2023-2024学年度江苏省南通市如皋高二年级第一学期期中教学质量调研+答案解析(附后)

2023-2024
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知直线经过点，该直线的倾斜角为()
A. B. C. D.
2.数列的前n项和为，，则()
A.32
B.16
C.15
D.8
3.已知圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的表面积为()
A. B. C. D.4π
4.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则()
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则
5.我国明代数学家、音乐理论家朱载堉创立了十二平均律，他是第一个利用数学使音乐公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比例，把八度分成13个半音，从第二个半音开始每一个半音与前一个半音的频率之比为同一个常数，如下表所示，其中表示这些半音的频率，若半音G与的频率之比为，则与A的频率之比为()
频率α5013
半音C C#D D#E F F#G G#A A#B C(八度)
A. B. C.2 D.
6.已知l是双曲线的一条准线，P是l上的一点，是C的两个焦点，若
,则点P到x轴的距离为()
A.2
B.
C.
D.
7.等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为()
A. B.
C.
D.
8.已知圆，圆
，过点两条互相垂直的直线，其中
与圆交于
，
与圆交于
，且
，则
()
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知数列为等比数列，则()
A.数列，
，成等比数列B.数列，，成等比数列
C.数列，
，
成等比数列D.数列
，
，
成等比数列
10.某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径为40mm ，满盘时直径为120mm ，已知该卫生纸的厚度为
，为了求出满盘时卫生纸的总长度l ，下列做法正确的是(
)
A.从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.0,21.1,……,59.9
B.从底面看，可以将绕在盘上的卫生纸看作一组同心圆，由内向外各圈的半径分别是20.05,20.15,·,59.95
C.同心圆由内向外各圈周长组成一个首项为，公差为
的等差数列
D.设卷筒的高度为h ，由等式可以求出卫生纸的总长l
11.已知双曲线，C 的两条渐近线分别为
，点P 为C 右支上任意一点，它到
的距
离分别为，到右焦点的距离为
，则(
)
A.的取值范围为
B.的取值范围为
C.
的取值范围为
D.
的取值范围为
12.如图，已知正方体的棱长为1，分别为正方体中上、下底面的中心，
分别为四个侧
面的中心，由这六个中心构成一个八面体的顶点，则(
)
A.直线与直线
所成角为 B.二面角的正切值为
C.
这个八面体的表面积为 D.
这个八面体外接球的体积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列中，
，则此数列的前8
项和为
.
14.已知数列
的前n 项之和为
，满足
，且
，则
时，on＝
.
15.在正三棱锥
中，O 为底面
的中心，
，，分别在棱
PA,PB,PC 上，且
，圆柱
的上底面是
的内切圆，
下底面在平面ABC 内，则圆柱
的侧面积为
.
16.已知V 为圆锥顶点，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，过点A 作与底面成
的平面，此
平面与圆锥侧面的交线为椭圆，则椭圆的长轴长为
；离心率为
.
四、解答题：本题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.本小题10分)设等差数列
的前n 项和为，已知，S5＝45.
1⑴
求；(若
为
与
的等比中项，求
18.本小题12分)在正四棱锥
中，已知
，
分别为
的中点，平面
ABCD=l.
(1)求证：
；
(求三棱锥
的体积.
平面
19.本小题12分已知数列
满足
且
1⑴
求通项
；
(求数列
的前n 项之和Tn
20.本小题12分)已知椭圆
的离心率为e ，且过点和
(1)求椭圆C 的方程；(2)
若椭圆C 上有两个不同点
关于直线
21.本小题12分
)对称，求
在正四棱柱
中，已知E 为棱的中点.
求证：A1ELBD;
(2)
求与平面
所成角的余弦值.
22.本小题12分
)
,
已知圆,抛物线,过原点作圆C的切线交抛物线于A，且
求抛物线E的方程；
(设P是抛物线E上一点，过点P作圆C的两条切线分别交抛物线E于Q，R，若直线QR的斜率为-1，求P的坐标.
