2020年高考数学(理)一轮复习讲练测：专题1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(讲)

专题 1.3简单的逻辑联络词、全称量词与存在
量词
1.认识逻辑联络词“或”“且”“非”的含义。

2.理解全称量词和存在量词的意义。

3.能正确地对含一个量词的命题进行否认。

知识点一简单的逻辑联络词
1．简单的逻辑联络词
(1)命题中的且、或、非叫做逻辑联络词．
(2)命题 p 且 q、 p 或 q、非 p 的真假判断
p q p 且 q p 或 q非 p
真真真真假
真假假真假
假真假真真
假假假假真
知识点二全称量词和存在量词
2.全称量词和存在量词
(1)全称量词：短语“全部的”“随意一个”等在逻辑中往常叫做全称量词，用符号“? ”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“起码有一个”等在逻辑中往常叫做存在量词，用符号“? ”表示．
知识点三全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否认
3．全称命题、特称命题及含一个量词的命题的否认
命题名称语言表示符号表示命题的否认
对 M 中随意一个
全称命题? x∈ M，p(x)?x00
x，有 p(x)建立∈ M，┐p(x )
存在 M 中的一个
特称命题00? x∈M ，┐p(x)
?x ∈ M， p(x )
x0，使 p(x0)建立
考点一含有逻辑联络词的命题的真假判断
【典例 1】 (2019 ·河北石家庄一中模拟) 设 a，b，c 是非零向量 .已知命题p: 若 a·b＝ 0，b·c＝0，则 a·c ＝ 0；命题 q：若 a∥b， b∥ c，则 a∥ c.则以下命题中真命题是()
A. p∨ q
B. p∧ q
C.( ┐p)∧ ( ┐q)
D. p∧( ┐q)
【答案】 B
【分析】取a＝c＝ (1， 0)， b＝(0， 1)，明显 a·b＝0， b·c＝ 0，但 a·c＝ 1≠0，∴ p 是假命题 .
又 a，b， c 是非零向量，
由 a∥b 知 a＝xb(x∈ R)，由 b∥ c 知 b＝yc( y∈R) ，
∴ a＝xyc，∴ a∥c，∴ q 是真命题 .
综上知 p∨ q 是真命题， p∧ q 是假命题 .
┐p 为真命题，┐q 为假命题 .
∴( ┐p)∧ ( ┐q)，p∧ ( ┐q)都是假命题 .
【规律方法】
1.“p∨q”、“p∧ q”、“┐p”形式命题真假的判断重点是对逻辑联络词“或”“且”“非”含义的理解，其
操作步骤是： (1)明确其组成形式； (2) 判断此中命题 p，q 的真假； (3)确立“p∨ q”“p∧q”“┐p形式命题的真假 .
2.p∧q 形式是“一假必假，全真才真”，p∨ q形式是“一真必真，全假才假”，┐p则是“与p的真假相
反”.
【变式1】 (2017 ·山东卷 )已知命题 p：?x∈ R，x2－ x＋ 1≥0；命题 q：若 a2<b2，则 a<b.以下命题为真命
题的是 ()
A. p∧ q
B.p∧ ┐q
C. ┐p∧q
D. ┐p∧ ┐q
【答案】 B
【分析】∵一元二次方程x2－ x＋ 1＝ 0 的鉴别式＝(－1)2－4×1×1<0，∴ x2－x＋1>0恒建立，
∴ p 是真命题，┐p 为假命题 .
∵当 a＝－ 1，b＝－ 2 时， (－ 1)2<( －2)2，但－ 1>－ 2，
∴q 为假命题，┐q 为真命题 .
∴p∧┐q 为真命题， p∧ q，┐p∧ q，┐p∧ ┐q 为假命题 .
考点二全称 (特称 )命题的真假判断
