第二十二章 第2课 二次函数y=ax2的图象与性质
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使△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半.
2.二次函数 y= 3x 的图象如图所示,点 O 为坐标原点,点 A 在 y 轴的正半轴上,点 B,C 在二次函数 y= 3x2 的图象上,四边 形 OBAC 为菱形,且∠OBA= 120° ,求菱形 OBAC 的面积.
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解:连结 BC 交 OA 于 D,如图,
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的一半? 若存在,求出点 C 的坐标;若不存在,请说明理由.
解:(1)∵抛物线 y=ax 经过点 A(2,1),∴4a=1; 1 1 2 解得 a=4,∴这个函数的解析式为 y=4x ; (2)∵点 A(2,1),∴点 A 关于 y 轴的对称点 B 的坐标为(-2,1); (3)∵点 A(2,1),B(-2,1),∴AB=2-(-2)=2+2=4, 1 S△OAB=2×4×1=2;
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1 (4)假设存在点 C,且点 C 到 AB 的距离为 h.则 S△ABC=2· AB· h 1 =2×4h, 1 1 ∵△ABC 的面积等于△OAB 面积的一半,∴2×4h=2×2,解 1 得 h=2,
1 1 ①当点 C 在 AB 下面时,点 C 的纵坐标为 1-2=2,
1 1 2 1 此时,4x =2,解得 x1= 2,x2=- 2,点 C 的坐标为 2,2 或-
图1
当 PB=OB 时, △AOP 是以 OP 为底的等腰三角形, 而 A(2,4), 所以 P 点坐标为(4,0). ②当 OA=OP 时, ∵A(2,4), ∴OA= 22+42=2 5, 则 P(± 2 5, 0).
③当 AP=OP 时,如图 2,过点 P 作 PQ⊥AO 于点 Q. 1 1 设 P(t,0),则 Q(1,2),故2OA· PQ=2OP×4 即 1 1 2 2 × 2 5 × 1 - t + 2 = t × 4 ,解得 t = 5 ,即 (5,0) . 2 2 综上所述,符合条件的点 P 的坐标是(4,0)或(2 5,0)或(-2 5, 0)或(5,0).
1 2,2,
1 3 ②点 C 在 AB 的上面时,点 C 的纵坐标为 1+2=2,
3 1 2 3 此时4x =2,解得 x1= 6,x2=- 6,点 C 的坐标为 6,2或 -
3 6 ,2 ,
C
综上所述, 存在点
1 1 3 3 2,2或- 2,2或 6,2或- 6,2,
3.如图,抛物线 y=ax 与直线 y=kx+b 在第一象限内交于点 A(2,4). (1)求抛物线的解析式; (2)在 x 轴上是否存在一点 P,使△AOP 为 等腰三角形?若存在,请你求出点 P 的坐标;若不存在,请 说明理由.
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解:(1)抛物线 y=ax2 与直线 y=kx+b 在第一象限内交点为 A(2,4). ∴4=22×a,a=1,抛物线的解析式为 y=x2. (2)①当 AP=AO 时,作 AB⊥x 轴于 B 点,如图 1,
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二次函数 y=ax 的图象与性质
1.如图,抛物线 y=ax 经过点 A(2,1). (1)求抛物线对应的函数解析式. (2)写出抛物线上点 A 关于 y 轴的对称点 B 的坐标. (3)求△OAB 的面积.
(4)抛物线上是否存在点 C,使△ABC 的面积等于△OAB 面积
图2
谢谢!
答案图 ∵四边形 OBAC 为菱形,∴BC⊥OA,
∵∠OBA=120° ,∴∠OBD=60° ,∴OD= 3BD, 设 BD=t,则 OD= 3t,∴B(t, 3t), 把 B(t, 3t)代入 y= 3x2 得 3t2= 3t, 解得 t1=0(舍去),t2=1,∴BD=1,OD= 3, ∴BC=2BD=2,OA=2OD=2 3,∴菱形 OBAC 的面积= 1 2× 2 3=2 3. 2×