图像处理01

第三章 图像变换
2 傅里叶变换的条件 傅里叶变换在数学上的定义是严密 的，它需要满足如下狄利克莱条件： (1) 具有有限个间断点； (2) 具有有限个极值点； (3) 绝对可积;
第三章 图像变换
F(u)可以表示为如下形式： F ( u ) = R ( u ) + jI ( u )
1 2
| F(u) |= [R (u) + I (u)]
第三章 图像变换
3 系统的传递函数 函数 K (ω ) 叫做线性系统的传递函数。 对于线性移不变系统来说，传递函数包 含了系统的全部信息。 将 K (ω ) 写成极坐标的形式， jΦ (ω ) K (ω ) = A(ω )e
A(ω ) 为幅值 Φ(ω ) 为 其中A(ω ) 和 Φ(ω ) 都为实数， 幅角。
2 2
第三章 图像变换
3.3 傅立叶变换
3.3.1 傅立叶变换的作用
（1）可以得出信号在各个频率点上的强度。 （2）可以将卷积运算化为乘积运算。 （3）傅氏变换和线性系统理论是进行图像恢复 和重构的重要手段。 （4）傅立叶变换能使我们从空间域与频率域两 个不同的角度来看待图像的问题，有时在 空间域无法解决的问题在频域却是显而易 见的。
g ( x , y ) = T [ f ( x , y )]
将输入信号自变量x和y分别平移x0和y0，若 满足以下条件
g(x − x0 , y − y0 ) = T[ f (x − x0 , y − y0 )]
则称为二维位置不变线性系统
第三章 图像变换
3. 二维系统的梯度算子 (1) 连续系统梯度算子 对于连续系统，在坐标位置(x,y)处的 梯度向量为：
∂ ∂ i f ( x, y ) + j f ( x, y ) ∂x ∂y
可写为：
∂f ∂f i + j ∂x ∂y
第三章 图像变换
由于梯度是向量，因此其幅值为：
∂f 2 ∂f 2 ( ) + ( ) ∂x ∂y
梯度的方向为：
∂f ∂f θ = arctan( / ) ∂y ∂x
第三章 图像变换
F (u ) =
=
=
2
根据傅立叶变换的定义可得：
∫
∞
−∞
∞
f ( x ) e − j 2 π ux dx
e
−πx 2
∫
−∞
e − j 2 π ux dx
2
∫
∞ −∞
e
−π ( x
+ j 2 ux )
dx
=e
− πu 2
∫
∞
−∞
e
− π ( x + ju ) 2
dx
第三章 图像变换
令x+ju=t，上式可以化为：
2 2
I (u ) φ ( u ) = arg tan( ) R (u )
|F(u)|称为F(u)的模，也称为函数f(x)的 φ (u ) 称为F(u)的相角。 傅立叶谱，
第三章 图像变换
E ( u ) =| F ( u ) |
2
E (u ) 称为函数f(x)的能量谱或功率谱。
第三章 图像变换
例1 高斯函数的傅立叶变换 高斯函数的定义为： f ( x ) = e − πx
x2 (t ) = e
jω (t −T )
=e
− j ωT
e
jω t
=e
− j ωT
x1 (t )
其中 e 为复常数。 由线性公式，
− jωT
y2 (t ) = e
− jωT
y1 (t ) = K (ω , t )e
− jωT
x1 (t )
第三章 图像变换
由移不变公式
y2 (t ) = y1 (t − T )
于是，K (ω , t − T ) = K (ω , t ) 对于一切T成立，即 K (ω , t ) 与t无关。 y (t ) = K (ω )x (t )
第三章 图像变换
即： 线性移不变系统对于调谐信号的响应 等于输入信号乘上一个依赖与频率的 复数。 一个谐调信号的输入总产生同样频率 的谐调信号的输出。
第三章 图像变换
3.2.1 线性系统
系统:可以接受一个输入并产生输出的任 何实体.
输入X(t) 线性系统 输出Y(t)
(只考虑输入和输出的关系,不关心细节)
第三章 图像变换
线性系统理论是一门成熟的理论， 通常用于描述电路和光学系统的行为.它 为采样、滤波及空间分辨率的研究提供 了坚实的数学基础. 图像处理系统的主要成分是电路和 光学系统.
