高考数学压轴专题2020-2021备战高考《平面解析几何》知识点总复习有答案

【高中数学】数学《平面解析几何》高考知识点(2)
一、选择题
1．如图，12,F F 是双曲线22
1:13y C x -=与椭圆2C 的公共焦点，点A 是1C ，2C 在第一象限的公共点，若112F A F F =，则2C 的离心率是（ ）
A ．13
B ．15
C ．23
D ．25
【答案】C 【解析】
由2
2
1:13y C x -=知2c =，1124F A F F == ∵122F A F A -=
∴22F A =
∵由椭圆得定义知1226a F A F A =+=
∴23,3
c a e a ==
= 故选C
2．已知抛物线x 2＝16y 的焦点为F ，双曲线22145
x y -=的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 是双曲线右支上一点，则|PF|＋|PF 1|的最小值为（ ）
A ．5
B ．7
C ．9
D ．11
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意并结合双曲线的定义可得
1222(4)44PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+，然后根据两点间的距离公式可得所求最小值．
【详解】
由题意得抛物线2
16x y =的焦点为()0,4F ，双曲线22
145x y -=的左、右焦点分别为
()()123,0,3,0F F -．
∵点P 是双曲线右支上一点， ∴124PF PF =+． ∴1222(4)44549PF PF PF PF PF PF FF +=++=++≥+=+=，当且仅当2,,F P F 三点共线时等号成立，
∴1PF PF +的最小值为9．
故选C ．
【点睛】
解答本题的关键是认真分析题意，然后结合图形借助数形结合的方法求解．另外在解题中注意利用双曲线的定义将所求问题进行转化，考查分析理解能力和解决问题的能力，属于基础题．
3．已知抛物线C ：212y x =的焦点为F ，A 为C 上一点且在第一象限，以F 为圆心，FA 为半径的圆交C 的准线于B ，D 两点，且A ，F ，B 三点共线，则AF =（ ） A ．16
B ．10
C ．12
D ．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知AD BD ⊥，利用抛物线的定义，可得30ABD ∠=︒，所以||||2612AF BF ==⨯=．
【详解】
解：因为A ，F ，B 三点共线，所以AB 为圆F 的直径，AD BD ⊥．
由抛物线定义知1||||||2
AD AF AB ==，所以30ABD ∠=︒．因为F 到准线的距离为6， 所以||||2612AF BF ==⨯=．
故选：C ．
本题考查抛物线的性质，抛物线的定义，考查转化思想，属于中档题．
4．已知直线(3)(0)y k x k =+>与抛物线2:4C y x =相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点.若5FA FB =，则k 等于（ ）
A ．3
B ．12
C ．23
D ．2
【答案】B
【解析】
【分析】
由2(3)4y k x y x =+⎧⎨=⎩，得()22226490k x k x k +-+=，()
22464360k k ∆=-->，得213
k <，129x x =①，再利用抛物线的定义根据5FA FB =，得到1254x x =+②，从而求得21x =，代入抛物线方程得到(1,2)B ，再代入直线方程求解.
【详解】
设()11,A x y ，()22,B x y ，易知1 0x >，20x >，10y >，20y >，
由2(3)4y k x y x
=+⎧⎨=⎩，得()22226490k x k x k +-+=，()
22464360k k ∆=-->， 所以213k <，129x x =①. 因为1112p FA x x =+=+，2212
p FB x x =+=+，且5FA FB =， 所以1254x x =+②.
由①②及20x >得21x =，
所以(1,2)B ，代入(3)y k x =+， 得12
k =
. 故选：B 【点睛】
本题考查抛物线的定义，几何性质和直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
5．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>)的左，右焦点分别为12,F F ，其右支上存在一点M ，使得210MF MF ⋅=u u u u r u u u r ,直线:0l bx ay +=，若直线2//MF l 则双曲线C 的离心率为
A ．2
B ．2
C ．5
D ．5 【答案】C
【解析】
【分析】
易得且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线求出直线1MF 的方程与渐近线方程联立求出交点坐标，进而求得M 坐标，根据勾股定理即可求解离心率.
