中考数学专题题库∶锐角三角函数的综合题及答案

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB ∥CD ， ∠ACB =90°， AB=10cm ， BC=8cm ， OD 垂直平分 A C ．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s ；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点 P 作 PE ⊥AB ，交 BC 于点 E ，过点 Q 作 QF ∥AC ，分别交 AD ， OD 于点 F ， G ．连接 OP ，EG ．设运动时间为 t ( s )（0＜t ＜5） ，解答下列问题： （1）当 t 为何值时，点 E 在

BAC 的平分线上？

（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm 2) ，求 S 与 t 的函数关系式；

（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；

（4）连接 OE ， OQ ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE ⊥OQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2

31568

8

t t =-+

+ ，(05)t <<；（3）5

2t =时，

PEGO S 四边形取得最大值；（4）16

5

t =

时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】

（1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题．

（2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．

（4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQ

OC OG

=，由此构建方程即可解决问题． 【详解】

（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ， ∴22108-=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ，

∴∠BAC=∠DCO ， ∵∠DOC=∠ACB ， ∴△DOC ∽△BCA ， ∴AC AB BC

OC CD OD ==， ∴

61083CD OD

==， ∴CD=5（cm ），OD=4（cm ）， ∵PB=t ，PE ⊥AB ， 易知：PE=

34

t ，BE=54t ，

当点E 在∠BAC 的平分线上时， ∵EP ⊥AB ，EC ⊥AC ， ∴PE=EC ，

∴

34

t=8-5

4t ，

∴t=4．

∴当t 为4秒时，点E 在∠BAC 的平分线上． （2）如图，连接OE ，PC ．

S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ） =

1414153154338838252

524524t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ =2

815

16(05)3

3

t t t -+

+<<． （3）存在．

∵2

8568

(05)323

S t t ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭，

∴t=

52

时，四边形OPEG 的面积最大，最大值为683．

（4）存在．如图，连接OQ ． ∵OE ⊥OQ ，

∴∠EOC+∠QOC=90°，∵∠QOC+∠QOG=90°，∴∠EOC=∠QOG，

∴tan∠EOC=tan∠QOG，∴EC GQ

OC OG

=，

∴

3

5

8

5

4

4

34

5

t

t

t -

=

-

，

整理得：5t2-66t+160=0，

解得

16

5

t=或10（舍弃）

∴当16

5

t=秒时，OE⊥OQ．

【点睛】

本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.

2．如图，二次函数y＝x2+bx﹣3的图象与x轴分别相交于A、B两点，点B的坐标为（3，0），与y轴的交点为C，动点T在射线AB上运动，在抛物线的对称轴l上有一定点D，其纵坐标为3，l与x轴的交点为E，经过A、T、D三点作⊙M．

（1）求二次函数的表达式；

（2）在点T的运动过程中，

①∠DMT的度数是否为定值？若是，请求出该定值：若不是，请说明理由；

②若MT＝1

2

AD，求点M的坐标；

（3）当动点T在射线EB上运动时，过点M作MH⊥x轴于点H，设HT＝a，当OH≤x≤OT 时，求y的最大值与最小值（用含a的式子表示）．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3（2）①在点T的运动过程中，∠DMT的度数是定值②（0，3）（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）把点B的坐标代入抛物线解析式求得系数b的值即可；

（2）①如图1，连接AD．构造Rt△AED，由锐角三角函数的定义知，tan∠DAE＝3．即∠DAE＝60°，由圆周角定理推知∠DMT＝2∠DAE＝120°；

②如图2，由已知条件MT＝1

2

AD，MT＝MD，推知MD＝

1

2

AD，根据△ADT的外接圆圆

心M在AD的中垂线上，得到：点M是线段AD的中点时，此时AD为⊙M的直径时，MD

＝1

2

AD．根据点A、D的坐标求得点M的坐标即可；

（3）如图3，作MH⊥x于点H，则AH＝HT＝1

2

AT．易得H（a﹣1，0），T（2a﹣1，

0）．由限制性条件OH≤x≤OT、动点T在射线EB上运动可以得到：0≤a﹣1≤x≤2a﹣1．

需要分类讨论：（i）当

211

1(1)211

a

a a

-

⎧

⎨

----

⎩

，即

4

1

3

a<，根据抛物线的增减性求得y

的极值．

（ii）当

011

211

1(1)211

a

a

a a

<-

⎧

⎪

->

⎨

⎪--<--

⎩

，即

4

3

＜a≤2时，根据抛物线的增减性求得y的极值．

（iii）当a﹣1＞1，即a＞2时，根据抛物线的增减性求得y的极值．【详解】

解：（1）把点B（3，0）代入y＝x2+bx﹣3，得32+3b﹣3＝0，

解得b＝﹣2，

则该二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）①∠DMT的度数是定值．理由如下：