【典例 2】 (2019 ·江西师大附中月考)已知定义域为R 的函数 f(x)不是偶函数，则以下命题必定为真命
题的是(
)
A. ?x ∈ R ， f(－ x) ≠f(x)
B.?x ∈ R ， f(－ x) ≠－ f(x)
C.?x 0∈ R ， f(－x 0) ≠f(x 0)
D.?x 0∈R ， f(－ x 0) ≠－ f(x 0)
【答案】 C
【分析】 ∵定义域为 R 的函数 f(x)不是偶函数， ∴ ? x ∈ R ，f(－ x)＝ f(x)为假命题， ∴ ?x 0∈ R ，f(－ x 0) ≠f(x 0)
为真命题 .
【规律方法】
1.全称命题与特称命题的否认与命题的否认有必定的差别， 否认全称命题和特称命题时， 一是要改写量
词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否认结论，而一般命题的否认只需直接
否认结论 .
2.判断全称命题 “? x ∈ M ， p(x) ”是真命题，需要对会合 M 中的每一个元素 x ，证明 p(x)建立；要判断特
称命题是真命题，只需在限制会合内起码找到一个
x ＝ x 0，使 p(x 0)建立 .
【变式 2】 (2019 ·山东潍坊一中模拟 )已知命题 p ：?x 0 ∈ (－ ∞，0)，2x0<3 x0
；命题 q ：? x ∈ 0，
π，sin x<x ，
2
则以下命题为真命题的是 ()
A. p ∧ q
B.p ∧ ( ┐q)
C.( ┐p)∧ q
D.( ┐p)∧ ( ┐q)
【答案】 C
【分析】 由于当 x<0 时， 2
x
π
>1，即 2x >3x ，因此命题 p 为假命题， 进而 ┐p 为真命题； 由于当 x ∈ 0， 2 3
时， x>sin x ，因此命题 q 为真命题，因此 ( ┐p)∧ q 为真命题 .
考点三
由命题的真假求参数的取值范围
【典例 3】 (2019 ·湖南长沙一中模拟 )已知命题 p ：? x ∈ R ， log 2(x 2＋ x ＋ a)>0 恒建立，命题 q ： ?x 0∈ [－
a x 0
a 的取值范围为 ________.
2， 2]， 2 ≤2，若命题 p ∧ q 为真命题，则实数
【答案】
5
，2
4
【分析】 由题知， 命题 p ：?x ∈ R ，log 2 (x 2＋ x ＋ a)>0 恒建立， 即 x 2
＋ x ＋ a －1>0 恒建立， 因此
＝1－ 4(a
5
－ 1)<0 ，解得 a> 5
；命题 q ：? x 0
a
x0
，则 a ≤2
当.
p ∧ q 为真命题时，须知足
a>
4，
故实数
4
∈[－2，2] ，使得 2
≤2
a ≤2，
a 的取值范围为5
，2 . 4
【规律方法】
1.由含逻辑联络词的命题真假求参数的方法步骤：
(1)求出每个命题是真命题时参数的取值范围；
(2)依据每个命题的真假状况，求出参数的取值范围.
2.全称命题可转变为恒建立问题 .
含量词的命题中参数的取值范围，可依据命题的含义，利用函数的最值解决.
1x
【变式 3】 (2019 ·河北衡水中学调研 )已知 f(x)＝ ln( x2＋ 1)，g(x)＝－ m，若对 ?x1∈[0， 3]， ?x2∈[1，
2
2]，使得 f(x ) ≥g( x )，则实数 m 的取值范围是 ________.
12
1
【答案】4
，＋∞
【分析】当 x∈ [0， 3]时， f(x)min＝ f(0)＝ 0，当 x∈[1 ，2]时， g(x)min＝ g(2) ＝1
－ m，对 ?x1∈ [0， 3]， ?x2 4
11∈ [1， 2]使得 f(x1 ) ≥g( x2)等价于 f(x)min≥g(x)min，得 0≥－ m，因此 m≥ .
44。