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了直线的斜率与倾斜角的概念，属于基础题.
【解答】
两点坐标为，，
直线的斜率，
因此，直线的倾斜角满足，
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的概念、通项公式及数列前n项和概念，属于基础题.
由可求出，再利用等比数列的通项公式求即可.
【解答】
解：因为，
所以时，，
所以，整理得，又α1=1
所以是以1为首项，2为公比的等比数列，
所以
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了圆锥的表面积公式应用问题，利用条件建立母线和半径之间的关系是解题的关键，属于基础题.
根据题意求得圆锥的底面半径与母线长，再计算圆锥的表面积.
【解答】
解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，
…圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，
,
..r＝1，，
圆锥的表面积为
故选C.
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，属于中档题.
【解答】
如右图，在正方体中，设平面ABCD和平面分别为，
ADCα,B1C1Cβ,则，故A错误；
设平面ABCD和平面分别为，，则
AD,B1C1不平行，故B错误；
设，，，，由图
可知，两个平面不垂直，故C错误；
根据排除法，可选D.
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查等比数列概念，指数运算，属于基础题.
【解答】
解：由题可知：，
又第二个半音开始每一个半音与前一个半音的频率之比为同一个常数，所以为等比数列，且，所以，
所以
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查双曲线的性质，属基础题.
【解答】
解：不妨设l 是右准线，可设点P
坐标为
,由
，可解得
则点P 到x
轴的距离为7.【答案】A 【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项以及累加法的运用，属于中档题.【解答】
根据题意得，
,
解得
,故
≥2
时，
,
故
8.【答案】A 【解析】【分析】
本题考查直线与圆相交弦长问题，属于中档题.【解答】解：设
，
到直线
的距离分别为
，由题意可知，两条直线的斜率均存在，设直线斜率分别为
，则
，
直线
方程分别为
，
由点到直线距离公式可得：
,
又，
，
整理可得，，
所以
,
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质及判断，属基础题.
根据等比数列的性质和举反例逐项进行判定即可.
【解答】解：由等比数列的性质知A显然不对；
对C，当数列为1，，1，，1……时，C选项错误；
对B，可知数列，，每项都不为0，由等比数列性质可知B正确.
对D同理可得.
10.【答案】BCD
【解析】【分析】
该题考查了等差数列的通项公式及等差数列的求和，属中档题.
【解答】
卫生纸的厚度为，可以把绕在盘上的卫生纸近似地看作一组同心圆，
则由内向外各圈的半径组成首项为，公差为的等差数列;
α1＝20.05,d＝0.1，所以，n=400;
显然，各圈的周长组成一个首项为，公差为，项数为400的等差数列;
利用体积相等，可得
11.【答案】CD
【解析】【分析】
本题考查双曲线概念，点到直线距离，两点间距离，及最值问题，属于中档题.
【解答】
解：由题可知，，设，右焦点到渐近线距离为d4渐近线方程为：，
不妨设所对应的直线分别为，
,当且仅当
时等号成立，
d1＋d3≥d4＝了
由双曲线性质，无最小值.
由双曲线对称性，
,
所对应的直线分别为时仍成立.
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查直线与直线所成角的向量求法，二面角的求解，多面体的表面积以及几何体外接球的体积，属于中档题.
可通过建立空间直角坐标系，易得直线与直线所成角为，故A正确;
可通过几何法找到二面角的平面角，通过解三角形可知B错误;
可求得，所以八面体的表面积为，故C正确;
八面体外接球的球心即为四边形的中心，外接球的半径为，八面体外接球的体积为，故D正确.
【解答】
解：如图，以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则,,,,
所以,,
所以，
则直线与所成的角为，故A正确;
连接，，且相交于点O，作，连接，OF，易知平面，由二面角的定义可知，二面角的平面角为，而，
……,所以，故B错误;
,则，
所以这个八面体的表面积为，故C正确;
八面体外接球的球心即为四边形的中心，则外接球的半径为，八面体外接球的体积为，故D 正确.
