(好题)初中数学八年级数学上册第二单元《实数》测试(答案解析)

一、选择题
1．下列式子是最简二次根式的是（ ）
A ．2
B ．4
C ．12
D ．12
2．下列命题是真命题的是（ ）
A ．同位角相等
B ．算术平方根等于自身的数只有1
C ．直角三角形的两锐角互余
D ．如果22a b =，那么a b = 3．一个边长为bcm 的正方形的面积与一个长为8cm 、宽为5cm 的长方形的面积相等，则b 的值在（ ）
A ．3与4之间
B ．4与5之间
C ．5与6之间
D ．6与7之间 4．若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如图，则输出结果应为
（ ）
A ．8
B ．4
C ．12
D ．14
5．下列计算中，正确的是（ ）
A ．
()()()22253532-=-= B ．()3710101010+⨯=⨯= C ．()()a b a c a bc +-=- D ．()()
3232321+-=-= 6．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简代数式2-a b a +的结果是（ ）．
A ．-b
B ．2a
C ．-2a
D ．-2a-b 7．已知 ||3a =，216b =，且0a b +<，则代数式-a b 的值为（ ） A ．-1或-7 B ．1或-7 C ．1或7 D ．±1或7± 8．下列说法中不正确的是（ ）
A ．0是绝对值最小的实数
B ．()222-=
C ．3是9的一个平方根
D ．负数没有立方根
9．如图，点A 表示的数可能是（ ）
A 21
B 6
C 11
D 17
10．下列叙述中，①1的立方根为±1；②4的平方根为±2；③－8立方根是－2；④116的算术平方根为14．正确的是（ ） A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④ D ．②③④ 11．估计()122+432⨯
的值应在（ ） A ．4和5之间 B ．5和6之间 C ．6和7之间 D ．7和8之间 12．下列说法中正确的是（ ）
A ．使式子3x +有意义的是x ＞﹣3
B ．使12n 是正整数的最小整数n 是3
C ．若正方形的边长为310cm ，则面积为30cm 2
D ．计算3÷3×1
3的结果是3
二、填空题
13．实数a 、b 在数轴上所对应的点如图所示，则|3﹣b |+|a +3|+2a 的值_____．
14．若202120212a b -++=，其中a ，b 均为整数，则符合题意的有序数对(),a b 的组数是______．
15．计算：1246
6-的结果是_____． 16．化简：()2223x x --=______
17．对于有理数a ，b ，定义min{,}a b 的含义为：当a b <时，min{,}a b a =；当a b >时，min{,}a b b =．例如：min{1,22}-=-，min{3,1}1-=-．已知
min{21,}21a =min{21,}b b =，且a 和b 是两个连续的正整数，则
a+b =_____．
18．已知b>032a b -=_____．
19．已知223y x x =--，则xy 的值为__________．
20．有一个正方体的集装箱，原体积为364m ，现准备将其扩容以盛放更多的货物，若要使其体积达到3125m ，则它的棱长需要增加__________m ．
三、解答题
21．计算：
（123234
（2）12－3×
13
＋38-－（π＋1）0×1()3－ 22．计算： （1）|3﹣5|﹣16；
（2）（2﹣3）0+（﹣12
）﹣2﹣364． 23．张老师在与同学进行“蚂蚁怎样爬路程最短”的课题研究时设计了以下两个问题，请你根据下列所给的条件分别求出蚂蚁需要爬行的最短路程的长．
（1）如图①，正方体的棱长为5cm ，一只蚂蚁欲从正方体底面上的点A 处沿着正方体表面爬到点1C 处；
（2）如图②，正四棱柱的底面边长为5cm ，棱长为6cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的点A 处沿着棱柱表面爬到1C 处．
24．（1）求x 的值：29x =
（222348(3)
25．阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于1-，记作21i =-，那么这个i 就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为a bi +（a ，b 均为实数）的形式，其中a 叫做它的实部，b 叫做它的虚部． 复数的加､减､乘的运算与我们学过的整式加､减､乘的运算类似．
例如计算：()()()()62362382i i i i i ++-=++-=-．
根据上述材料，解决下列问题：
（1）填空：3i ______，6i =_________；
（2）计算：2(32)i +；
（3）将32i i
+-化为a bi +（a ，b 均为实数）的形式（即化为分母中不含i 的形式）． 26．已知3m -的平方根是6±，3343n +=，求m n +的算术平方根．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据最简二次根式的定义即可求出答案．
