高中数学 第一讲 坐标系 四 柱坐标系与球坐标系简介课

四 柱坐标系与球坐标系简介
课堂导学
三点剖析
一、已知直角坐标求柱坐标
【例1】 设点M 的直角坐标为(1,1,3),求它的柱坐标.
解：
由变换公式得ρ2=x 2+y 2=12+12=2,
∴ρ=2.
又tan θ=
x y =1, ∴θ=4
π(M 在第Ⅰ卦限). 故M 的柱坐标为(2,4
π,3). 温馨提示
可以看出,球坐标系与柱坐标系都是在空间直角坐标系的基础上建立的.
在直角坐标系中,我们需要三个长度:(x,y,z),而在柱坐标系与球坐标系中,我们需要长度,还需要角度.它是从长度,方向来描述一个点的位置,需要(ρ,θ,z)或者(r,φ,θ).
三种坐标系互相不同,互相有联系,互相能够转化,都是刻画空间一点的位置,只是描述的角度不同.
类题演练 1
设M 的直角坐标为(1,3-,4),求其柱坐标.
解:由公式得ρ2=1+3=4,
∴ρ=2.
又tan θ=
x y =3-, ∴θ=3
2π. ∴柱坐标为(2,
32π,4). 变式提升 1
设M 的柱坐标为(2,
6π,7),求直角坐标. 解:由公式得ρ2=x 2+y 2=4,
又tan 6π=33=x
y , ∴y=3
1x.∴y 2=1.∴y=1,x=3. ∴直角坐标为(3,1,7).
二、已知直角坐标求球坐标
【例2】 设点M 的直角坐标为(1,1,2),求它的球坐标.
解：由公式得r=222z y x ++=2,
由rcos φ=z=2,得
cos φ=222=r ,φ=4
π. 又tan θ=
x y =1,θ=4
π. ∴点M 的球坐标为(2,4π,4π). 类题演练 2
设M 的直角坐标为(2,-1,1),求它的球坐标.
解:由公式得r=222z y x ++=2,
由rcos φ=z 得cos φ=21,φ=3
π. 又tan θ=2
2-, ∴θ=π-arctan 2
2. ∴球坐标为(2,3
π,π-arctan 22). 三、用柱坐标与球坐标解决空间实际问题
【例3】 已知长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的边长为AB=14,AD=6,AA 1=10,以这个长方体的顶点A 为坐标原点，以射线AB,AD,AA 1分别为Ox 、Oy 、Oz 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体顶点C 1的空间直角坐标,球坐标,柱坐标.
解析：如图,此题是考查空间直角坐标,球坐标,柱坐标的概念，我们要能借此区分三个坐标，找到它们的相同和不同来.
C 1点的(x,y,z)分别对应着CD,BC,CC 1,C 1点的(ρ,θ,z)分别对应着AC,∠BAC,CC 1，C 1点的（r,φ,θ)分别对应着AC 1,∠A 1AC 1,∠BAC.
解:C 1点的空间直角坐标为(14,6,10)，C 1点的柱坐标为(232,arctan
73,10)，C 1点的球坐标为(332,arccos 332
10,arctan 73). 温馨提示
应当注意,在球坐标系中,当点P 在z 轴上,θ不确定;点P 与坐标原点O 重合,φ与θ都不确定.
类题演练 3
经过若干个固定和流动的地面遥感观测站监测，并通过数据汇总，计算出一个航天器在某一时刻的位置，离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，此时经度为80°，纬度为75°.试建立适当的坐标系，确定出此时航天器点P 的坐标.
解:在赤道平面上，选取地球球心O 为极点，以O 为端点且与零子午线相交的射线Ox 为极轴，建立球坐标系,如图.由已知航天器位于经度80°，可知θ=80°，由航天器位于纬度75°，可知φ=90°-75°=15°，由航天器离地面2 384千米，地球半径为6 371千米，可知r=2 384+6 371=8 755千米.
∴点P 的球坐标为(8 755 km,15°,80°).
变式提升 2
两平行平面去截球，如图,在两个截面圆上有两个点，它们的球坐标分别为A(25,arctan 724,θa ),B(25,π-arctan 4
3,θb )，
求出这两个截面间的距离.
解:由已知,OA=OB=25,∠AOO 1=arctan 724,∠BOO 1=π-arctan 4
3,在△AOO 1中,tan∠AOO 1=724=1
1OO A O . ∵OA=25,∴OO 1=7.
在△BOO 2中,∠BOO 2=arctan
43,tan∠BOO 2=43=2
2OO B O . ∵OB=25,∴OO 2=20.
则O 1O 2=OO 1+OO 2=7+20=27.
∴两个截面间的距离O1O2为27.。