2020年高考数学(人教文科)总复习(福建专用)配套课件:6.2等差数列及其前n项和 .pptx
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专题六
知识梳理 考点自测
6.2 等差数列及其前n项和
考情概览备考定向
必必备备知知识识预预案案自自诊诊
关键能力学案突破
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1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
=
2���������������������+��� 1,化简得���������1���+1=2+���1���������,即���������1���+1
−
1 ������������
=2,
故数列
1 ������������
是以
1
为首项,2
为公差的等差数列.
(2)解 由(1)知���1���������=2n-1,所以 Sn=������(1+22������-1)=n2.
必备知识预案自诊
关关键键能能力力学学案案突突破破
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等差数列中基本量的求解
例1(1)(2017辽宁大连一模,文6)已知数列{an}满足an+1-an=2,a1=-5, 则|a1|+|a2|+…+|a6|=( C )
A.9 B.15 C.18 D.30 (2)设等差数列{an}的前n项和为Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m等 于( C )
示.数学语言表示为 an+1-an=d (n∈N*),d为常数. (2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是
A=������+2 ������
,
其中A叫做a,b的 等差中项 .
(3)等差数列的通项公式:an= a1+(n-1)d
,可推广为
an=am+(n-m)d.
(4)等差数列的前 n 项和公式:Sn=������(������12+������������)=na1+������(���2���-1)d.
1 ������������
是等差数列;
(2)求数列
1 ������������
的前 n 项和 Sn,并证明���1���1 + ���1���2+…+���1���������
> ������+������1.
(1)证明 ∵an+1=2���������������������+��� 1,
∴1
������������+1
A.-14 B.-7 C.7 D.14
解析:∵a3+a6=11,a5+a8=39,则4d=28,解得d=7.故选C.
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知识梳理 考点自测
4.已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a3+a5=0,则
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2.等差数列的通项公式及前n项和公式与函数的关系 (1)an=a1+(n-1)d可化为an=dn+a1-d的形式.当d≠0时,an是关于n的 一次函数;当d>0时,数列为递增数列;当d<0时,数列为递减数列. (2)数列{an}是等差数列,且公差不为0⇔Sn=An2+Bn(A,B为常数).
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考点一
考点二
考点三
考点四
(方法二)由������������ -1 =-2,Sm=0,������������ +1 =3, 得 am=Sm-������������-1=2,������������+1 = ������������+1-Sm=3,
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件 解析:因为 Sn=na1+������(���2���-1)d, 所以S4+S6>2S5⇔10a1+21d>10a1+20d⇔d>0, 即“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件,选C. 3.(2017辽宁抚顺重点校一模,文2)在等差数列{an}中,a3+a6=11, a5+a8=39,则公差d为( C )
(2)(方法一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,
∵数列{an}为等差数列,∴d=am+1-am=1, 又 Sm=������(������12+������������)=0,∴m(a1+2)=0.∵m≠0,∴a1=-2,
又 am=a1+(m-1)d=2,解得 m=5.
不等式等问题综合考
查.
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1.等差数列
(1)定义:一般地,如果一个数列从 第2项 起,每一项与它的前
一项的 差 等于 同一个常数
,那么这个数列就叫做等
差数列,这个常数叫做等差数列的 公差 ,公差通常用字母d表
∴等差数列的公差为 d=������������+1-am=3-2=1.
由
������������ ������������
= =
������1 + (������-1)������ = 2,
������1������
+
1 2
������(������-1)������
=
得 0,
������1 + ������-1 = 2,
1.已知{an}为等差数列,d为公差,Sn为该数列的前n项和. (1)在等差数列{an}中,当m+n=p+q时,am+an=ap+aq(m,n,p,q∈N*).特 别地,若m+n=2p,则2ap=am+an(m,n,p∈N*). (2)ak,ak+m,ak+2m,…仍是等差数列,公差为md(k,m∈N*).
A.3 B.4 C.5 D.6
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考点一
考点二
考点三
考点四
解析: (1)∵an+1-an=2,a1=-5, ∴数列{an}是首项为-5,公差为 2 的等差数列. ∴an=-5+2(n-1)=2n-7,
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考点三
考点四
等差数列的判定与证明
例 2(2017 辽宁大连双基测试)数列{an}满足 an+1=2���������������������+��� 1,a1=1.