【详解】
解：A是最简二次根式，A正确，故符合题意；
B=2不是最简二次根式，B错误，故不符合题意；
C=C错误，故不符合题意；
D
不是最简二次根式，D错误，故不符合题意；
2
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式的定义．
2．C
解析：C
【分析】
根据同位角的定义、算术平方根的意义、直角三角形的性质、等式的性质判断即可．
【详解】
解：A、同位角不一定相等，原命题是假命题；
B、算术平方根等于自身的数有1和0，原命题是假命题；
C、直角三角形两锐角互余，是真命题；
D、如果a2=b2，那么a=b或a=-b，原命题是假命题；
故选：C．
【点睛】
本题考查了命题的真假判断，包括同位角的定义、算术平方根的意义、直角三角形的性质、等式的性质，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理，难度适中．
3．D
解析：D
【分析】
由于边长为bcm的正方形的面积与长、宽分别为8cm、5cm的长方形的面积相等，根据面积公式列出等量关系式，由此求出b的值，再估计b在哪两个整数之间即可解决问题．【详解】
解：∵边长为bcm的正方形的面积与长、宽分别为8cm、5cm的长方形的面积相等，
∴b2=5×8=40，
，
∵36＜40＜49，
∴67．
故选：D．
【点睛】
本题考查了无理数的估算，现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
4．D
解析：D
【分析】
根据2ndf键是功能转换键列算式，然后解答即可．
【详解】
1
==．
4
故选：D．
【点睛】
本题考查了利用计算器进行数的开方，是基础题，要注意2ndf键的功能．
5．D
解析：D
【分析】
根据二次根式的性质逐一判断即可；
【详解】
222
=-=-A错误；
8
=B错误；
=a C错误；
=-=，故D正确；
321
故答案选D．
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质，结合平方差公式和完全平方公式计算是解题的关键．6．A
解析：A
【分析】
根据数轴得b<a<0，判断a+b<0，即可化简绝对值及二次根式，计算加减法即可得到答案．【详解】
由数轴得b<a<0，
∴a+b<0，
∴a b
+
=-a-b+a
=-b ，
故选：A ．
【点睛】
此题考查数轴与数的表示，利用数轴比较数的大小，化简绝对值，化简二次根式，依据数轴化简绝对值及二次根式是解题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
分别求出a 与b 的值，再利用0a b +<这一条件判断出a 、b 的值，进而分情况讨论即可解题．
【详解】 解 ||3a =，216b =，
3,4a b ∴=±=±，
0a b +<，
3,4a b ∴==-或3,4a b =-=-，
7a b ∴-=或1，
故选C ．
【点睛】
本题考查了去绝对值和求平方根，正确的确定a 、b 的值是解答本题的关键．
8．D
解析：D
【分析】
根据实数，平方根和立方根的概念逐一判断即可．
【详解】
0的绝对值是0，负数的绝对值为正数，正数的绝对值为正数，正数大于0，故A 正确；
2，故B 正确；
9的平方根是3±，故C 正确；
任何数都有立方根，故D 错误；
故选D ．
【点睛】
本题考查了实数的概念，求一个数的平方根或立方根，熟练掌握平方根和立方根的概念是本题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
先确定点A 表示的数在3、4之间，再根据夹逼法逐项判断即得答案．
【详解】
解：点A 表示的数在3、4之间，
A、因为12
<<，所以213
<<，故本选项不符合题意；
B<<23
<<，故本选项不符合题意；
C<，所以34
<<，故本选项符合题意；
D<<，所以45
<<，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】
本题考查了实数与数轴以及无理数的估算，属于常见题型，正确理解题意、熟练掌握基本知识是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
分别求出每个数的立方根、平方根和算术平方根，再判断即可．
【详解】
∵1的立方根为1，∴①错误；
∵4的平方根为±2，∴②正确；
∵−8的立方根是−2，∴③正确；
∵1 16的算术平方根是
1
4
，∴④正确；
正确的是②③④，
故选：D．
【点睛】
本题考查了平方根、算术平方根和立方根．解题的关键是掌握平方根、算术平方根和立方根的定义．
第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
11．C
解析：C
【分析】
原式利用二次根式乘法运算法则计算得到结果，估算即可．
【详解】
解：(2＋
∵16＜24＜25，即4
2＜2＜52，
∴4＜＜5，
∴6＜2＋＜7，
∴(
6和7之间．
故选：C．
【点睛】
此题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．B
