高三数学高考一轮复习专题：集合

集合
一．课标要求：
1．集合的含义与表示
（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；
（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；
2．集合间的基本关系
（1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；
（2）在具体情境中，了解全集与空集的含义；
3．集合的基本运算
（1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；
（2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；
（3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用。

二．命题走向
有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。

考试形式多以一道选择题为主，分值5分。

三．要点精讲
1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。

a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A
b∉；
记作A
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）X围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。

注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ；
实数集，记作R 。

2．集合的包含关系：
（1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ⊆B （或B A ⊂）；
集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

若A ⊆B 且B ⊇A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ⊆B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作AB ； （2）简单性质：1）A ⊆A ；2）Φ⊆A ；3）若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n
个子集（其中2n
－1个真子集）； 3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ；
（2）若S 是一个集合，A ⊆S ，则，S C =}|{A x S x x ∉∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 。

4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A 且属于集合B 的元素所组成的集合，叫做集合A 与B 的交集。

交集}|{B x A x x B A ∈∈=⋂且。

（2）一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的并集。

}|{B x A x x B A ∈∈=⋃或并集。

注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn 图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法。

5．集合的简单性质：
（1）;,,A B B A A A A A ⋂=⋂Φ=Φ⋂=⋂ （2）;,A B B A A A ⋃=⋃=Φ⋃ （3）);()(B A B A ⋃⊆⋂
（4）B B A B A A B A B A =⋃⇔⊆=⋂⇔⊆;；
（5）S C （A ∩B ）=（S C A ）∪（S C B ），S C （A ∪B ）=（S C A ）∩（S C B ）。

四．典例解析
题型1：集合的概念
例1．设集合},4121|{Z k k x x A ∈+=
=，若2
9
=x ，则下列关系正确的是（ ） A ．A x ⊂B ．A x ∈C ．A x ∈}{D ．A x ⊂}{
解：由于
4124121+=
+k k 中12+k 只能取到所有的奇数，而4
18
29=中18为偶数。

则A A ⊂∉}2
9
{,29。

选项为D ； 点评：该题考察了元素与集合、集合与集合之间的关系。

首先应该分清楚元素与集合之间是属于与不属于的关系，而集合之间是包含与不包含的关系。

例2．设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2
+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是（ ）
A ．P Q
B ．Q P
C ．P =Q
D ．P ∩Q =Q
解：Q ={m ∈R |mx 2
+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立＝，对m 分类： ①m =0时，－4＜0恒成立；
②m ＜0时，需Δ=（4m ）2
－4×m ×（－4）＜0，解得m ＜0。

综合①②知m ≤0， ∴Q ={m ∈R |m ≤0}。

答案为A 。

点评：该题考察了集合间的关系，同时考察了分类讨论的思想。

集合Q 中含有参数m ，需要对参数进行分类讨论，不能忽略m=0的情况。

题型2：集合的性质
例3．（2000某某，1）已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是（ ） A ．15 B ．16 C ．3 D ．4
解：根据子集的计算应有24
－1=15（个）。

选项为A ；
点评：该题考察集合子集个数公式。

注意求真子集时千万不要忘记空集∅是任何非空集合的真子集。

同时，A 不是A 的真子集。

变式题：同时满足条件：①};5,4,3,2,1{⊆M ②若M a M a ∈∈－则6,，这样的集合M 有多少个，举出这些集合来。

答案：这样的集合M 有8个。

例4．已知全集3
2
{1,3,2}S x x x =--，A ={1,21x -}如果}0{=A C S ，则这样的实数x 是否存在？若存在，求出x ，若不存在，说明理由。

解：∵}0{=A C S ；
∴A S ∉∈00且，即32
2x x x --＝0，解得1230,1,2x x x ==-=
当0=x 时，112=-x ，为A 中元素； 当1-=x 时，S x ∈=-312 当2x =时，213x S -=∈
∴这样的实数x 存在，是1x =-或2x =。

