量子4练习题(含答案)

1. (本题 3分)(4211) 不确定关系式=≥⋅ΔΔx p x 表示在x 方向上
(A) 粒子位置不能准确确定．
(B) 粒子动量不能准确确定．
(C) 粒子位置和动量都不能准确确定．
(D) 粒子位置和动量不能同时准确确定． ［ ］
2. (本题 3分)(4428) 已知粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：
a x a
x 23cos 1)(π⋅=ψ, ( - a ≤x ≤a )那么粒子在x = 5a /6处出现的概率密度为
(A) 1/(2a )． (B) 1/a ．
(C) a 2/1． (D) a /1　． ［ ］
3. (本题 3分)(4778) 设粒子运动的波函数图线分别如图
(A)、(B)、(C)、(D)所示，那么其中确
定粒子动量的精确度最高的波函数是哪
个图？
［ ］x (A)x (B)x (C)
x
(D)
4. (本题 3分)(5234) 关于不确定关系=≥ΔΔx p x ()2/(π=h =，有以下几种理解：
(1)
粒子的动量不可能确定． (2)
粒子的坐标不可能确定． (3)
粒子的动量和坐标不可能同时准确地确定． (4) 不确定关系不仅适用于电子和光子，也适用于其它粒子．
其中正确的是：
(A) (1)，(2). (B) (2)，(4).
(C) (3)，(4). (D) (4)，(1). ［ ］
5. (本题 3分)(5619) 波长λ =5000 Å的光沿x 轴正向传播，若光的波长的不确定量Δλ =10-3
Å，则利用不确定关系式h x p x ≥ΔΔ可得光子的x 坐标的不确定量至少为
(A) 25 cm ． (B) 50 cm ．
(C) 250 cm ． (D) 500 cm ． ［ ］
6. (本题 3分)(8020) 将波函数在空间各点的振幅同时增大D 倍，则粒子在空间的分布概率将
(A) 增大D 2倍． (B) 增大2D 倍．
(C) 增大D 倍． . (D) 不变． ［ ］
7. (本题 5分)(4203) 设描述微观粒子运动的波函数为),(t r K Ψ，则*ΨΨ表示____________________________________________________________________；),(t r K
Ψ须满足的条件是______________________________________；其归一化条件是__________________________________________．
8. (本题 3分)(4632) 如果电子被限制在边界x 与x +Δx 之间，Δx =0.5 Å，则电子动量x 分量的不确定量近似地为________________kg ·m ／s ． (不确定关系式Δx ·Δp ≥h ，普朗克
常量h =6.63×10-34 J ·s)
9. (本题 3分)(5372) 在电子单缝衍射实验中，若缝宽为a = 0.1 nm (1 nm = 10-9
m)，电子束垂直射在单缝面上，则衍射的电子横向动量的最小不确定量Δp y =______________N ·s ．
(普朗克常量h =6.63×10-34 J ·s)
三 计算题 (共25分)
10. (本题 5分)(4430) 已知粒子在无限深势阱中运动，其波函数为
)/sin(/2)(a x a x π=ψ (0 ≤x ≤a )求发现粒子的概率为最大的位置．
11. (本题 5分)(4435) 同时测量能量为1 keV 作一维运动的电子的位置与动量时，若位置的不确定
值在0.1 nm (1 nm = 10−9 m)内，则动量的不确定值的百分比Δp / p 至少为何值？
(电子质量m e =9.11×10-31 kg ，1 eV =1.60×10-19 J, 普朗克常量h =6.63×10-
34J ·s)
12. (本题 5分)(4442) 光子的波长为λ =3000 Å，如果确定此波长的精确度Δλ / λ =10-6
，试求此光子位置的不确定量．
13. (本题 5分)(4526) 粒子在一维矩形无限深势阱中运动，其波函数为：
)/sin(/2)(a x n a x n π=ψ (0 <x <a )
若粒子处于n =1的状态，它在 0－a /4区间内的概率是多少？
[提示： C x x x x +−=∫2sin )4/1(2
1d sin 2]
14. (本题 5分)(4779) 一维运动的粒子，设其动量的不确定量等于它的动量，试求此粒子的位置不确定量与它的德布罗意波长的关系．(不确定关系式h x p x ≥ΔΔ).