【详解】 由120
MF MF ⋅=u u u u v u u u u v 可得12MF MF ⊥易知直线:0l bx ay +=为双曲线的一条渐近线，
可知l 的方程为b y x a =-
，且1MF l ⊥，从而l 是线段1MF 的垂直平分线，且直线1MF 的方程为()a y x c b
=+设1MF ，与l 相交 于点(),N x y .由 ()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得2a x c ab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即2,a ab N c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，又()1,0F c -，由中点坐标公式，得222,.a ab M c c c ⎛⎫- ⎪⎝
⎭由双曲线性质可得122MF MF a -=①，由12MF MF ⊥得22
2124MF MF c +=②，①②联立，可得2122MF MF b ⋅=所以点M 的纵坐标为
2b c ，所以22b ab c c =即2b a =所以21 5.b e a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ 故选：C
【点睛】
本题考查双曲线性质的综合问题，考查数形结合思想，对于学生的数学运算和逻辑推理能力要求较高，属于一般性题目.
6．已知直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈与圆()()22
1225x y -+-=交于A ，B 两点，则弦长AB 的取值范围是（ ）
A ．[]4,10
B ．[]3,5
C ．[]8,10
D ．[]6,10
【答案】D
【解析】
【分析】 由直线()()21110k x k y ++++=，得出直线恒过定点()1,2P -，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.
【详解】
由直线()()():21110l k x k y k R ++++=∈，可得()210k x y x y ++++=， 又由2010x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得12
x y =⎧⎨=-⎩，即直线恒过定点()1,2P -，圆心()1,2C ， 当CP l ⊥时弦长最短，此时2222AB CP r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得min 6AB =，
再由l 经过圆心时弦长最长为直径210r =， 所以弦长AB 的取值范围是[]6,10.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.
7．已知抛物线24y x =上有三点,,A B C ，,,AB BC CA 的斜率分别为3，6，2-，则ABC ∆的重心坐标为（ ）
A ．14,19⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．14,09⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．14,027⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ．14,127⎛⎫ ⎪⎝⎭
【答案】C
【解析】
【分析】
设()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ，进而用坐标表示斜率即可解得各点的纵坐标，进一步可求横坐标，利用重心坐标公式即可得解.
【详解】
设()()()112233,,,,,,A x y B x y C x y 则1212221212124344
AB y y y y k y y x x y y --====-+-，得1243
y y +=，
同理234263y y +==，31422
y y +==--，三式相加得1230y y y ++=， 故与前三式联立，得211231241,2,,3349y y y y x =-==-==，22214
y x ==，233449
y x ==， 则12314327x x x ++=.故所求重心的坐标为14,027⎛⎫ ⎪⎝⎭
，故选C. 【点睛】
本题主要考查了解析几何中常用的数学方法，集合问题坐标化，进而转化为代数运算，对学生的能力有一定的要求，属于中档题.
8．在矩形ABCD 中，已知3AB =，4=AD ，E 是边BC 上的点，1EC =，
EF CD ∥，将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，直线AB 绕AE 旋转一周，则旋转过程中直线AB 与平面α相交形成的点的轨迹是（ ）
A ．圆
B ．双曲线
C ．椭圆
D ．抛物线
【答案】D
【解析】
【分析】 利用圆锥被平面截的轨迹特点求解
【详解】
由题将平面EFDC 绕EF 旋转90︒后记为平面α，则平面α⊥平面ABEF ,，又直线AB 绕AE 旋转一周，则AB 直线轨迹为以AE 为轴的圆锥，且轴截面为等腰直角三角形，且面AEF 始终与面EFDC 垂直，即圆锥母线AF ⊥平面EFDC 则
则与平面α相交形成的点的轨迹是抛物线
故选：D
【点睛】
本题考查立体轨迹，考查圆锥的几何特征，考查空间想象能力，是难题
9．若双曲线223mx my -=3的一个焦点是()0,2,则m 的值是
A ．-1
B ．1
C ．10
D 10 【答案】A
【解析】 双曲线223mx my -=3的标准方程为22
113
x y m m
-=, ∵焦点在y 轴上,∴
134m m
+=,且0m <, ∴ 1.m =-
故选A ．
10．过抛物线212x y =的焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交抛物线的准线于点C ，若3AF FB =uu u r uu r ，则BC =（ ）
A ．4
B ．3
C ．6
D ．8 【答案】D
【解析】
【分析】
作出图象，作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，设BF x =，根据抛物线的性质可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，进而得到1sin 2ACN ∠=，则可求出x 的值，进而得到BC 的值. 【详解】
作BM CP ⊥，AN CP ⊥，BH AN ⊥，如图， 因为3AF FB =uu u r uu r ，不妨设BF x =，所以33AF BF x ==，4AB x =， 根据抛物线的定义可得BM BF HN x ===，3AN AF x ==，6FP p ==， 则32AH AN HN x x x =-=-=， 所以1sin sin 2
AH ABH ACN AB ∠=∠==，则212CF FP ==，2CB x =， 则312CF CB BF x =+==，所以4x =，则28BC x ==，
故选：D ．
【点睛】
本题考查抛物线的性质，涉及抛物线定义的应用，考查数形结合思想，属于中档题．
11．已知抛物线2:4C y x =，过其焦点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，若3AF FB =uu u r uu r ，则AOF V 的面积（O 为坐标原点）为（ ）
A ．33
B 3
C ．33
D ．23【答案】B
【解析】
【分析】
首先过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥，易得30ABM ∠=o ，60AFH ∠=o .根据直线AF ：3(1)y x =-与抛物线联立得到
12103x x +=，根据焦点弦性质得到163AB =，结合已知即可得到sin 6023AH AF ==o ，再计算AOF S V 即可. 【详解】 如图所示：
过A 作111AA A B ⊥，过B 作111BB A B ⊥（11A B 为准线），1BM AA ⊥. 因为3AF BF =uuu r uu u r ，设BF k =，则3AF k =，11BB A M k ==.