另法：∵}0{=A C S
∴A S ∉∈00且，3A ∈ ∴3
2
2x x x --＝0且213x -=
∴1x =-或2x =。

点评：该题考察了集合间的关系以及集合的性质。

分类讨论的过程中“当0=x 时，
112=-x ”不能满足集合中元素的互异性。

此题的关键是理解符号}0{=A C S 是两层含义：A S ∉∈00且。

变式题：已知集合2
{,,2},{,,}A m m d m d B m mq mq =++=，0m ≠其中,A B =且,求q 的值。

解：由B A =可知，
（1）⎩⎨⎧=+=+2
2mq d m mq d m ，或（2）⎩
⎨⎧=+=+mq d m mq d m 22
解（1）得1=q ， 解（2）得2
1
,1-
==q q 或， 又因为当1=q 时，2
mq mq m ==与题意不符， 所以，2
1-
=q 。

题型3：集合的运算
例5．（06全国Ⅱ理，2）已知集合M ＝｛x |x ＜3}，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝（ ）
A ．∅
B ．｛x |0＜x ＜3}
C ．｛x |1＜x ＜3}
D ．｛x |2＜x ＜3}
解：由对数函数的性质，且2>1，显然由1log 2>x 易得),2(+∞=B 。

从而)3,2(=⋂B A 。

故选项为D 。

点评：该题考察了不等式和集合交运算。

例6．（06某某理，1）设集合{}
22,A x x x R =-≤∈，{}
2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C A
B 等于（ ）
A ．R
B ．{}
,0x x R x ∈≠C ．{}0D ．∅
解：[0,2]A =，[4,0]B =-，所以(){0}R R C A
B C =，故选B 。

点评：该题考察了集合的交、补运算。

题型4：图解法解集合问题
例7．（2003某某春，5）已知集合A ={x ||x |≤2，x ∈R }，B ={x |x ≥a }，且A B ，则实数a 的取值X 围是_____。

解：∵A ={x |－2≤x ≤2}，B ={x |x ≥a }，又A ⊆B ，利用数轴上覆盖关系：如图所示，因此有a ≤－2。

图
点评：本题利用数轴解决了集合的概念和集合的关系问题。

例8．（1996全国理，1）已知全集I ＝N *，集合A ＝｛x ｜x ＝2n ，n ∈N *
｝，B ＝｛x ｜x ＝4n ，n ∈N ｝，则（ ）
A ．I ＝A ∪B
B ．I ＝（I
C A ）∪B
C ．I ＝A ∪（I C B ）
D ．I ＝（I C A ）∪（I C B ）
解：方法一：I C A 中元素是非2的倍数的自然数，I C B 中元素是非4的倍数的自然数，显然，只有Ｃ选项正确.
方法二：因A ＝｛2，4，6，8…｝，B ＝｛4，8，12，16，…｝，所以I C B ＝｛1，2，3，5，6，7，9…｝，所以I ＝A ∪I C B ，故答案为Ｃ.
方法三：因B A ，所以（I C ）A （I C ）B ，（I C ）A ∩（I C B ）＝I C A ，故I ＝A ∪（I C A ）＝A ∪（I C B ）。

方法四：根据题意，我们画出Venn 图来解，易知B A ，如图：可以清楚看到I =A ∪（I C B ）是成立的。

点评：本题考查对集合概念和关系的理解和掌握，注意数形结合的思想方法，用无限集考查，提高了对逻辑思维能力的要求。

题型5：集合的应用
例9．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人。

问对A 、B 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人？
解：赞成A 的人数为50×
53
=30，赞成B 的人数为30+3=33，如上图，记50名学生组成的集合为U ，赞成事件A 的学生全体为集合A ；赞成事件B 的学生全体为集合
B 。

设对事件A 、B 都赞成的学生人数为x ,则对A 、B 都不
赞成的学生人数为3
x
+1,赞成A 而不赞成B 的人数为30－x ，赞成B 而不赞成A 的人数为33－
x 。