15. (本题 5分)(4780)
用经典力学的物理量(例如坐标、动量等)描述微观粒子的运动时，存在什么问题？原因何在？
16. (本题 5分)(4781)
粒子(a)、(b)的波函数分别如图所
示，若用位置和动量描述它们的运动状态，两者中哪一粒子位置的不确定量较大？哪一粒子的动量的不确定量较大？为什么？
x (a)
x (b)
一 选择题 (共18分)
1. (本题 3分)(4211) (D)
2. (本题 3分)(4428) (A)
3. (本题 3分)(4778) (A)
4. (本题 3分)(5234) (C)
5. (本题 3分)(5619) (C)
参考解：
根据 p = h / λ
则 2
2/λλΔΔ=h p x λ
λΔΔ≥/2x min x ΔλλΔ=/2=5000×10-10×5000×103= 2.5 m= 250 cm
6. (本题 3分)(8020) (D)
二 填空题 (共11分)
7. (本题 5分)(4203) 粒子在t 时刻在(x ，y ，z )处出现的概率密度 2分 单值、有限、连续 1分 1d d d 2
=∫∫∫z y x Ψ 2分
8. (本题 3分)(4632) 1.33×10-23 3分
9. (本题 3分)(5372) 1.06×10-24 （或 6.63×10-24或0.53×10-24 或 3.32×10-24） 3分参考解：
根据 =≥ΔΔy p y ，或 h p y y ≥ΔΔ，或=2
1≥
ΔΔy p y ，或h p y y 21≥ΔΔ，可得以上答案．
三 计算题 (共25分)
10. (本题 5分)(4430) 解：先求粒子的位置概率密度
)/(sin )/2()(22
a x a x π=ψ)]/2cos(1)[2/2(a x a π−= 2分
当 1)/2cos(−=πa x 时， 2)(x ψ有最大值．在0≤x ≤a 范围内可得 π
=πa x /2∴ a x 21=． 3分
解：1 keV 的电子，其动量为
==2/1)2(K mE p 1.71×10-23 kg ·m ·s -1 2分据不确定关系式： =
≥⋅ΔΔx p 得 2310106.0/−×==ΔΔx p = kg ·m ·s -1 2分∴ Δp / p =0.062＝6.2％ 1分
[若不确定关系式写成 h x p ≥⋅ΔΔ 则　Δp / p =39％，或写成 2/=≥⋅ΔΔx p 则Δp / p =3.1％ ， 均可视为正确．]
12. (本题 5分)(4442) 解：光子动量 λ/h p = 1分按题意，动量的不确定量为
)/)(/(/2λλλλλΔΔΔ=−=h h p 2分根据测不准关系式得： Δx ≥)/(2)2/(λλλΔΔπ=πh h p h )
/(2λλλΔπ=故 Δx ≥0.048 m ＝48 mm 2分
若用　)4/(π≥⋅ΔΔh p x x 或h p x x ≥⋅ΔΔ，或h p x x 2
1≥⋅ΔΔ，计算Δx 同样得2分．
13. (本题 5分)(4526) 解： x a
x a x P d sin 2d d 22π==ψ 3分粒子位于0 – a /4内的概率为：
x a x a P a d sin 24/02∫π=)d(sin 24/0
2a x a x a a a πππ=∫ 4
/021]2sin 41[2a a x a x πππ−=)]42sin(414[221a a a a π−ππ= =0.091 2分
14. (本题 5分)(4779) 解：由x p x ΔΔ≥h 即 x Δ≥
x
p h Δ ① 1分据题意v m p x =Δ 以及德布罗意波公式v m h /=λ得
x p h Δ=λ ② 2分比较①、②式得 x Δ≥λ 2分
四 回答问题 (共10分)
15. (本题 5分)(4780) 答：用经典力学的物理量例如坐标、动量等只能在一定程度内近似地描述微观粒子的运动，坐标x 和动量p x 存在不确定量Δx 和Δ p x ，它们之间必须满足不确定关系式 x p x ΔΔ≥h 3分这是由于微观粒子具有波粒二象性的缘故． 2分
答：由图可知，(a)粒子位置的不确定量较大． 2分
又据不确定关系式 x p x ΔΔ≥π
2h 可知，由于(b)粒子位置的不确定量较小，故(b)粒子动量的不确定量较大. 3分。