第三章 图像变换
应用系统模型
第三章 图像变换
线性系统的特性 1) 线性:称系统具有线性,如果
y1 (t ) = F {x1 (t )}
y2 (t ) = F {x2 (t )}
且对于任意常数a1、a2,都有
a1 y1 (t ) + a2 y2 (t ) = F{a1x1 (t ) + a2 x2 (t )}
第三章 图像变换
2 对调谐输入的响应 jωt 设一线性位移不变系统，输入为 x(t ) = e 系统的响应为：
y (t ) = K (ω , t )x (t ) = K (ω , t )e
jω t
其中
y (t ) K (ω , t ) = j ω t e
是
ω 和t的复值函数
第三章 图像变换
对于 x1 (t ) 的平移信号 x2 (t ) = x1 (t − T ) ， 有
Rfh (t) = f (t) *h(t) = ∫
∞
= f (−t ) * h(t )
−∞
f (τ )h(t +τ )dτ
相关实质上也是一种滤波，因此，有些专 著上将相关称为相关滤波。
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3.2.5 二维系统
1 二维线性系统 设
g i ( x , y ) = T [ f i ( x , y )]
第三章 图像变换
3.2.2 调谐信号分析
1 调谐信号 考察如下的复值信号
x(t ) = e
jωt
= cos(ωt ) + j sin(ωt )
其中 j 2 = − 1。x (t ) 被称为调谐信号 调谐信号可视为在一个复平面内以角速度 旋转的单位向量。角速度 ω 的单位是弧度/秒， 频率f的单位是赫兹，满足关系: ω = 2πf
第三章 图像变换
小结： 线性不变系统的三个重要性质： （1）谐调输入总产生同频率的谐调输出。 (2) 系统传递函数——一个仅依赖于频率 的复值函数，包含了系统的全部信息。 （3）传递函数对一谐调信号输入只产生两 种影响——幅度的变化和相位的平移 （时间原点的平移).
第三章 图像变换
3.2.3 卷积与滤波
第三章 图像变换
第三章
3.1 3.2 3.3 3.4
图像变换
图像变换的作用 图像变换的数学基础 傅立叶变换 离散余弦变换
第三章 图像变换
3.1 图像变换的作用
图像变换的定义 是将图像从空域变换到其它域（如频 域）的数学变换 图像变换的作用 我们人类视觉所感受到的是在空间域 和时间域的信号。但是，往往许多问题在 频域中讨论时，有其非常方便分析的一面。 1. 方便处理 2. 便于抽取特性
f ∗ (g ∗ h ) = ( f ∗ g )∗ h
4）卷积的求导法则
d dt
[f
∗ g ]= f ∗ g = f ∗ g
'
'
第三章 图像变换
2 离散卷积
y ( i ) = u (i ) * h (i ) = ∑ u ( j ) h ( i − j )
j
第三章 图像变换
3 滤波
数学上的卷积运算在信号处理和图像处 理学科上通常又称为滤波。 线性移不变系统输入和输出之间的关 系，除了可以用传递函数来描述之外， 还可以采用卷积的方法来表示。 即: 线性移不变系统的输出可通过输入 信号与代表了系统特性的冲击响应函数 h(t)的卷积得到。
1 连续卷积
y = g∗x =
∞
其中＊用来表示两个函数的卷积。
−∞
∫ g (t − τ )x(τ )dτ
第三章 图像变换
卷积运算的性质： 1）卷积具有交换性，即
f ∗g = g∗ f
2）卷积满足加法的分配律，即
f ∗ (g + h ) = f ∗ g + f ∗ h
第三章 图像变换
3）卷积满足结合律，即
= K (ω , t − T )e
jω (t −T )
= K (ω , t − T )e − jωT e jωt
由上述公式可得 − jωT − jωT K (ω , t − T )e x1 (t ) = K (ω , t )e x1 (t )
= K (ω , t − T )e − jωT x1 (t )
第三章 图像变换
y(t) =∫ u(τ)h(t −τ)dτ =∫ h(τ)u(t −τ)dτ
−∞
∞
=u(t)*h(t)
其中h(t)与系统的冲激响应一致，因此 称为冲击响应函数，即当输入为单位冲 激函数时
y(t) = ∫ δ(τ)h(t −τ)dτ = δ(t) *h(t) = h(t)
−∞
∞
第三章 图像变换
若该系统输入输出满足以下特性
a1g1(x, y) + a2 g2 (x, y) = T[a1 f1(x, y) + a2 f2 (x, y)] = a1T[ f1(x, y)]+ a2T[ f2 (x, y)]
则称该二维系统为线性系统。
第三章 图像变换
2. 二维位置不变线性系统 对于任意一个二维系统，若给定输入f(x， y)，产生输出g(x，y), 即：