依题意(30－x )+(33－x )+x +(3
x
+1)=50,解得x =21。

所以对A 、B 都赞成的同学有21人，都
不赞成的有8人。

点评：在集合问题中，有一些常用的方法如数轴法取交并集，韦恩图法等，需要考生切实掌握。

本题主要强化学生的这种能力。

解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件，想到用韦恩图直观地表示出来。

本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂，一时理不清头绪，不好找线索。

画出韦恩图，形象地表示出各数量关系间的联系。

例10．求1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的
图
X
3
+1
33-X X
30-X U B
A
自然数共有多少个？
解：如图先画出Venn 图，不难看出不符合条件 的数共有（200÷2）＋（200÷3）＋(200÷5) －(200÷10)－(200÷6)－(200÷15)
＋(200÷30)＝146 所以，符合条件的数共有200－146＝54（个）
点评：分析200个数分为两类，即满足题设条件的和不满足题设条件的两大类，而不满足条件的这一类标准明确而简单，可考虑用扣除法。

题型7：集合综合题
例11．（1999某某，17）设集合A ={x ||x －a |<2}，B ={x |
2
1
2+-x x <1}，若A ⊆B ，某某数a 的取值X 围。

解：由|x －a |<2，得a －2<x <a +2，所以A ={x |a －2<x <a +2}。

由212+-x x <1，得2
3+-x x <0，即－2<x <3，所以B ={x |－2<x <3}。

因为A ⊆B ，所以⎩⎨
⎧≤+-≥-3
22
2a a ，于是0≤a ≤1。

点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。

主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。

在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。

例12．已知{a n }是等差数列，d 为公差且不为0，a 1和d 均为实数，它的前n 项和记作S n ,
设集合A ={(a n ,
n
S n )|n ∈N *
},B ={(x ,y )|41 x 2－y 2=1,x ,y ∈R }。

试问下列结论是否正确，如果正确，请给予证明；如果不正确，请举例说明： （1）若以集合A 中的元素作为点的坐标，则这些点都在同一条直线上； （2）A ∩B 至多有一个元素；
（3）当a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅。

解：（1）正确；在等差数列{a n }中，S n =2)(1n a a n +,则21
=n S n (a 1+a n ),这表明点(a n ,n
S n )
的坐标适合方程y 21=(x +a 1),于是点(a n ,n
S n )均在直线y =21x +21
a 1上。

（2）正确；设(x ,y )∈A ∩B ,则(x ,y )中的坐标x ,y 应是方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=14
12121221y x a x y 的解，由方程组消去y 得：2a 1x +a 12=－4(*
)，
当a 1=0时，方程(*
)无解，此时A ∩B =∅；
3的倍数2的倍数
5的倍数
当a 1≠0时，方程(*
)只有一个解x =
1
2
1
24a a --,此时，方程组也只有一解⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧-=--=
12
112
14424a a y a a y ,故
上述方程组至多有一解。

∴A ∩B 至多有一个元素。

（3）不正确；取a 1=1，d =1，对一切的x ∈N *
，有a n =a 1+(n －1)d =n >0,
n
S n
>0，这时集合A 中的元素作为点的坐标，其横、纵坐标均为正，另外，由于a 1=1≠0 如果A ∩B ≠∅，那么
据(2)的结论，A ∩B 中至多有一个元素(x 0,y 0),而x 0=52
2412
1-=--a a ＜0,y 0=4
3201=+x a ＜0，这样的(x 0,y 0)∉A ,产生矛盾，故a 1=1,d =1时A ∩B =∅，所以a 1≠0时，一定有A ∩B ≠∅是不
正确的。

点评：该题融合了集合、数列、直线方程的知识，属于知识交汇题。

变式题：解答下述问题： （Ⅰ）设集合},0|{},0422|{2
<==++-=x x B m x x x A ，φ≠⋂B A 若,某某数m 的取值X 围.
分析：关键是准确理解≠⋂B A 的具体意义，首先要从数学意义上解释≠⋂B A 的
意义，然后才能提出解决问题的具体方法。

