(新课标)高考数学一轮总复习 第四章 第3节 平面向量的数量积及应用名师课件

(2)(2015·昆明市调研)已知向量 a，b 的夹角为 120°，且|a| ＝1，|b|＝2，则向量 a－b 在向量 a＋b 方向上的投影是________．
[解析] 依题意得(a－b)·(a＋b)＝a2－b2＝－3，(a＋b)2＝a2 ＋b2＋2a·b＝3，即|a＋b|＝ 3，向量 a－b 在向量 a＋b 方向上 的投影是a－|ab＋·ab＋| b＝－33＝－ 3.
已知两个非零向量a和b，作
→ OA
＝a，
→ OB
＝b，如图所示，
则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，也可记作〈a，b〉＝θ.
(2)范围 向量夹角 θ 的范围是__[_0__，___π__]___，a 与 b 同向时，夹角 θ＝0； a 与 b 反向时，夹角 θ＝__π__. (3)垂直关系 如果非零向量 a 与 b 的夹角是_9_0_°__，我们说 a 与 b 垂直， 记作__a_⊥__b___.
第四章 平面向量
第3节 平面向量的数量积及应用
1．理解平面向量数量积的含义及物理意义； 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系； 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积 的运算； 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断 两个向量的垂直关系．
[要点梳理]
1．向量的夹角
(1)定义
从而可得1＋2λ－1－2λ＝0，即λ＝0.
(2)依题意得A→B2＝A→B·(A→C＋C→B)＋C→A·C→B＝A→B2＋C→A·C→B，
所以C→A·C→B＝0，C→A⊥C→B，△ABC是直角三角形，故选D.
[答案] (1)D (2)D
拓展提高 (1)若 a，b 为非零向量，则 a⊥b⇔a·b＝0；若 非零向量 a＝(x1，y)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
质疑探究：对于非零向量 a、b、c. (1)若 a·c＝b·c，则 a＝b 吗？ (2)(a·b)c＝a(b·c)恒成立吗？ 提示：(1)不一定有 a＝b，因为 a·c＝b·c⇔c·(a－b)＝0，即 c 与 a－b 垂直，但不一定有 a＝b.因此向量数量积不满足消去 律． (2)因为(a·b)c 与向量 c 共线，(b·c)a 与向量 a 共线．所以(a·b)c 与 a(b·c)不一定相等，即向量的数量积不满足结合律．
＋C→A·C→B，则△ABC 是( )
A．等边三角形
B．锐角三角形
C．钝角三角形
D．直角三角形
思路点拨 (1)利用(a＋λb)·(a－2b)＝0 待定 λ. (2)利用向量运算规律化简条件得出C→A·C→B＝0.
[解析]
(1)由题意可知a·b＝|a||b|cos
60°＝
1 2
，而(a＋λb)⊥
(a－2b)，故(a＋λb)·(a－2b)＝0，即a2＋λa·b－2a·b－2λb2＝0，
活学活用2 (1)(2015·石家庄质检)已知向量a、b的夹角为
45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ 10，则|b|＝( )
A．3 2
B．2 2
C. 2
D．1
[解析] 因为 a、b 的夹角为 45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ 10，
所以 4a2－4a·b＋b2＝10，即|b|2－2 2|b|－6＝0，解得|b|＝3 2或
＝
|
→ AC
－
A→B|2
＝
→ AC
2
－2A→B
→ ·AC
＋
→ AB
2≥2|
→ AB
→ |·|AC
|
－
2A→B·A→C＝6，
∴|B→C|min＝ 6.
(2)由|m|＝1，得 m2＝1，即(2e1＋3e2)2＝1.展开得，4e21＋9e22 ＋12e1·e2＝1，即 4＋9＋12cos θ＝1，所以 cos θ＝－1.又 θ∈[0， π]，
[答案] － 3
考向二 利用数量积求向量夹角和模
例2 (1)(2015·温州市质检)在△ABC中，若∠A＝120°，
A→B·A→C＝－1，则|B→C|的最小值是( )
A. 2
B．2
C. 6
D．6
(2)(2015·安徽省“江南十校”联考)已知 e1，e2 是两个单位
向量，其夹角为 θ，若向量 m＝2e1＋3e2，则|m|＝1 的充要条件 是( )
|b|＝－ 2(舍)，故选 A.