所以2AM k =.
在RT ABM V 中，12
AM AB =
，所以30ABM ∠=o . 则60AFH ∠=o . (1,0)F ，直线AF 为3(1)y x =-.
223(1)310304y x x x y x
⎧=-⎪⇒-+=⎨=⎪⎩，12103x x +=. 所以121016233AB x x p =++=+=，344
AF AB ==. 在RT AFH V 中，sin 6023AH AF ==o .
所以112332AOF S =
⨯⨯=V . 故选：B
【点睛】
本题主要考查抛物线的几何性质，同时考查焦点弦的性质，属于中档题.
12．点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使（为坐标
原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】 为正三角形，点在椭圆上，代入椭圆方程，计算得到.
【详解】 由题意，可设椭圆的焦点坐标为
， 因为为正三角形，则点在椭圆上， 代入得，即， 得，解得， 故选B ．
【点睛】
本题考查了椭圆离心率的计算，意在考查学生的计算能力.
13．已知双曲线22
19x y m
-=的一个焦点在直线x ＋y ＝5上，则双曲线的渐近线方程为( )
A ．34
y x =? B ．43y x =± C ．23y x =± D ．324
y x =± 【答案】B
【解析】
根据题意,双曲线的方程为22
19x y m
-=，则其焦点在x 轴上， 直线5x y +=与x 轴交点的坐标为()5,0，
则双曲线的焦点坐标为()5,0，
则有925m +=，
解可得，16m =， 则双曲线的方程为：22
1916
x y -=， 其渐近线方程为：43y x =±，
故选B.
14．过点(11)M ， 的直线与椭圆22143
x y += 交于A ，B 两点，且点M 平分AB ，则直线AB 的方程为（ ）
A ．3470x y +-=
B ．3410x y -+=
C ．4370x y +-=
D ．4310x y --=
【答案】A
【解析】
设1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆的方程可得222211221,14343x y x y +=+=， 两式相减可得12121212()()()()044
x x x x y y y y +-+-+=， 又121212122,2,
y y x x y y k x x -+=+==-， 即为12123()34()4
x x k y y +=-=-+， 则直线AB 的方程为：31(1)4
y x -=--，化为3470x y +-=，故选A ． 点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，注意运用“点差法”的应用，考查了学生的推理与计算能力，试题比较基础，属于基础题，解答此类问题的关键在于把握弦的中点，恰当的选择“点差法”是解答的关键．
15．已知1F ，2F 是双曲线22
221x y a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点A 是双曲线上第二象限内一点，且直线1AF 与双曲线的一条渐近线b y x a
=平行，12AF F ∆的周长为9a ，则该双曲线的离心率为（ ） A ．2
B
C ．3
D
．【答案】A
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出1AF 和2AF 的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可.
【详解】 由题意知212AF AF a -=，2192AF AF a c +=-，
解得21122a c AF -=，1722
a c AF -=， 直线1AF 与
b y x a =平行，则12tan b AF F a ∠=，得12cos a AF F c
∠=， 222121214cos 22AF c AF a AF F c AF c
+-∠==⋅， 化简得22280c ac a +-=，即2280e e +-=，解得2e =.
故选：A
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.