解：
⎪⎪
⎩⎪
⎪⎨⎧≥+=-≤≤-⇒>=+≥--=∆=++-==++-⇔0
42,
232020)32(4},0422|{,
0422212122m x x m x x m m x x x m M m x x 则两根均为非负实数的方程关于设至少有一个负实数根方程命题 }2
3|{}0|{}232|{-≤=≥∆=-≤≤-=∴m m m U m m M 设全集
m ∴的取值X 围是U M={m|m<-2}.
.
21321320321)(-<⇒>--⇒>--⇒<---=⇔m m m m x 方程的小根命题解法二
（解法三）设,42)(2
+-=x x x f 这是开口向上的抛物线，01>=x 其对称轴 ，则二次函数性质知命题又等价于,20)0(-<⇒<m f
注意，在解法三中，f (x )的对称轴的位置起了关键作用，否则解答没有这么简单。

（Ⅱ）已知两个正整数集合A ={a 1,a 2,a 3,a 4},
43212
4232221},,,,{a a a a a a a a B <<<=其中
A B A a a a a B A 求集合的所有元素之和是且且若,124,10},,{4141⋃=+=⋂、B .
分析：命题中的集合是列举法给出的，只需要根据“交、并”的意义及元素的基本性质解决，注意“正整数”这个条件的运用，
}.
81,25,9,1{},9,5,3,1{,;,,5,3,)2(;
512494},
81,,9,,3,1{,3,)1(,
,9,10,
1},,{,,132342
332
332
33242242
444112
11412
42322214321==>====⇒=++∴=⋃∴==≠∴=∴=+=⇒=∴=⋂<<<∴<<<≤B A a a a a a a a a a a B A a a a a a a a a a a a a a B A a a a a a a a a 综上不合与条件矛盾同样可得则若则若而只可能有
（Ⅲ）},05224|),{(},1|),{(2
2
=+-+=+==y x x y x B x y y x A 设集合
.
,
)(,,},|),{(试证明你的结论使问是否存在自然数=⋂⋃+==C B A b k b kx y y x C
分析：正确理解.,)(题并转化为具体的数学问=
⋂⋃C B A
要使=
⋂=
⋂=
⋂⋃⋂=⋂⋃C B C A C B C A C B A 且必须,)()()(,
由,01)12(1
2222=-+-+⇒⎩⎨
⎧+=+=b x kb x k b
kx y x y 当k =0时，方程有解12
-=b x ,不合题意；
当k
k b b k kb k 41
40)1(4)12(022
2
2
1+><---=∆≠得时由①
又由,025)1(240
522422=-+-+⇒⎩⎨
⎧+==+-+b x k x b
kx y y x x 由8
)1(200)25(16)1(42
2
2--<<---=∆k b b k 得②，
由①、②得,8
20,141<>+
>b k k b 而 ∵b 为自然数，∴b =2，代入①、②得k =1
点评：这是一组关于集合的“交、并”的常规问题，解决这些问题的关键是准确理解问题条件的具体的数学内容，才能由此寻求解决的方法。

题型6：课标创新题
例13．七名学生排成一排，甲不站在最左端和最右端的两个位置之一，乙、丙都不能站在正中间的位置，则有多少不同的排法？
解：设集合A ={甲站在最左端的位置}， B ={甲站在最右端的位置}， C ={乙站在正中间的位置}， D ={丙站在正中间的位置}，
则集合A 、B 、C 、D 的关系如图所示，
∴不同的排法有2640445
56677=+-A A A 种.
点评：这是一道排列应用问题，如果直接分类、分步解答需要一定的基本功，容易错，若考虑运用集合思想解答，则比较容易理解。