[答案] A
(2)(2015·武汉市调研)已知向量 a，b，满足|a|＝3，|b|＝2 3，
且 a⊥(a＋b)，则 a 与 b 的夹角为( )
π
2π
A.2
B. 3
3π
5π
C. 4
D. 6
[解析] a⊥(a＋b)⇒a·(a＋b)＝a2＋a·b＝|a|2＋|a|·|b|cos〈a，
(2)一对向量垂直与向量所在的直线垂直是一致的，向量的 线性运算与向量的坐标运算是求解向量问题的两大途径．
(3)向量垂直问题体现了“形”与“数”的相互转化，可用 来解决几何中的线线垂直问题．
活学活用 3 (1)(2015·荆州市质检)已知向量 a 与 b 的夹角 是23π，且|a|＝1，|b|＝4，若(2a＋λb)⊥a，则实数 λ＝________.
若点P为△ABC的外心，则A→P·B→C的值为( )
A．2
B．4
C．6
D．8
(2)(2015·石家庄市质检)在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝
1，E为BC的中点，若F为该矩形内(含边界)任意一点，则
A→E·A→F的最大值为________．
思路点拨 (1)因 AB、AC 已知，故把B→C写为B→C＝A→C－A→B， 利用 AP＝BP＝CP 和数量积定义化简．
(2)(2015·厦门质检)已知点 O，N，P 在△ABC 所在的平面 内，且|O→A|＝|O→B|＝|O→C|，N→A＋N→B＋N→C＝0，P→A·P→B＝P→B·P→C＝ P→C·P→A，则点 O，N，P 依次是△ABC 的( )
(2)以 A 为坐标原点，AB 所在直线为 x 轴建立平面直角坐
标系，则 E(2，12)，设 F(x，y)，则00≤ ≤xy≤ ≤21 ，A→E·A→F＝2x＋12y，
令 z＝2x＋12y，当 z＝2x＋12y 过点(2,1)时，A→E·A→F取最大值92.
[答案]
(1)C
9 (2)2
拓展提高 (1)平面向量数量积的计算方法 ①已知向量 a，b 的模及夹角 θ，利用公式 a·b＝|a||b|cos θ 求解； ②已知向量 a，b 的坐标，利用数量积的坐标形式求解． (2)对于向量数量积与线性运算的综合运算问题，可先利用 数量积的运算律化简，再进行运算．
2．平面向量的数量积 (1)数量积的定义 已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则向量a与b的 数量积是数量__|_a_||b_|_c_o_s_θ__，记作a·b，即a·b＝__|a_|_|b_|_co_s__θ___. (2)向量的投影 设θ为a与b的夹角，则向量a在b方向上的投影是 _|_a_|c_o_s_θ____；向量b在a方向上的投影是___|_b_|c_o_s_θ_.____ (3)数量积的几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与_b_在__a_的__方__向__上__的__投__影__|b_|c_o_s__θ_ 的乘积.
(2)建立坐标系，设 F(x，y)，用坐标计算A→E·A→F.
[解析] (1)∵B→C＝A→C－A→B， ∴A→P·B→C＝A→P·A→C－A→P·A→B. 又 cos∠BAP＝AB2＋2·AABP·2A－PBP2＝2·AABB·2AP， ∴A→B·A→P＝|A2B2|，同理A→C·A→P＝|A2C|2， ∴A→P·B→C＝|A2C|2－|A2B|2＝126－42＝6.
＋0＝16.
[答案] D
2．设向量 a＝(1，cos θ)与 b＝(－1,2cos θ)垂直，则 cos 2θ
等于( )
2 A. 2 C．0
1 B.2 D．－1
[解析] a＝(1，cos θ)，b＝(－1,2cos θ)． ∵a⊥b，∴a·b＝－1＋2cos 2θ＝0， ∴cos2θ＝12，∴cos 2θ＝2cos2θ－1＝1－1＝0. [答案] C
∴θ＝π. [答案] (1)C (2)A
拓展提高 (1)在数量积的基本运算中，经常用到数量积的 定义、模、夹角等公式，尤其对|a|＝ a·a要引起足够重视，是 求模常用的公式．
(2)利用向量数量积的定义，知 cos θ＝|aa|·|bb|，其中两向量夹 角的范围为 0°≤θ≤180°，求解时应求出三个量：a·b，|a|，|b| 或者找出这|a||b|的关系
a·b＝0 |a·b|≤|a||b|(当且仅当
a∥b 时等号成立)
x1x2＋y1y2＝0 |x1x2＋y1y2|
≤ x12＋y12· x22＋y22
4．平面向量数量积的运算律
已知向量a、b、c和实数λ，则：
(1)交换律：a·b＝__b_·__a___； (2)结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝_____a_·_(_λ_b_)__； (3)分配律：(a＋b)·c＝___a_·_c_＋__b_·_c_______.