16．已知双曲线()22
22100x y C a b a b
-=：＞，＞
的一条渐近线与圆22(4x y +-=相交于A ，B 两点，若|AB |＝2，则C 的离心率为（ ）
A
B
C ．2
D ．4
【答案】C
【解析】
【分析】
求出双曲线的渐近线方程，圆的圆心与半径，利用距离公式得到a 、b 关系式，然后求解离心率即可．
【详解】
由题意可知不妨设双曲线的一条渐近线方程为：bx +ay ＝0，
圆22(4x y +-=
的圆心为(0,，半径为2，
由题意及|AB |＝2
，可得22212+=，
2
22
123a a b =+，即b 2＝3a 2，可得c 2﹣a 2＝3a 2，即224c a = 所以e c a
=
=2． 故选：C ．
【点睛】 本题主要考查求双曲线离心率的问题，此类问题的解题关键是建立,,a b c 的方程或不等关系，考查学生的运算求解能力，是一道中档题.
17．椭圆满足这样的光学性质：从椭圆的一个焦点发射光线，经椭圆反射后，反射光线经
过椭圆的另一个焦点.现在设有一个水平放置的椭圆形台球盘，满足方程：22
1169
x y +=，点A 、B 是它的两个焦点，当静止的小球放在点A 处，从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后，再回到点A 时，小球经过的最短路程是（ ）.
A ．20
B ．18
C ．16
D ．以上均有可能 【答案】C
【解析】
【分析】
根据椭圆的光学性质可知，小球从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹到B 点继续前行碰椭圆壁后回到A 点，所走的轨迹正好是两次椭圆上的点到两焦点距离之和，进而根据椭圆的定义可求得答案．
【详解】
依题意可知小球经两次椭圆壁后反弹后回到A 点，根据椭圆的性质可知所走的路程正好是4a=4×4=16
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了椭圆的应用．解题的关键是利用了椭圆的第一定义,是基础题.
18．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左，右焦点，点P 是C 右支上一点，若120PF PF ⋅=u u u v u u u u v ，且124cos 5
PF F ∠=，则C 的离心率为（ ） A ．257
B ．4
C ．5
D ．57 【答案】C
【解析】
【分析】
在12PF F △中，求出1PF ，2PF ，然后利用双曲线的定义列式求解．
【详解】 在12PF F △中，因为12
0PF PF ⋅=u u u r u u u u r ，所以1290F PF ∠=o ， 1121248cos 255c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=，2121236sin 255
c PF F F PF F c =⋅∠=⋅=， 则由双曲线的定义可得128622555c c c a PF PF =-=
-= 所以离心率5c e a
=
=，故选C. 【点睛】
本题考查双曲线的定义和离心率，解题的关键是求出1PF ，2PF ，属于一般题．
19．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点()(),0F c c b >，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆交圆222x y b +=于P 、Q 两点，且PQ OF =，则椭圆C 的离心率为（ ）
A ．33
B ．12
C ．22
D ．63
【答案】D
【解析】
【分析】
设点P 为两圆在第一象限的交点，利用对称性以及条件PQ OF =可得出点P 的坐标为,22c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，再将点P 的坐标代入圆222x y b +=的方程，可得出2b 与2c 的等量关系，由此可得出椭圆的离心率的值.
【详解】
如下图所示，设点P 为两圆在第一象限的交点，设OF 的中点为点M ，由于两圆均关于x 轴对称，则两圆的交点P 、Q 也关于x 轴对称，又PQ OF c ==，则PQ 为圆M 的一
条直径，由下图可知，PM x ⊥轴，所以点P 的坐标为,22c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
将点P 的坐标代入圆222x y b +=得22
222c c b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得2222222c b a c ==-， 所以，22
23a c =，因此，椭圆的离心率为222633c c e a a ==== D. 【点睛】
本题考查椭圆离心率的计算，根据题意得出a 、b 、c 的等量关系是解题的关键，考查运算求解能力，属于中等题.
20．已知直线()0y kx k =≠与双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>交于,A B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若ABF ∆的面积为24a ，则双曲线的离心率为 A ．2
B ．3
C ．2
D ．5
【答案】D
【解析】
【分析】
通过双曲线和圆的对称性，将ABF ∆的面积转化为FBF ∆'的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立a 与b 的关系，从而推导出离心率.
【详解】
由题意可得图像如下图所示：F '为双曲线的左焦点
AB Q 为圆的直径 90AFB ∴∠=o
根据双曲线、圆的对称性可知：四边形AFBF '为矩形
12ABF AFBF FBF S S S ''∆∆∴=
= 又2224tan 45
FBF b S b a ∆'===o ，可得：225c a = 25e ∴= 5e ⇒=
本题正确选项：D
【点睛】
本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于,a c 的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.。