(1)证明:数列
(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的. ( √ )
(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数. ( × )
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知识梳理 考点自测
2.(2017浙江,6)已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0” 是“S4+S6>2S5”的( C )
解析:因为 S12=12×(-2 008)+66d,S10=10×(-2 008)+45d,
则������12
12
−
���1���100=d=2,
则
S2
018=2
018×(-2
008)+2
018×2 2
017×2=18
162.
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考点三
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������1������
+
1 2
������(������-1)
=
0,
解得 ������1 = -2, ������ = 5.
(方法三)∵数列{an}为等差数列,且前 n 项和为 Sn,
∴数列
������������ ������
也为等差数列.
∴������������-1
������-1
+
������������+1 ������+1
S6= 6
.
解析:∵{an}是等差数列, ∴a3+a5=2a4=0.∴a4=0. ∴a4-a1=3d=-6.∴d=-2. ∴S6=6a1+15d=6×6+15×(-2)=6.
5.在等差数列{an}中,a1=-2 008,其前 n 项和为 Sn,若���1���122 − ���1���100=2, 则 S2 018 的值等于 18 162 .
6.2 等差数列及其前n项和
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考纲要求
1.理解等差数列的 概念. 2.掌握等差数列的 通项公式与前 n 项 和公式. 3.能在具体的问题 情境中识别数列的 等差关系,并能用等 差数列的有关知识 解决相应的问题. 4.了解等差数列与 一次函数的关系.
������
= 27,解得
������1
= -1,
������1 + 9������ = 8,
������ = 1.
故 a100=a1+99d=-1+99=98.
(方法二)因为 S9=(������1+2������9)×9=27,a1+a9=2a5,所以 a5=3.
又因为 a10=8,所以 d=������1100--���5���5=1.
故 a100=a10+(100-10)×1=98.
(2)设等差数列{an}的公差为 d.
∵a1+a3+a5=15,a2+a4+a6=0,
∴3d=-15,3a1+6d=15,解得 d=-5,a1=15.
∴an=15-5(n-1)=20-5n,令 an=20-5n≥0,解得 n≤4.
则 Sn 的最大值为 S4=S3=3×15+3×22×(-5)=30.
五年考题统计 命题规律及趋势
2013 全国Ⅰ,文 17 2013 全国Ⅱ,文 17 2014 全国Ⅱ,文 5 2015 全国Ⅰ,文 7 2015 全国Ⅱ,文 5 2016 全国Ⅱ,文 17 2016 全国Ⅰ,文 17 2017 全国Ⅱ,文 17
1.从近五年高考试题来 看,等差数列是高考考 查的重点,主要考查:等 差数列的定义、通项公 式、前 n 项和公式、等 差数列的性质等内容. 2.高考一般以小题的形 式考查等差数列的基本 运算与性质,解答题往 往与等比数列、数列通 项、数列求和、方程、
=
2������������ ������
,即���-���2-1
+
������3+1=0,
解得 m=5.经检验是原方程的解.故选 C.
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思考求等差数列基本量的一般方法是什么? 解题心得1.等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d, 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解. 2.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn, 已知其中三个就能求出另外两个,体现了用方程组解决问题的思想. 3.减少运算量的设元的技巧,若三个数成等差数列,可设这三个数 分别为a-d,a,a+d;若四个数成等差数列,可设这四个数分别为a-
3d,a-d,a+d,a+3d.
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对点训练1(1)已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则
a100=( C )
A.100
B.99 C.98 D.97
(2)(2017福建厦门一模,文14)已知{an}是等差数列,其前n项和为
(1)若一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都是常数,则
这个数列是等差数列. ( × )
(2)已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列 {an}一定是等差数列. ( √ )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为关于n的一次
函数. ( × )
(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*,都有 2an+1=an+an���-7)=n2-6n.
令 an=2n-7≥0,解得 n≥72.
∴当 n≤3 时,|an|=-an;当 n≥4 时,|an|=an.
则|a1|+|a2|+…+|a6|=-a1-a2-a3+a4+a5+a6=S6-2S3 =62-6×6-2(32-6×3)=18.
Sn,a1+a3+a5=15,a2+a4+a6=0,则Sn的最大值为 30
.
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解析: (1)(方法一)设等差数列{an}的公差为 d,
则由题意得,
9������1
+
9×8 2