3．平面向量数量积的性质及其坐标表示
已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a、b的夹
角.
向量表示
坐标表示
数量积
a·b＝|a||b|cos θ
a·b＝x1x2＋y1y2
模
|a|＝ a·a
|a|＝ x12·y21
夹角
cos θ＝|aa|·|bb|
cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
3．已知|a|＝4，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，则 b 在 a 方
向上的投影为( )
A．2
3 B.2
C．－2
D．－32
[解析] b 在 a 方向上的投影为|b|cos 120°＝－32.故选 D.
[答案] D
4．(2015·湖北高考)若向量O→A＝(1，－3)，|O→A|＝|O→B|，O→A·O→B ＝0，则|A→B|＝＝________.
b〉＝0，故
cos〈a，b〉＝－6
9
＝－ 3
23，故所求夹角为56π.
[答案] D
考向三 数量积的综合应用
例 3 (1)已知向量 a，b 是夹角为 60°的两个单位向量，向
量 a＋λb(λ∈R)与向量 a－2b 垂直，则实数 λ 的值为( )
A．1
B．－1
C．2
D．0
(2)(2015·郑州市质检)在△ABC 中，若A→B2＝A→B·A→C＋B→A·B→C
A．θ＝π
B．θ＝π2
C．θ＝π3
D．θ＝23π
思路点拨 (1)B→C＝A→C－A→B，先求|B→C|2 的最小值． (2)利用 m2＝1，求 e1·e2 便得 θ.
[解析] (1)∵A→B·A→C＝－1，
∴|A→B|·|A→C|cos 120°＝－1，即|A→B|·|A→C|＝2，
∴
|
B→C|2
[解析] 由题意知，O→B＝(3,1)或O→B＝(－3，－1)，所以A→B ＝O→B－O→A＝(2,4)或A→B＝(－4,2)，所以|A→B|＝ 22＋42＝2 5.
[答案] 2 5
5．已知向量 a、b 满足(a＋2b)·(a－b)＝－6，且|a|＝1，|b|
＝2，则 a 与 b 的夹角为________．
活学活用 1 (1)(2015·南昌市模拟)已知向量 e1＝(cos π4，sin
π6)，e2＝(2sin π4，4cos π3)，则 e1·e2＝________.
[解析]
由向量数量积公式得
e1·e2＝cos
π4×2sin
π4＋sin
π 6
×4cos π3＝ 22× 2＋12×2＝2. [答案] 2
[解析] 由(a＋2b)·(a－b)＝－6 得 a2－2b2＋a·b＝－6.
∵|a|＝1，|b|＝2，
∴12－2×22＋1×2×cos〈a，b〉＝－6，
∴cos〈a，b〉＝12.
∵〈a，b〉∈[0，π]
[答案]
π 3
，∴〈a，b〉＝π3.
考向一 平面向量的数量积的运算
例1 (1)(2015·荆州市质检)在△ABC中，AB＝2，AC＝4，
5．向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及 数量积解决平面几何中的平行、垂直、全等、相似、长度、夹 角等问题．
6．平面向量在物理中的应用 (1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解 与合成与向量的__加__法__和__减__法__相似，可以用向量的知识来解决． (2)物理学中的功是一个标量，这是力 F 与位移 s 的数量
积．即 W＝→F ·→s ＝|→F ||→s |cos θ(θ 为→F 与→s 的夹角)．
[基础自测]
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，则A→B·A→C等于( )
A．－16
B．－8
C．8
D．16
[解析] 如图，A→B·A→C＝(A→C＋C→B)·A→C＝A→C2＋C→B·A→C＝42