解析：B
【分析】
直接利用二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算法则分别计算得出答案．
【详解】
A有意义的是x≥﹣3，故此选项错误；
B n是3，故此选项正确；
C、若正方形的边长为cm，则面积为90cm2，故此选项错误；
D、
的结果是1，故此选项错误；
故选：B．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的乘除运算，正确掌握相关定义是解题的关键；
二、填空题
13．﹣2a﹣b【分析】直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案【详解】解：由数轴可得：a＜﹣0＜b＜故|﹣b|+|a+|+＝﹣b﹣（a+）﹣a＝﹣b ﹣a﹣﹣a＝﹣2a﹣b故答案为：﹣2a﹣b【
解析：﹣2a﹣b
【分析】
直接利用数轴结合绝对值以及平方根的性质化简得出答案．
【详解】
解：由数轴可得：a0＜b，
故﹣b|+|a
b﹣（a）﹣a
b﹣a﹣a
＝﹣2a﹣b．
故答案为：﹣2a﹣b．
【点睛】
此题主要考查了实数的运算以及实数与数轴，正确化简各式是解题关键．
14．5【分析】由绝对值和算术平方根的非负性求出ab所有的可能值即可得到
答案【详解】解：∵且均为整数又∵∴可分为以下几种情况：①解得：；②解得：或；③解得：或；∴符合题意的有序数对共由5组；故答案为：5【 解析：5
【分析】
由绝对值和算术平方根的非负性，求出a 、b 所有的可能值，即可得到答案．
【详解】
解：∵20212a -=，且a ，b 均为整数，
又∵20210a -≥0≥，
∴可分为以下几种情况：
①20210a -=2=，
解得：2021a =，2017b =-；
②20211a -=1=，
解得：2020a =或2022a =，2020b =-；
③20212a -=0=
解得：2019a =或2023a =，2021b =-；
∴符合题意的有序数对(),a b 共由5组；
故答案为：5．
【点睛】
本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，解题的关键是掌握非负的性质进行解题．
15．【分析】化简成最简二次根式后合并同类二次根式即可【详解】==2-=故答案为:【点睛】本题考查了最简二次根式同类二次根式熟练进行最简二次根式的化简是解题的关键
．
【分析】
化简成最简二次根式，后合并同类二次根式即可．
【详解】
=6
，
故答案为．
【点睛】
本题考查了最简二次根式，同类二次根式，熟练进行最简二次根式的化简是解题的关键．16．-1【分析】根据二次根式有意义的条件求出的范围再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简即可得到答案【详解】由可知故答案为：【点睛】本题考查了二次根式化简求值正确掌握二次根式有意义的条件二次根式的性质绝
解析：-1
【分析】
根据二次根式有意义的条件，求出x的范围，再根据二次根式的性质和绝对值的性质化简，即可得到答案．
【详解】
20
x
-≥，
∴2
x≤，
30
x
∴-<
2
23
x x
-=---，
∴()
2323231
x x x x x x
---=---=--+=-
故答案为：1
-．
【点睛】
本题考查了二次根式化简求值，正确掌握二次根式有意义的条件，二次根式的性质，绝对值的性质是解题关键．
17．9【分析】根据新定义得出ab的值再求和即可【详解】解：
∵min{a}=min{b}=b∴＜ab＜又∵a和b为两个连续正整数∴a=5b=4则a+b=9故答案为：9【点睛】本题主要考查了算术平方根和实数
解析：9
【分析】
根据新定义得出a，b的值，再求和即可．
【详解】
解：∵，b}=b，
∴
a，b
又∵a和b为两个连续正整数，
∴a=5，b=4，
则a+b=9．
故答案为：9．
【点睛】
本题主要考查了算术平方根和实数的大小比较，正确得出a，b的值是解题关键．18．【分析】先由二次根式的被开方数为非负数得出≥0结合已知条件b＞0根据有理数乘法法则得出a≤0再利用积的算术平方根的性质进行化简即可【详解】解：∵≥0b＞0∴a≤0故答案为：【点睛】本题主要考查了二次
解析：-
【分析】
先由二次根式的被开方数为非负数得出32a b -≥0，结合已知条件b ＞0，根据有理数乘法法则得出a≤0，再利用积的算术平方根的性质进行化简即可．
【详解】
解：∵32a b -≥0，b ＞0，
∴a≤0，
a =⋅=-
故答案为：-
【点睛】
本题主要考查了二次根式的性质与化简，难度适中，得出a≤0是解题的关键．
19．6【分析】根据二次根式有意义的条件可得关于x 的不等式组进而可求出xy 然后把xy 的值代入所求式子计算即可【详解】由题意得：所以x=2当x=2时y=3所以故答案为：6【点睛】本题考查了二次根式有意义的条
解析：6
【分析】
根据二次根式有意义的条件可得关于x 的不等式组，进而可求出x 、y ，然后把x 、y 的值代入所求式子计算即可．
【详解】
由题意得：2020
x x -≥⎧⎨-≥⎩，所以x=2， 当x=2时，y=3，
所以236xy =⨯=．
故答案为：6．
