高中数学 1.3.1推出与充分条件、必要条件(二)同步训练

1.3.1 推出与充分条件、必要条件(二)
一、基础过关
1．“x ，y 均为奇数”是“x ＋y 为偶数”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a∥b ”的
( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．一次函数y ＝－m n x ＋1n
的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是( ) A ．m >1，且n <1
B ．mn <0
C ．m >0，且n <0
D ．m <0，且n <0
4．平面α∥平面β的一个充分条件是
( ) A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥β
B ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥β
C ．存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α
D ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α
5．设p ：|x |>1，q ：x <－2或x >1，则綈p 是綈q 的
( ) A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．在△ABC 中，“△ABC 为钝角三角形”是“AB →·AC →<0”的
( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
二、能力提升
7．已知p ：12
≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)>0，若p 是綈q 的充分不必要条件，则实数
a 的取值范围是____________．
8．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题：
①“a ＝b ”是“ac ＝bc ”的充要条件；②“a ＋5是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a >b ”是“a 2>b 2”的充分条件；④“a <5”是“a <3”的必要条件． 将所有正确命题的序号填在横线上________．
9．设A 是B 的充分不必要条件，C 是B 的必要不充分条件，D 是C 的充要条件，则D 是A 的__________条件．
10．已知命题p ：x －5x －3
≥2；命题q ：x 2－ax ≤x －a .若綈p 是綈q 的充分条件，求实数a 的取值范围．
11．若p 是r 的充分不必要条件，r 是q 的必要条件，r 又是s 的充要条件，q 是s 的
必要条件，则
(1)s 是p 的什么条件？(2)r 是q 的什么条件？
12. 求证：一元二次方程ax 2
＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.
三、探究与拓展
13．命题p ：－2<m <0,0<n <1；命题q ：关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正
根．试分析p 是q 的什么条件．
答案
1．A 2．A 3．B 4．D 5．A 6．B
7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 8．②④
9．必要不充分
10．解 ∵p ：
x －5x －3≥2，∴x －1x －3≤0，即1≤x <3. 又∵q ：x 2－ax ≤x －a ，∴x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0.
(1)当a <1时，a ≤x ≤1；
(2)当a ＝1时，x ＝1；
(3)当a >1时，1≤x ≤a .
∵綈p 是綈q 的充分条件，∴q 是p 的充分条件．
设q 对应的集合为A ，p 对应的集合为B ，则A ⊆B .
当a <1时，A ⃘B ，不合题意；当a ＝1时，A B .符合题意；当a >1时，1≤x ≤a ，要使A ⊆B ，则1<a <3.综上，符合条件的a ∈[1,3)．
11．解 (1)由题意知，p 、q 、r 、s 之间的关系如图．
∵p ⇒r ⇔s ，s ⇔rD ⇒/p ，∴p ⇒s ，sD ⇒/p .
∴s 是p 的必要不充分条件．
(2)∵r ⇔s ⇒q ，∴r ⇒q .
又∵q ⇒r ，∴r 是q 的充要条件．
12. 证明 充分性：(由ac <0推证方程有一正根和一负根)
∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0.∴方程一定有两不等实根，设为x 1，x 2，
则x 1x 2＝c a <0，∴方程的两根异号．
即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．
必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac <0)
∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，设为x 1，x 2，
则由根与系数的关系得x 1x 2＝c a
<0，即ac <0，
综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.
13．解 若关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0有两个小于1的正根，设为x 1，x 2，则0<x 1<1,0<x 2<1， 有0<x 1＋x 2<2且0<x 1x 2<1.
根据根与系数的关系⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－m ，x 1x 2＝n ，得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<－m <2，0<n <1，
即－2<m <0,0<n <1，故有q ⇒p .
反之，取m ＝－13，n ＝12，x 2－13x ＋12＝0，Δ＝19－4×12
<0，方程x 2＋mx ＋n ＝0无实根，所以pD ⇒/q .
综上所述，p 是q 的必要不充分条件．。