上面的例子说明了集合思想的一些应用，在今后的学习中应注意总结集合应用的经验。

例14．A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：①对任意]2,1[∈x ，都有)2,1()2(∈x ϕ ； ②存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有
|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ
（1）设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ，证明：A x ∈)(ϕ
（2）设A x ∈)(ϕ,如果存在)2,1(0∈x ,使得)2(00x x ϕ=,那么这样的0x 是唯一的; （3）设A x ∈)(ϕ,任取)2,1(∈l x ,令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式||1||121
x x L
L x x k k l
k --≤-++。

解：对任意]2,1[∈x ,]2,1[,21)2(3∈+=x x x ϕ,≤33)2(x ϕ3
5≤,253133<<<,所以
)2,1()2(∈x ϕ
对任意的]2,1[,21∈x x ，
()
()()()
2
323213
2
121211121212
|
||)2()2(|x x x x x x x x ++++++-=-ϕϕ，
<
3()()()()323213
2
1112121x x x x ++++++，
<3所以0<
()()()()
2
323213
2
11121212
x x x x ++++++3
2
<
, 令
()
()()()
2
323213
2
11121212
x x x x ++++++=L ，
10<<L ，|||)2()2(|2121x x L x x -≤-ϕϕ
所以A x ∈)(ϕ
反证法：设存在两个000
0),2,1(,x x x x '≠∈'使得)2(00x x ϕ=,)2(00x x '='ϕ。

则由|||)2()2(|/
00/
00x x L x x -≤-ϕϕ，
得||||/00/
00x x L x x -≤-，所以1≥L ，矛盾，故结论成立。

121223)2()2(x x L x x x x -≤-=-ϕϕ，
所以121
1x x L
x x n n n -≤--+
()()()||1||121
1211x x L
L x x x x x x x x k k k p k p k p k p
k k p k --≤-+-+-=--+-+-+-+++
k k p k p k p k p k x x x x x x -+-+-≤+-+-+-++1211
≤123122x x L x x L p k p k -+--+-++…121x x L k --
1211x x L
L K --≤-。

点评：函数的概念是在集合理论上发展起来的，而此题又将函数的性质融合在集合的关系当中，题目比较新颖。

五．思维总结
集合知识可以使我们更好地理解数学中广泛使用的集合语言，并用集合语言表达数学问题，运用集合观点去研究和解决数学问题。

1．学习集合的基础能力是准确描述集合中的元素，熟练运用集合的各种符号，如∈、∉、
⊆、、=、S C A 、∪，∩等等；
2．强化对集合与集合关系题目的训练，理解集合中代表元素的真正意义，注意利用几何直观性研究问题，注意运用Venn 图解题方法的训练，加强两种集合表示方法转换和化简训练；解决集合有关问题的关键是准确理解集合所描述的具体内容（即读懂问题中的集合）以及各个集合之间的关系，常常根据“Venn 图”来加深对集合的理解，一个集合能化简（或求解），一般应考虑先化简（或求解）；
3．确定集合的“包含关系”与求集合的“交、并、补”是学习集合的中心内容，解决问题时应根据问题所涉及的具体的数学内容来寻求方法。

① 区别∈与、与⊆、a 与{a }、φ与{φ}、{(1,2)}与{1,2}； ②A ⊆B 时，A 有两种情况：A ＝φ与A ≠φ。

③若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n
2，所有真子集的个数是n
2－1, 所有非空真子集的个数是22-n。

word
- 11 - / 11 ④区分集合中元素的形式：
如}12|{2++==x x y x A ；
}12|{2++==x x y y B ；
}12|),{(2++==x x y y x C ；
}12|{2++==x x x x D ；
},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==；
}12|)',{(2++==x x y y x F ；
},12|{2x
y z x x y z G =++==。

⑤空集是指不含任何元素的集合。

}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系。

空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

条件为B A ⊆，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。

⑥符号“∉∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系 ；符号“,⊄”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。

逻辑是研究思维形式及其规律的一门学科，是人们认识和研究问题不可缺少的工具，是为了培养学生的推理技能，发展学生的思维能力。