故选ACD.
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的裂项相消求和，属于基础题.
【解答】
,
前8项和为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等比数列概念，涉及数列前n项和定义，属于基础题.
【解答】
解：，S1=α1=1
{S}是以1为首项，2为公比的等比数列
≥2时，
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆柱侧面积求解，属中档题.
【解答】
解：由，得，易得正的内切圆半径r为
,易得圆柱的高为2，所以圆柱的侧面积为，即
16.【答案】；
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的定义和性质，属于拔高题．利用圆锥轴截面的结构特征，将问题转化为椭圆的简单几何性质.
【解答】
解：设椭圆所在平面为，平面与母线VB交于点C，
则就是与底面所成角，且AC为椭圆的长轴，如图所示，
又是等边三角形，由，，得，故
AC=3，
即椭圆的长轴长为
过椭圆中心O作平行于圆锥底面的截面圆形，交VA
,VB于D，E，交椭圆于两点P，Q，则P，Q即是椭圆
短半轴顶点，在所作的圆中，DE为直径，因为轴截
面是边长为2的正三角形，O为AC的中点
,所以，因为，所
以，由相交弦定理可得，
所以短半轴长为，故，离心率为
17.【答案】解：
设等差数列公差为d，，解得，
α6＝α1＋5d＝15，所以d＝2,α1＝5
an＝α1＋(n-1)×d＝2n＋3
(由题意：，即，
化简得：，
解之得或舍，故M=
【解析】本题考查等差数列通项公式，前n项和公式，及等比中项定义，属于基础题.
18.【答案】解：连结BD，·E,G分别为的中点，
.·.EG//BD，
又面平面ABCD，
..EG/面ABCD，
又面面面，.E G
(连结AC交BD于点O，连结PO，
在正四棱锥中，四边形ABCD为正方形，为正方形中心，
面，又面，，
因为，面，所以面，
即AO为点A到面PBD的距离，，
在中，，，
【解析】本题考查线线平行的证明，三棱锥体积求解，属中档题.
1⑴利用线面平行的判定与性质即可证明；
(利用棱锥的体积公式即可求解.
19.【答案】当n为奇数时，由知数列是公差为2的等差数列，
α2%-1＝α1＋(k-1)×2＝2k-1，为奇数；
当n为偶数时，由知数列是公比为2的等比数列，
为偶数
(记
，
2T1＝22＋3·23＋5·24＋……＋(2n-3)2"＋(2n-1)21
相减得：
【解析】本题考查数列递推关系、等差等比数列判定及通项公式、错位相减求和，属于中档题.20.【答案】解：
由题意知：
学学。

，,
,所以椭圆法一设
及
中点
，由题意知
KAB=-1
,以上两式相减得：
，
可化为：即，故，
又在直线
上，所以，
解得
，
直线
，化简为：
联立
整理得：
由韦达定理知
由弦长公式得：
(⑵
法二设直线
，
联立
，整理得：
,则中点,满足直线方程
,解得
m=
下同法一.
【解析】本题考查椭圆方程、相交弦长，属于中档题.21.【答案】解：连结AC 交BD 于点O ，连结A1C1.
在正四棱柱中，
面
，
又面ABCD.·.AA1LBD
…四边形为正方形，.·.BD⊥AC
又
面
面
又
面
AA1CC
(由
知：面
，又平面，，
又
，
为直线与平面
所成的平面角，正四棱柱中，
，
分别在中，
解得所以，
故
与平面
所成角的余弦值为
【解析】本题考查线线垂直的证明，线面夹角的求解，属较难题.22.【答案】解：
设直线
，
由对称性，不妨取
，
解得
,
,解得：
,
解得：
，抛物线设
，满足
，设
满足
，
,即
，
直线，
化为一般式为：，
由题意知：，
化简得：；
同理，
故为方程的两根
化简整理为：，
由韦达定理知：，解得，
或P(2,4)
【解析】本题考查直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系，属于较难题.。