海南省海口市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题

海南省海口市2023-2024学年高一下学期期末考试数学试题
一、单选题
1．若集合{
}
2A x =∈≤，{}23B x x =-≤≤，则A B =I （ ） A ．{}03x x ≤≤ B ．{}24x x -≤≤
C ．{}0,1,2,3
D ．{}2,1,0,1,2,3,4--
2．复数z =
21i
i
-+(其中i 是虚数单位)，则z 的共轭复数z =（ ） A ．1322
i - B ．1322i -- C ．1322i + D ．13
22i -+
3．已知向量(),1a m =r ，()6,2b =-r ，若a r 与b r 共线，则m =u r
（ ）
A ．3
B ．13
C ．13
-
D ．3-
4．已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点()1,3-，则()πsin πsin 2αα⎛⎫
+-+=
⎪⎝⎭
（ ）
A ．
B ．
C
D 5．陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，P 为圆锥的顶点，A ，B 分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为6π，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（ ）
A ．(33π+
B ．(24π+
C ．(33π+
D ．(24π+
6．已知1
cos sin 6
αβ=，tan 3tan αβ=，则()sin αβ-=（ ） A ．79
-
B ．13-
C ．13
D ．79
7．若函数(
)()f x x ωϕ=+，（0ω>，π<ϕ）图象的相邻两个对称中心之间的距离为
π2，且()π3f x f ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
恒成立，则ϕ=（ ） A ．2π3
B ．2π3-
C ．π3
D ．π
3
-
8．ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，222sin sin sin sin sin B C A B C +-=，
4a =，BC
，则ABC V 的面积为（ ） A
B
．C ．3
D ．4
二、多选题
9．“绿水青山就是金山银山”.海口市始终坚持生态优先，绿色低碳发展，空气质量长期领“鲜”全国.数据显示，2023年海口市空气质量创历史最高水平，位居全国168个重点城市之首.生活中常用空气质量指数（AQI ）描述空气质量，AQI 越小，表示空气质量越好.下表为2024年3月18日～3月24日一周内海口市和同为空气质量排行榜前十的“某市”的空气质量指数（AQI ），这组数据中，以下表述正确的是（ ）
A ．海口市这一周AQI 的平均数为22
B ．“某市”这一周AQI 的中位数为40
C ．两市这一周AQI 指数的方差或标准差可以反映出两市空气质量变化的稳定情况
D ．海口市这一周AQI 指数的方差大于“某市”这一周AQI 指数的方差
10．设函数()lg f x x =，()11x g x f x -⎛⎫
= ⎪+⎝⎭
，下列关于()f x 和()g x 的性质，正确的是（ ） A ．对任意的1x ，()20,x ∈+∞，()()1122x f x f x f x ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
B ．对任意的1x ，()20,x ∈+∞且12x x ≠，()()121222f x f x x x f ++⎛⎫
> ⎪⎝⎭
C ．函数()g x 是定义域为()1,1-的奇函数
D ．函数()g x 在定义域上是增函数
11．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F ，G 分别为棱BC ，CD ，11
C D 的中点，点M 为棱1CC 上的动点，点N 为侧面11BB C C 内动点，
AN 与侧面11BB C C 成角为45︒，则下列说法中正确的是（ ）
A ．动点N 所在轨迹长为π
2
B ．平面AEM ⊥平面1BB GF
C ．平面AEM 截正方体所得的截面图形始终是四边形
D ．点B 和点C 到平面AEM 的距离相等
三、填空题
12．复数1i z a =+（a ∈R ）在复平面上对应的点在第四象限，3z =，则=a .
13．平面向量a r ，b r
为单位向量，且()()
21a b a b -⋅+=-r r r r ，则2a b +=r r .
14．已知三棱锥D ABC -的顶点都在球O 的表面上，AD ⊥平面ABC ，BD 与底面ABC 所
成的角为π
6，AC BC =，2AD =，ABC V ABC V 所在的平面与球O 的交线长
为，球O 的表面积为.
四、解答题
15．为贯彻落实中央和省委相关部署要求，海口市大力开展人才引进工作.现组织公开招聘，共有100名应聘者参加笔试，他们的笔试成绩都在[]50,100内，将笔试成绩按照[)50,60，
[)60,70，…，[]90,100分组，得到如图所示频率分布直方图.
(1)求全体应聘者笔试成绩的第75百分位数和平均数（每组数据以区间中点值代表）； (2)若计划面试60人，请估计参加面试的最低分数线（四舍五入取整数）.
16．已知函数()π2sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝
⎭（03ω<<），直线π3x =是函数()f x 的图象的一条对称
轴.
(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
(2)若5π0,12x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求函数()f x 的值域.
17．已知函数()ππsin cos cos 63f x x x x a ⎛⎫⎛
⎫=+-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭，()f x 的最小值为3-.
(1)求a 的值；
(2)求()0f x =的解集；
(3)在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，()1f A =，求ABC V 周长的取值范围.
18．如图，有一块形如四棱锥的木料P ABCD -，PD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为菱形，E ，F 分别为AB 和PD 的中点.
(1)要经过点E ，F 和B 将木料锯开，在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图中作出辅助线即可）指出EF 与平面PBC 的位置关系，并证明；
(2)
若AD =2PD =，DE PC ⊥，求二面角E FC D --的大小； (3)试求切割开的两部分木料的体积之比.
19．函数[]y x =称为高斯函数，其中“[]x ”表示不超过实数x 的最大整数，又称“x 的整数部分”.高斯函数在数论、函数绘图和计算机等领域有广泛的应用，我们记{}[]x x x =-. (1)设方程{}1
20242024
x x =
-的两个不同实数解为1x 与2x ，且12x x <，求12x x 的值；
(2)请确认是否存在函数f ：→R R ，满足对x ∀∈R ，都有：
①()()()f f x f x =；②{}()()(){}()2
cos cos sin x f x x f x x f x +=同时成立.
(3)求证：对x ∀∈R ，*n ∀∈N ，[][]121n x x x x nx n n n -⎡⎤⎡⎤⎡
⎤+++++⋅⋅⋅++=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣
⎦.。