.
【答案】7
【解析】：依题可得：AE=CE,
在Rt△ABC中，
∵AB＝3cm，AC＝5cm，
∴BC=4,
∴C△ABE=AB+BE+EA=AB+BE+EC=AB+BC=3+4=7，
故答案为：7.
【分析】根据折叠的性质可知AE=CE,在Rt△ABC中，根据勾股定理可求得BC长，再根据三角形周长即可求得答案.
19.如图，在正方形中，，点，分别在，上，，，相
交于点.若图中阴影部分的面积与正方形的面积之比为，则的周长为________．
【答案】
【解析】：∵阴影部分的面积与正方形的面积之比为，∴空白部分的面积=
在△BCE和△CDF中，
∴△BCE≌△CDF（SAS），
∴，∠BEC=∠CFD，
∴，
即，
∴，
∵∠BEC=∠CFD，∠CFD+∠DCF=90°，
∴∠BEC+∠DCF=90°，
则∠BGC=90°，
在Rt△BCG中，
设BG=x，CG=y，
则
可得，
∴，
∴△BCG的周长为BC+BG+CG=
故答案为：.
【分析】阴影部分的面积与正方形的面积之比可求得空白部分的面积，由CE=DF，不难证得△BCE
≌△CDF，则可得，求得；由△BCE≌△CDF，全等三角形的性质可证明∠BGC=90°；问题是求△BCE的周长，BC已知，所以只需要求出BG+CG的即可，由三角形面积公式及勾股定理，根据代数式的运算求出BG+CG值即可．
20.如图，在矩形ABCD中，AB=6，E，H分别为AD、CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BH 上的F处，则AD＝________
【答案】
【解析】：连接EH．
∵点E、点H是AD、DC的中点，∴AE=ED，CH=DH= CD= AB=3，由折叠的性质可得AE=FE，∴FE=DE．在
Rt△EFH和Rt△EDH中，∵，∴Rt△EFH≌Rt△EDH（HL），∴FH=DH=3，∴
BH=BF+FH=AB+DH=6+3=9．在Rt△BCH中，BC= = = ，∴AD=BC= ．故答案
为：．
【分析】连接EH．根据三角形的中位线定理可得，AE=ED，CH=DH=CD=AB=3，由折叠的性质可得
AE=FE，所以FE=DE．用斜边直角边定理可证得Rt△EFH≌Rt△EDH，所以FH=DH=3，由线段的构成可得
BH=BF+FH=AB+DH=6+3=9，在Rt△BCH中，由勾股定理可求得BC=
=6=AD.
三、解答题
21.如图，，，、相交于点.求证：
.
【答案】解：∵∠A=∠D=90°在Rt△ABC和Rt△DCB中
BC=CB AC=DB
∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）
∴∠ACB=∠DBC
∴OB=OC
【解析】【分析】根据直角三角形的全等判定定理，可证得Rt△ABC≌Rt△DCB，得出∠ACB=∠DBC，再根据等角对等边，可证得结论。

22.如图，点D，C在BF上，AB∥EF，∠A=∠E，BD=CF．求证：AB=EF．
【答案】证明：∵AB∥EF，
∴∠B=∠F．
又∵BD=CF，
∴BC=FD．
在△ABC与△EFD中，
∴△ABC≌△EFD（AAS），
∴AB=EF
【解析】【分析】根据平行线的性质可得∠B=∠F．用角角边可证得△ABC≌△EFD，所以AB=EF。

23.如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC＝90°，∠DAE＝90°，B，C，D在同一条直线上．求证：BD＝CE.
【答案】证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC
又∵∠EAC＝90°＋∠CAD，∠DAB＝90°＋∠CAD，
∴∠DAB＝∠EAC.
∵在△ADB和△AEC中，
∴△ADB≌△AEC(SAS)，
∴BD＝CE.
【解析】【分析】根据等腰直角三角形的性质，可证得AD＝AE，AB＝AC，再证明∠DAB＝∠EAC，然后根据全等三角形的判定方法，证明△ADB≌△AEC，从而可证得结论。

24.已知：如图，AB＝AE，∠1＝∠2，∠B＝∠E.求证：BC＝ED.
【答案】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1＋∠BAD＝∠2＋∠BAD，
即：∠EAD＝∠BAC.
在△EAD和△BAC中，
∴△ABC≌△AED(ASA)，
∴BC＝ED
【解析】【分析】根据∠1＝∠2，证得∠EAD＝∠BAC，再利用全等三角形的判定证明△ABC≌△AED，然后根据全等三角形的性质可证得结论。

25.已知，等边三角形ABC的边长为5，点P在线段AB上，点D在线段BC上，且△PDE是等边三角形．
（1）初步尝试：若点P与点A重合时（如图1），BD+BE=________
（2）类比探究：将点P沿AB方向移动，使AP=1，其余条件不变（如图2），试计算BD+BE的值是多少？（3）拓展迁移：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=70°，点P在线段AB的延长线上，点D在线段CB 的延长线上，在△PDE中，PD=PE，∠DPE=70°，设BP=a，请直接写出线段BD、BE之间的数量关系（用含a的式子表示）
【答案】（1）5
（2）解：如图2，过点P作PF∥AC交BC于F，
∴△FPB是等边三角形，
∴BF=PF=PB=AB﹣AP=4，∠BPF=60°，
∵△PDE是等边三角形，
∴PD=PE，∠DPE=60°，
∴∠BPE=∠FPD，
∴△PBE≌△PFD，
∴BE=DF，
∴BD+BE=BD+DF=BF=4；
（3）解：如图3，过点P作PF∥AC交BC于F，
∴∠BPF=∠BAC=70°，∠PFB=∠C，
∵AB=AC，∠BAC=70°，
∴∠ABC=∠C=55°，
∴∠PFB=∠C=∠PBF=55°，
∴PF=PB=a，
∵∠BPF=∠DPE=70°，
∴∠DPF=∠EPB，
∵PD=PE，
∴△PBE≌△PFD，
∴BE=DF，
过点P作PG⊥BC于G，
∴BF=2BG，
在Rt△BPG中，∠PBD=55°，
∴BG=BP•cos∠PBD=a•cos55°，
∴BF=2BG=2a•cos55°，
∴BD﹣BE=BD﹣DF=BF=2a•cos55°．
【解析】：（1）∵△ABC和△PDE是等边三角形，
∴PE=PD，AB=AC，∠DPE=∠CAB=60°，
∴∠BPE=∠CAD，
∴△PBE≌△ACD，
∴BE=CD，
∴BD+BE=BD+CD=BC=5，
故答案为5；
【分析】（1）由已知条件用边角边易证得△PBE≌△ACD，所以可得BE=CD，所以BE+BD=BD+CD=BC ; （2）由（1）的方法可作辅助线，过点P作PF∥AC交BC于F，将问题转化为（1）的形式，同理可证△PBE ≌△PFD，则BE=DF，所以BE+BD=BD+FD=BF;由题意得BF=BC-1=4，问题得解；
（3）由（1）和（2）的思路可作辅助线，过点P作PF∥AC交BC于F，过点P作PG⊥BC于G，根据已知条件易证得△PBE≌△PFD，BE=DF，则BF=2BG，在Rt△BPG中，解直角三角形即可用含a的代数式表示BG，则BF=2BG也可用含a的代数式表示，所以BD﹣BE=BD﹣DF=BF可得结论。