2019年普通高等学校招生全国统一考试 高考模拟调研卷理科数学(一)

2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷理科数学(一)
2019年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷-理科数学（一）
本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合A={x|-3x+2≤0}，B={x|x²-x≥0}，则A∩B的取值范围是（B）[-1,0)
2.设复数z满足z+2i=1+i，则z的值为（C）2/3-4i/3
3.一组数据：1，3，5，7，9，11，则这组数据的方差是（B）10
4.若二项式(ax+3)的展开式的常数项为160，则实数a的
值为（C）3
5.若函数f(x)=a+x-log₅3的零点落在区间(k,k+1)(k∈Z)内，若2a=3，则k的值为（D）1
6.设p:4>2；q:log₂x -1
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差为3，a₅=14，
若Sm+2=Sm+37，则m的值为（B）6
8.宋元时期数学名著《算术启蒙》中关于“松竹并生”的问题：a≤b。

松长四尺，竹长一尺，松日自半，竹日自倍，松竹
何日而长等。

如图是根据此问题设计的一个程序框图，若输入
a=4，b=1，则输出的n=2.
9.函数f(x)=3cosx-xe，x∈[-π/2,π/2]的图象大致是（D）
10.若存在实数x，y满足不等式组{x-2y-2≥0.x+3y-
2≥0.2x+y-9≤0.y=logₐx}，则实数a的取值范围是{a|a≥2}
11.已知函数f(x)=x³-3x²+2x+1，g(x)=x³-2x²-5x+6，则f(x)
与g(x)的零点个数之和为（C）4
12.已知函数f(x)=sinx+cosx，g(x)=2cosx，则f(x)与g(x)的
零点个数之和为（A）3
注：第11、12题已被删除。

1)过抛物线y=-2px(p>0)的焦点F的直线l(斜率小于0)交
该抛物线于P，Q两点，已知PQ=5FQ(Q在x轴下方)，且三
角形POQ(O为坐标原点)的面积为10，则p的值为（A）22.（解析：由于Q在x轴下方，所以PQ=5FQ=5p，设
P(x1,y1),Q(x2,y2)，则有y1=-2px1,y2=-2px2，又F(0,-p)，所以PQ=|y2-y1|=2p|x2-x1|=5p，即|x2-x1|=2.5，又由于三角形POQ
面积为10，所以|y1-y2|*x1/2=10，解得x1=5，x2=2.5，代入
y1=-2px1中可得p=22.）
2)若函数f(x)=e^(ax+3)，函数y=f(f(x))-2有5个不同的零点，则实数a的取值范围是（B）(-e,e)。

（解析：因为f(x)>0，所以f(f(x))>0，所以y=f(f(x))-2的零点个数等于f(f(x))=2的零
点个数。

又f(x)=2时，ax+3=ln2，所以x=(ln2-3)/a，所以
f(x)=(2-e^(-3))/e^a，所以a>0，又因为f(x)单调递增，所以2-
e^(-3)<f(x)<e^3-2，所以a<ln(e^3-2)≈1.1，综上所述，a的取值
范围为(-e,e)。

）
3)平面内的三点A，B，C满足：|AB|=1，|BC|=2，|AC|=3，则AB·AC=5.（解析：设AB的中点为M，则AM=1/2，由勾
股定理可得AC^2=BC^2+AB^2=5，所以AB·AC=1/2·AC^2=5.）
4)甲、乙、丙、丁四名学生参加4×100接力比赛，已知丙
不跑第一棒，甲、乙之间不进行接棒传递，则他们四人不同的参赛方案种数为12.（解析：因为丙不跑第一棒，所以第一棒
只能由甲、乙、丁中的一个来跑，所以有3种情况。

如果甲跑第一棒，那么乙只能跑第二棒，丁只能跑第三棒，所以只有1
种情况。

如果乙跑第一棒，那么甲可以跑第二棒或第三棒，丁只能跑第四棒，所以有2种情况。

如果丁跑第一棒，那么甲可以跑第二棒或第三棒，乙只能跑第四棒，所以有2种情况。

所以总共有3+1+2+2=12种情况。

）
5)已知点M(-2,0)，N(2,2)，若圆C:(x-4)^2+(y-1)^2=r(r>0)
上有且仅有一点P，使得PM·PN=π，则r的值为π/2.（解析：
因为圆C上有且仅有一点P，使得PM·PN=π，所以P在以
MN为直径的圆上。