【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件、代数式求值和一元一次不等式组，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键．
20．1【分析】先根据正方体的体积得出其棱长再求出体积达到125m3时的棱长进而可得出结论【详解】解：设正方体集装箱的棱长为a ∵体积为
64m3∴a==4m ；设体积达到125m3的棱长为b 则b==5m ∴b-
解析：1
【分析】
先根据正方体的体积得出其棱长，再求出体积达到125m 3时的棱长，进而可得出结论．
【详解】
解：设正方体集装箱的棱长为a ，
∵体积为64m 3，
∴
=4m ；
设体积达到125m 3的棱长为b ，则，
∴b-a=5-4=1（m ）．
故答案为：1．
【点睛】
本题考查的是立方根，熟知正方体的体积公式是解题的关键．
三、解答题
21．（1）1；（2）2-
【分析】
（1）先用平方差进行计算，再合并；
（2）先化简各数再计算．
【详解】
解：（1－=2-3+2
=1．
（2－
π＋1）0×1－
==-2．
【点睛】
本题考查了二次根式的计算和0指数与负指数，解题关键是明确0指数和负指数的意义，准确熟练的运用二次根式运算法则进行计算．
22．（1）1--2） 1．
【分析】
（1）直接根据绝对值和算术平方根的性质分别化简即可得出答案；
（2）直接根据0指数幂，负整数指数幂，立方根的性质分别化简即可得出答案．
【详解】
解：（1）|3341-=-
（2）（2）0+（﹣
12
）﹣2=1+4-4=1． 【点睛】
本题考查了实数的运算，0指数幂，负整数指数幂等知识，熟练掌握相关知识点是解题关键．
23．（1）；（2）
【分析】
（1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连结1AC ，两点之间线段最短， AC 1是最短路径，利用勾股定理求AC 1即可；
（2）分两种情况讨论：①将正四棱柱的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连结1AC ，两点之间线段最短， AC 1是最短路径，利用勾股定理求AC 1，②将正四棱柱的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连结1AC ，两点之间线段最短， AC 1是最短路径，利用勾股定理求AC 1比较两种方法之下的AC 1，确最短的即可．
【详解】
（1）将正方体的右侧面翻折，使它与前面在同一平面内，连结1AC ，
两点之间线段最短， AC 1是最短路径， 如图所示，2211AC AC CC =+22(55)555(cm)=++=）；
（2）分两种情况讨论：
①将正四棱柱的右面翻折，使它与前面在同一平面内，连结1AC ，
两点之间线段最短， AC 1是最短路径， 如答图所示，有222211106AC AC CC =+=+136(cm)=．
②将正四棱柱的上面翻折，使它与前面在同一平面内，连结1AC ，
两点之间线段最短， AC 1是最短路径，
如答图所示222211511146(cm)AC AB BC =+=+=．
146136>136cm ，即最短路程为34cm ．
【点睛】
本题考查正方体中最短路径，底面是正方形的四棱柱最短路径，都应用两点之间线段最短，找出最短路径，用勾股定理来解决路径长，在进行实数大小比较是解题关键． 24．（1）3x =±；（2）5．
【分析】
（1）根据平方根的定义求解即可；
（2）先计算算术平方根、立方根和平方，再计算加减即可．
【详解】
解：（1）29x = x=9
3x =±；
（222348(3)
=4-2+3
=5．
【点睛】
此题主要考查了求一个数的平方根及实数的运算，解题的关键是熟练掌握平方根的定义以及算术平方根、立方根和平方性质．
25．（1）i -，1-；（2）512i +；（3）1i +
【分析】
（1）根据21i =-，则i 3=i 2•i ，i 4=i 2•i 2，然后计算；
（2）根据完全平方公式计算，出现i 2，化简为-1计算；
（3）分子分母同乘以(2)i +后，把分母化为不含i 的数后计算．
【详解】
解：（1）∵21i =-，∴321i i i i i =⋅=-⋅=-，6222i i i i 1(1)(1)1=⋅⋅=-⋅-⋅-=-．
故答案为：,1i --；
（2）222(32)31249124512i i i i i +=++=+-=+；
（3）223(3)(2)655512(2)(2)45
i i i i i i i i i i i ++++++====+--+-． 【点睛】
本题考查了实数的运算，以及完全平方公式的运用，能读懂题意是解此题的关键，解题步骤为：阅读理解，发现信息；提炼信息，发现规律；运用规律，联想迁移；类比推理，解答问题．
26．m n +的算术平方根为
【分析】
根据算术平方根和立方根的定义列式求出m 、n 的值，然后代入代数式求出m ＋n 的值，再根据算术平方根的定义解答．
【详解】
解：∵3m -的平方根是6±，
∴23(6)m -=±，
∴39m =， ∵
3=，
∴3427n +=，
∴6n =，
∴m n +
==．
【点睛】
本题考查了算术平方根和平方根、立方根的定义，是基础题，熟记概念并列式求出m 、n 的值是解题的关键．。