辽宁省大连市高三上学期名校联考——数学(文)数学文

辽宁省大连市（鞍山一中，东北育才中学，辽宁省实验中学，大连市第八中学，大连市二十四中学，大连市四十八中学）
2014—2015学年度上学期期末考试高三年级
数学科（文科）参考答案
二．填空题 13. 200 14. （1）（3） 15. 16. 10
三．解答题
17、本小题满分12分
解：（1）从茎叶图可以得到：甲班的平均分为89分；乙班平均分为89分。

甲班的方差>乙班的方差
所以甲乙两班平均分相同，但是乙班比甲班成绩更集中更稳定。

……（5分） （本小问只要学生说出两点以上分析内容就可以给分）
（2）由茎叶图可知甲班有4人成绩及格，乙班有5人成绩及格即共有9人成绩及格 从中随机抽取两人，共有36中取法（列举过程省略）
恰好都是甲班学生的有6中取法
所以所求概率为 ……………………（12分）
18、本小题满分12分
解:（1）当n=1时，，所以a 1=16
23n a n n +=+ 21(1)3(1)n a n n -+=-+- 两式相减得：
所以
因为n=1时，a 1=16满足上式。

所以 (n ∈N *) …………………（6分）
（2）由（1）知()24211
n n n n a b n n ⋅==⋅++ 所以()123422232421n n S n ⎡⎤=⋅+⋅+⋅++⋅+⎣
⎦ 所以()23412422232421n n S n +⎡⎤=⋅+⋅+⋅++⋅+⎣⎦
两式做差得：()()()123113
42222221212.......422112.......2n n n n n n S n n n +++⎡⎤-=⋅++++-⋅+⎣⎦
⎡⎤-⎢⎥=+-⋅+-⎢⎥⎣⎦
=-⋅
所以(n∈N*)………………（12分）
19、本小题满分12分
证明：（1）底面平行四边形ABCD中，连接AC,BD
因为AB=AD,，所以ACBD
又DD1平面ABCD，所以DD1AC，所以AC平面BDD1，
又因为四棱台ABCD-A1B1C1D1中，侧棱DD1与BB1延长后交于一点，
所以平面BDD1，所以ACBB1。

即BB1AC 。

…………（6分）
（2）因为四边形ABCD为平行四边形，所以
由棱台定义及AB=AD=2A1B1知D1B1//DO，且D1B1=DO，
所以边四形D1B1OD为平行四边形，所以DD1//B1O 。

因为DD1平面ABCD，所以B1O平面ABCD，即B1OAO, B1OBO
由（1）知ACBD于点O,即AOBO
所以三棱锥B1-ABO外接球的直径就是以OA,OB,OB1为三条棱的长方体的体对角线,长为
=R=
所以外接球体积为
3
3
44
333
V R
ππ
===.……………（12分）
20、本小题满分12分
解：（1）当a=2时，
1
()ln2,(0,)
f x x x x
x
=++∈+∞
2
222
1121(21)(1)
()
x x x x
f x a
x x x x
+--+
'=-+==
令，则x=-1或x=
当()()
11
0,0;,0
22
x f x x f x
⎛⎫⎛⎫
''
∈<∈+∞>
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
时，当时，
所以f(x)在处取到最小值，最小值为。

无最大值。

…………（4分）
（2）
2
22
111
()
ax x
f x a
x x x
+-
'=-+= ,x [1，+）
显然a0时， 0，且不恒等于0，所以函数f(x)在[1，+）上是单调增函数，符合要求。

当a<0时，令g(x)=ax2+x-1, 当x+时g(x) x-时,
所以函数f(x)在[1，+）上只能是单调减函数。

所以0或
(1)0
1
1
2
g
a
⎧
⎪∆>
⎪
≤
⎨
⎪
⎪-≤
⎩
，解得
综上：满足条件的a 的取值范围是。

…………（8分）
（3）不存在满足条件的正实数a 。

因为
由 （2）知，a>0时f(x)在[1，+）上是单调增函数，
所以f(x)在[1，2]上是单调增函数。

所以对于任意，f(1) f(x 1 ) f(2)，即f （x 1）11,ln 222a a ⎡
⎤∈+++⎢⎥⎣⎦
; ()
()22221()1x g x x -'=+，当时，，所以g(x)在[1,2]上是单调减函数。

所以当时，
若对于任意，总存在，使得f(x 1)=g(x 2)成立，则，此时a 无解。

所以不存在满足条件的正实数a 。

…………（12分）
21、本小题满分12分
解：（1）椭圆方程 … …………………（2分）
（2）当直线L 与x 轴垂直时，B 1(1，),B 2(1，-),又F 1(-1,0),
此时，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1。

不满足条件。

当直线L 不与x 轴垂直时，设L ：y=k(x-1)
由()222222(1)348412014
3y k x k x k x k x y =-⎧⎪+-+-=⎨+=⎪⎩即 因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点。

设B 1(x 1,y 1)，B 2（x 2,y 2）,则22121222
8412,3434k k x x x x k k -+==++ 因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1，所以，又F 1(-1，0)
所以（-1-x 1）(-1-x 2)+y 1y 2=0，即（1+k 2）x 1x 2+(1-k 2)(x 1+x 2)+1+k 2=0
所以解得
由得k 2x 2-(2k 2+4)x+k 2=0
因为直线L 与抛物线有两个交点，所以
设A 1(x 3,y 3) ，A 2(x 4,y 4)，则23434222442,1k x x x x k k
++==+= 所以12342464229
A A x x p k =++=++= …………(8分) （3）存在定圆,使得与恒相切，
其方程为：(x+1)2+y 2=16,圆心是左焦点F 1.
由椭圆的定义可知：121224,4MF MF a MF MF +==∴=- 所以两圆相内切。

……………………（12分）
22、本小题满分10分
解： 连接OD ，BC ，设BC 交OD 于点M.
因为OA=OD,所以OAD=ODA;又因为OAD=DAE,所以ODA=DAE
所以OD//AE ；又 因为ACBC,且DEAC ，所以BC//DE 。

所以四边形CMDE 为平行四边形，所以CE=MD
由，设AC=3x ，AB=5x,则OM=，又OD=,所以MD=-=x
所以AE=AC+CE=4x
因为OD//AE ，所以=4855
2
AE x OD x ==。

23、本小题满分10分
解：曲线C 的直角坐标方程为y 2=2ax (a>0)
将直线l
的参数方程化为2,2(4.2x t t y t ⎧'=-+⎪⎪'⎨⎪'=-+⎪⎩
为参数） 代入曲线C
的直角方程得：()
2116402t t a ''-++= 因为交于两点，所以，即a>0或a<-4.
设交点M,N 对应的参数分别为.
则()()12122,2164t t t t a ''''+==+ 若成等比数列,则
解得a=1或a=-4(舍)
所以满足条件的a=1。

…………………… （10分）
24、本小题满分10分
解：（1）由题设知：，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
，或，或
解得函数的定义域为；…………（5分）
（2）不等式即421+≥-++m x x ， 时，恒有3)2()1(21=--+≥-++x x x x ， 不等式421+≥-++m x x 解集是R ，
的取值范围是 …………（10分）。