设圆C与以MN为直径的圆的交点分别为P、Q，则PM·PN=π=QM·QN，所以P和Q在以MN为直径的
圆上对称。

因为P在(x-4)^2+(y-1)^2=r上，所以Q在
(x+4)^2+(y-3)^2=r上。

又因为Q在以MN为直径的圆上，所
以Q的横坐标为0，纵坐标为1，解得r=π/2.）
6)已知函数f(x)=sin(ωx+π/2)(ω>0)在(-π/2,π/2)上单调递增，则ω的取值范围是(0,∞)。

（解析：因为f(x)在(-π/2,π/2)上单调
递增，所以f'(x)=ωcos(ωx+π/2)>0，即cos(ωx+π/2)>0.因为
c os(ωx+π/2)的周期为π/ω，所以ω的取值范围是(0,∞)。

）
Ⅱ）从上述业主不满意的问卷中采用分层抽样的方式抽取一个容量为16的样本。

如果从样本中随机抽取3份问卷，记
为物管服务不好的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望。

参考数据：
P(K2≥k)0.050
3.841
0.010
6.635
0.001
10.828
ξ=2
n(ad−bc)2
ξ=，ξ=ξ+ξ+ξ+ξ
a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
改写：
从不满意的业主问卷中，使用分层抽样的方法选取了一个容量为16的样本。

如果从样本中随机抽取3份问卷，记为物管服务不好的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望。

已知数据：
P(K2≥k)0.050
3.841
0.010
6.635
0.001
10.828
ξ=2
n(ad−bc)2
ξ=，ξ=ξ+ξ+ξ+ξ
a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
19）（本小题满分12分）
非等边三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA-sinB=(a-c)sinC，B=
Ⅰ）求三角形ABC的外接圆半径；
Ⅱ）若三角形ABC的面积为22ξ/33，求三角形ABC的
周长。

改写：
在非等边三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c。

已知sinA-sinB=(a-c)sinC，B=
Ⅰ）求三角形ABC的外接圆半径；
Ⅱ）若三角形ABC的面积为22ξ/33，求三角形ABC的周长。

8
x2y22
1)．已知椭圆C:
2
2
1（a>b>0）的离心率为ξ，且过点P(2，2ξξ
Ⅰ）求椭圆C的方程；
Ⅱ）直线l与圆x+y=1相切且与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求三角形OAB的面积的取值范围。

改写：
已知椭圆C: 2ξ^2/ξ^2+2ξ^2/ξ^2=1（ξ>ξ>0）的离心率为ξ，且过点P(2，2ξξ
Ⅰ）求椭圆C的方程；
Ⅱ）直线l与圆x+y=1相切且与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，求三角形OAB的面积的取值范围。

22
ByAOx
21）（本小题满分12分）
已知函数f(x)=lnx+k与函数g(x)=3x^2/e的图象有两个不同交点.
Ⅰ）求实数k的取值范围；
Ⅱ）若两个不同交点的横坐标分别为x1，x2，证明：
x1+x2<2e.
改写：
已知函数f(x)=lnx+k与函数g(x)=3x^2/e的图象有两个不同交点.
Ⅰ）求实数k的取值范围；
Ⅱ）若两个不同交点的横坐标分别为x1，x2，证明：
x1+x2<2e.
22）（本小题满分10分）
选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为
ξ=2cosξ，直线l的参数方程为{x=1+tcosα，y=1+tsinα}（t为参数，α∈[0，π)）.
Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；
Ⅱ）设曲线C与直线l交于A、B两点，若AB=2，求α.
23）（本小题满分10分）
选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式(x-2)-(t+1)|x-2|≤2，的解集为[0，4]。

Ⅰ）求实数t的值；
Ⅱ）若两个正数a，b的最小值ab≥t，求a^2+b^2的最小值.。